2025年粵人版高二數(shù)學下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年粵人版高二數(shù)學下冊階段測試試卷230考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、若橢圓上一點P到兩焦點F1、F2的距離之差為2，則△PF1F2是（）

A.銳角三角形。

B.直角三角形。

C.鈍角三角形。

D.等腰直角三角形。

2、【題文】問題：①有1000個乒乓球分別裝在3個箱子內(nèi)；其中紅色箱子內(nèi)有500個，藍色箱子內(nèi)有200個，黃色箱子內(nèi)有300個，現(xiàn)從中抽取一個容量為100的樣本；②從20名學生中選出3名參加座談會.

方法：Ⅰ.隨機抽樣法Ⅱ.系統(tǒng)抽樣法Ⅲ.分層抽樣法.其中問題與方法能配對的是()A.①Ⅰ，②ⅡB.①Ⅲ，②ⅠC.①Ⅱ，②ⅢD.①Ⅲ，②Ⅱ3、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2a5a8=8，則log2a4+log2a6=（）A.1B.2C.3D.44、已知f（x）=x2+2xf′（-1），則f′（0）等于（）A.4B.0C.-2D.25、通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動；得到如下的列聯(lián)表：

。男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由算得：

。P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”C.有99.9%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D.有99.9%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)6、已知且則的取值范圍是____________7、若數(shù)列{}(n∈N)是等差數(shù)列,則通項為b=(n∈N)的數(shù)列也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應地：若數(shù)列{}是等比數(shù)列,且＞0(n∈N)，則通項為=________(n∈N)的數(shù)列也是等比數(shù)列。K^S*5U.C#O8、過點（1，3）且與曲線相切的直線方程為_____________；9、已知都是定義在上的函數(shù)，若且且)及則的值為。10、【題文】已知則與的夾角為____．11、若棱長為a的正方體的表面積等于一個球的表面積，棱長為b的正方體的體積等于該球的體積，則a，b的大小關系是____．12、在△ABC中，如果a=2，c=2∠A=30°，那么△ABC的面積等于______．13、兩圓相交于點A(1,3)B(m,鈭?1)

兩圓的圓心均在直線x鈭?y+c=0

上，則m+c=

______．14、曲線y=x

在x=1

處的切線斜率為______．評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）17、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）20、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）21、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共2題，共20分)22、在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.23、如圖；ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；

（Ⅲ）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．評卷人得分五、計算題(共3題，共12分)24、解關于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．25、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）?f（i）．26、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．評卷人得分六、綜合題(共3題，共30分)27、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．28、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．29、已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S6=51，a5=13．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、B【分析】

由橢圓的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=8；

又知|PF1|-|PF2|=2；兩式聯(lián)立可得。

|PF1|=5，|PF2|=3，又|F1F2|=2c=4

故滿足

故△PF1F2是直角三角形．

故選B

【解析】【答案】由橢圓的定義結(jié)合題意可得三角形的三邊；由勾股定理可得結(jié)論．

2、B【分析】【解析】①乒乓球顏色有明顯差異，所以采用分層抽樣；②20名學沒有差異，用簡單隨機抽樣；故選B【解析】【答案】B3、B【分析】【解答】∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2a5a8=8；

∴（a5）3=8；

∴a5=2；

∴l(xiāng)og2a4+log2a6=log2a4a6=log2（a5）2=2

故答案為：B．

【分析】利用各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2a5a8=8，求出a5=2，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)，即可得出結(jié)論．4、A【分析】解：由f（x）=x2+2xf′（-1）；

得：f′（x）=2x+2f′（-1）；

取x=-1得：f′（-1）=-2×1+2f′（-1）；

所以f′（-1）=2．

故f′（0）=2f′（-1）=4；

故選：A．

把給出的函數(shù)求導得其導函數(shù)；在導函數(shù)解析式中取x=-1可求2f′（-1）的值．

本題考查了導數(shù)運算，解答此題的關鍵是理解原函數(shù)解析式中的f′（-1），在這里f′（-1）只是一個常數(shù)，此題是基礎題．【解析】【答案】A5、B【分析】解：∵k2≈7.8＞6.635；

∴在犯錯誤的概率不超過1%的前提下；認為“愛好該項運動與性別無關”．

故選：B．

由k2的值結(jié)合附表可得選項．

本題考查獨立性檢驗應用，關鍵是對附表的理解，體現(xiàn)了逆向思維方法的運用，是基礎題．【解析】【答案】B二、填空題(共9題，共18分)6、略

【分析】【解析】【答案】7、略

【分析】【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

因為利用點斜式方程可知切線方程為當切點不是（1，3）的時候，設出切點坐標，抽象表示，代入點（1,3）得到切點進而得到方程【解析】【答案】或9、略

【分析】【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、a＜b【分析】【解答】解：設球的半徑為R，則6a2=4πR2；

∴a2=

又b3=R3；

∴a6=R6；

b6=R6；

∴=＜1；

∴a＜b．

故答案為：a＜b．

【分析】根據(jù)題意，設球的半徑為R，由面積相等求出a，由體積相等求出b，比較大小即可．12、略

【分析】解：∵a=2，c=2A=30°；

∴由正弦定理

得：sinC==

∴C=60°或120°；

∴B=90°或30°；

則S△ABC=acsinB=2或．

故答案為：2或．

由A的度數(shù)求值sinA的值；再由a；c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，進而求出B的度數(shù)，確定出sinB的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．【解析】2或13、略

【分析】解：隆脽

兩圓的圓心均在直線x鈭?y+c=0

上；

則直線x鈭?y+c=0

為線段AB

的垂直平分線。

即KAB=鈭?1=3+11鈭?m

解得m=5

則AB

的中點(3,1)

在直線x鈭?y+c=0

上；

即3鈭?1+c=0

解得c=鈭?2

隆脿m+c=3

故答案為：3

由已知中兩圓相交于點A(1,3)B(m,鈭?1)

兩圓的圓心均在直線x鈭?y+c=0

上，我們易得到直線x鈭?y+c=0

為線段AB

的垂直平分線，即直線AB

與直線x鈭?y+c=0

的斜率乘積為鈭?1

且AB

的中點落在直線x鈭?y+c=0

上，求出mc

后，即可得到答案．

本題考查的知識點圓與圓的位置關系，直線與直線垂直的斜率關系，其中根據(jù)已知判斷出直線x鈭?y+c=0

為線段AB

的垂直平分線，是解答本題的關鍵．【解析】3

14、略

【分析】解：根據(jù)題意，曲線y=x=x12

其導數(shù)f隆盲(x)=12x鈭?12=12x

則有f隆盲(1)=12

即曲線y=x

在x=1

處的切線斜率為12

故答案為：12

．

根據(jù)題意；由導數(shù)的計算公式計算可得f隆盲(x)

將x=1

代入其中即可得f隆盲(1)

的值，由導數(shù)的幾何意義即可得答案．

本題考查到導數(shù)的集合意義，涉及導數(shù)的計算，關鍵是正確計算函數(shù)的導數(shù)．【解析】12

三、作圖題(共7題，共14分)15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點之間，線段最短．18、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．21、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共2題，共20分)22、略

【分析】試題分析：（1）利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵；證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（2）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;空間向量將空間位置關系轉(zhuǎn)化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當?shù)淖鴺讼担瑢嵤缀螁栴}代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.試題解析：（Ⅰ）作AD的中點O，則VO⊥底面ABCD．建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為1，則A（0，0），B（1，0），C（-1，0），D（-0，0），V（0，0，），∴由又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量設是面VDB的法向量，則∴又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值為．考點：利用空間向量證明線線垂直和求夾角.【解析】【答案】（1）見解析；（2）23、略

【分析】

（I）由已知中DE⊥平面ABCD；ABCD是邊長為3的正方形，我們可得DE⊥AC，AC⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D為坐標原點；DA，DC，DE方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F-BE-D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是線段BD上一個動點；設M（t，t，0）．根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造關于t的方程，解方程，即可確定M點的位置．

本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與平面垂直的判定，向量法確定直線與平面的位置關系，其中（I）的關鍵是證得DE⊥AC，AC⊥BD，熟練掌握線面垂直的判定定理，（II）的關鍵是建立空間坐標系，求出兩個半平面的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（III）的關鍵是根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造關于t的方程．【解析】證明：（Ⅰ）因為DE⊥平面ABCD；所以DE⊥AC．

因為ABCD是正方形；所以AC⊥BD；

從而AC⊥平面BDE．（4分）

解：（Ⅱ）因為DA；DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示．

因為BE與平面ABCD所成角為600；即∠DBE=60°；

所以．

由AD=3，可知．

則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0）；

所以．

設平面BEF的法向量為=（x，y，z），則即．

令則=．

因為AC⊥平面BDE，所以為平面BDE的法向量，．

所以cos．

因為二面角為銳角，所以二面角F-BE-D的余弦值為．（8分）

（Ⅲ）點M是線段BD上一個動點；設M（t，t，0）．

則．

因為AM∥平面BEF；

所以=0；即4（t-3）+2t=0，解得t=2．

此時；點M坐標為（2，2，0）；

即當時，AM∥平面BEF．（12分）五、計算題(共3題，共12分)24、解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0；

因式分解得：（ax﹣2）（x﹣2）＞0；

若a=0；不等式化為﹣2（x﹣2）＞0，則解集為{x|x＜2}；

若a≠0時，方程（ax﹣2）（x﹣2）=0的兩根分別為2；

①若a＜0，則＜2，此時解集為{x|＜x＜2}；

②若0＜a＜1，則＞2，此時解集為{x|x＜2或x＞}；

③若a=1，則不等式化為（x﹣2）2＞0；此時解集為{x|x≠2}；

④若a＞1，則＜2，此時解集為{x|x＞2或x＜}【分析】【分析】已知不等式左邊分解因式后，分a=0與a≠0兩種情況求出解集即可．25、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根據(jù)定積分求出函數(shù)f（x）的解析式，然后分別求出f（1﹣i）與f（i）即可求出所求．26、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入關系式，化簡即可六、綜合題(共3題，共30分)27、略

【分析】【分析】根據(jù)OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標是b，因而F點的縱坐標是b，即FM=b，則得到AF=b，同理BE=a，根據(jù)（a，b）是函數(shù)y=的圖象上的點，因而b=，ab=，則即可求出AF?BE．【解析】【解答】解：∵P的坐標為（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐標為（0，）；M點的坐標為（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F點的坐標為（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E點的坐標為（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF?BE=1．

故答案為：1．28、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現(xiàn)在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a