立體幾何核心考點(diǎn)歸納講義（一）-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024屆立體幾何核心考點(diǎn)（一）

一.立體圖形的展開

立體圖形的展開是指將空間圖形沿某一條棱長展開為平面圖形，研究其面積或者距離

的最小值，把幾何體中的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)距離.

1.如圖所示，正四面體A3CZ）中，￡'是棱AO的中點(diǎn)，P是棱AC上的一動(dòng)點(diǎn)，BP+PE

的最小值為宿，求該正四面體的外接球表面積.

2.如圖：正三棱錐A—BCD中，NBAO=40°,側(cè)棱A8=2,平行于過點(diǎn)C的截面。，

則平面a與正三棱錐側(cè)面交線的周長的最小值為（）

D.4石

如圖所示：沿著側(cè)棱AC把正三棱錐A-8C。展開在一個(gè)平面內(nèi)，則CC即為截面。周長

的最小值，HZC4C=3x40°=120°,在“比'中，由余弦定理得:

CC=AC)2+(AC)2-2ACACcos1200，

CC=&+2?-2X2X2cos120。=2百?故選：??

2

3.如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為一，高為2,8分別是兩底面的直徑，AD,BC是

冗

母線.若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā),從側(cè)面爬行到C點(diǎn),求小蟲爬行的最短路線的長度.

分析：如圖,將圓柱的側(cè)面展開,

其中A8為底面周長的一半，艮,AD=2.

則小蟲爬行的最短路線為線段AC4

在矩形ABCD中,/C=Ja斤-BC'=百-￡-2y/2.

所以小蟲爬行的最短路線長度為2a.

【點(diǎn)評(píng)】幾何體表面上的最短距離需要將幾何體的表面展開,將其轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最短距離,

利用平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離最短求解.但要注意棱柱的側(cè)面展開圖可能有多種展開圖，如長

方體的表面展開圖等,要把不同展開圖中的最短距離進(jìn)行比較,找出其中的最小值.

二.平面圖形的折疊

4.如圖，在AABC中，NABC=120°,A8=8C=2,在AC邊上取一點(diǎn)。(不含AC)，

將沿線段BO折起，得到△PHD,當(dāng)平面垂直于平面ABC時(shí)，則P到平面

43C距離的最大值為.

5.如圖所示，AA/C是等腰直角三角形，AB=ACf在乙BCD中,N8CO=90且

3

BC=3.將小人8c沿8c邊翻折，設(shè)點(diǎn)A在平面8co上的射影為點(diǎn)M,若

那么()

A.平面A5￡)_L平面BCDB.平面A3CJL平面45。

c.AB±CDD.ACA.BD

分析：翻折后圖形如下：

D

3

因?yàn)锳ABC是等腰直兔三角形且8C=3,所以點(diǎn)M是BC邊上的中點(diǎn),

因?yàn)辄c(diǎn)A在平面BCO上的射影為點(diǎn)所以AM_L平面BCD,又因?yàn)镃Qu平面BCO,

所以AM_1_8,又因?yàn)镹BCO=90°,所以CD_LBC,又AMQ5C=M,AM,BCu

平面ABC,所以CD_L平面ABC,又ABi平面ABC,所以A8J_C￡).故選：C.

6.如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為4cm,該紙片上的正方形ABC。的中心為。，《、

￡、八、6為圓。上點(diǎn)，△《AB,\P2BCtARCD,ARD4分別是以AB,BC,CD,

為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后,分別以A3,BC,CD,為折痕折起

△P?BC,A7>CD,△舄D4,使得匕、鳥、八、鳥重合，得到四棱錐.當(dāng)該四棱錐體積

取得最大值時(shí)，正方形ABCQ的邊長為cm.

解：連接。鳥交C5于點(diǎn)M,則。鳥J_C5,點(diǎn)M為CB的中點(diǎn),連接0C,

A：

\~7c/

\Xt%9///

X、%、,9//

%V/

區(qū)

團(tuán)。CM為直角三角形，設(shè)正方形的邊長為“，則OM=x,由圓的半徑為4,則河舄=4-x,

設(shè)點(diǎn)尸1，鳥，鳥，鳥重合于點(diǎn)P,則PM==4-x>x則xV2,高

PO=^/(4-x)2-%2=V16-8x，四棱錐體積1/=；(2幻2116—8不=華)2/一丁,

Q

設(shè)y=2d一/,，=8/-5/=工3(8一5幻，當(dāng)0<工<《時(shí)，,>0,y=2/一/單調(diào)遞

QQ

增；當(dāng)g<x<2時(shí)，y'v0,y=2d一/單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=g時(shí)，y取得最大值，此時(shí)，

2x=g.即正方形A6C&的邊長為日時(shí)，四棱錐體積取得最大值.故答案為：y

練習(xí)題

1.如圖，在正三棱錐P-ABC中，ZAPB=ZBPC=ZCPA=30°,PA=PB=PC=2,一只蟲子從

A點(diǎn)出發(fā),繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是()

A

A.3后B.35/3C.25/3D.25/2

【答案】D

2.如圖，空間四邊形A8CD中，平面ACD_L平面A3C,△A5C為1的等邊三角形，

ZG4D=30>NACO=90，P為棱AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則8P+9的最小值為

D

皿孚

B

3.如圖，在三棱錐P-A3C的平面展開圖中，AC=LAB=A0=6,ABLAC,ABLAD,

ZCAE=30°,則cos/FCB=________.

?

F(P)

4.在三棱錐P—A3c中，AB1BC,『在底面ABC上的投影為4c的中點(diǎn)D,

。尸=%=1.有下列結(jié)論：

開71

①三棱錐P-46C的三條側(cè)棱長均相等；②的取值范圍是；

142）

③若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的體積為27手r；

④若AB=8C