2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）1.1 集合的概念（九大題型）

1．1集合的概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：集合的含義 2題型二：元素與集合的關(guān)系的判斷 3題型三：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù) 4題型四：集合中元素的特性及應(yīng)用 5題型五：用列舉法表示集合 6題型六：用描述法表示集合 7題型七：集合表示法的綜合應(yīng)用 8題型八：方程與集合的綜合應(yīng)用 10題型九：集合新定義運算 12【重難點集訓(xùn)】 13【高考真題】 18【題型歸納】題型一：集合的含義1．（2024·高一·廣東深圳·階段練習(xí)）給出下列說法：①在一個集合中可以找到兩個相同的元素；②好聽的歌能組成一個集合；③高一（1）班所有姓氏能構(gòu)成集合；④把1，2，3三個數(shù)排列，共有6種情況，因此由這三個數(shù)組成的集合有6個.其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①集合中的元素不能相同，所以在一個集合中不可以找到兩個相同的元素，因此本序號說法不正確；②因為好聽的歌標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以好聽的歌不能組成一個集合，因此本序號的說法不正確；③因為高一（1）班所有姓氏是確定的，所以可以構(gòu)成一個集合，因此本序號的說法是正確的；④根據(jù)集合元素的無序性，由這三個數(shù)組成的集合只有一個，因此本序號說法不正確，因此正確的個數(shù)為1，故選：B2．（2024·高一·山西呂梁·期中）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．2023年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)集合中元素的確定性可知，“2023年高考數(shù)學(xué)難題”中的“難題”沒有評判標(biāo)準(zhǔn)，不具備確定性，因此不能構(gòu)成集合.故選：B3．（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下列各組對象可以組成集合的是（

）A．?dāng)?shù)學(xué)必修第一冊課本中所有的難題B．小于8的所有質(zhì)數(shù)C．直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點D．周長為10cm的三角形【答案】BD【解析】對于A，“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，因而不能構(gòu)成集合，所以A錯誤，對于B，小于8的所有質(zhì)數(shù)能構(gòu)成集合，所以B正確，對于C，“一些點”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點”不能構(gòu)成集合，所以C錯誤，對于D，周長為10cm的三角形具有確定性，能構(gòu)成集合，所以D正確，故選：BD4．（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）考察下列每組對象，能構(gòu)成集合的是（

）A．中國各地的美麗的鄉(xiāng)村B．直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點C．不小于的自然數(shù)D．我省參加高考的學(xué)生【答案】BCD【解析】對于A，“美麗的”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，無法構(gòu)成集合，A錯誤；對于B，直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點具有確定性，可以構(gòu)成集合，B正確；對于C，不小于的自然數(shù)具有確定性，可以構(gòu)成集合，C正確；對于D，我省參加高考的學(xué)生具有確定性，可以構(gòu)成集合，D正確.故選：BCD.題型二：元素與集合的關(guān)系的判斷5．（多選題）（2024·高一·浙江臺州·期中）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A，因為不是自然數(shù)，所以A錯誤；對于B，因為0不是正整數(shù)，所以B正確；對于C，因為不是有理數(shù)，所以C正確；對于D，因為不是有理數(shù)，所以D正確.故選：BCD.6．（多選題）（2024·高一·江西·階段練習(xí)）已知集合，，，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，可設(shè)，，，選項A，，則，故A正確；所以，則，故B正確；所以，其中，則，故C錯誤；所以，其中，則，故D正確.故選：ABD.7．（多選題）（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）已知集合，集合，下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】點在函數(shù)圖像上，有，A選項正確；集合A為數(shù)集，集合B為點集，，B選項錯誤；函數(shù)的值域為，則，，C選項正確；集合B為點集，，D選項錯誤.故選：AC.題型三：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)8．（2024·高一·新疆·階段練習(xí)）舉例說明：設(shè)集合M中含有三個元素3，，：(1)求實數(shù)，應(yīng)滿足的條件；(2)若，求實數(shù)的值.【解析】（1）據(jù)集合中元素的互異性，可知，即且且且且；（2）若，則或，解得：或或，若，則，滿足題意；若，則，滿足題意；若，則，滿足題意；故或或.9．（2024·高一·廣東江門·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．或1 C．3 D．【答案】D【解析】因，，故有：或，由解得：或，由解得：，又因時，，與集合元素互異性矛盾，故舍去，而時，符合題意.故選：D.10．（2024·高一·北京東城·期中）已知集合，若，則（

）．A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【解析】由于，若，則，不合題意；所以，解得，故選：C11．（2024·高一·山西·期中）已知是由0，，這三個元素組成的集合，且，則實數(shù)為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【解析】因為，所以或．當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，或，但不合題意，舍去．綜上可知，．故選：B．題型四：集合中元素的特性及應(yīng)用12．（2024·高三·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）若，則的值是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，所以①或②，由①得或，其中與元素互異性矛盾，舍去，符合題意，由②得，符合題意，兩種情況代入得.故選：C.13．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）數(shù)集中的x不能取的數(shù)值的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由解得；由解得．∴x不能取的值的集合為．故選：C．14．（2024·高一·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）“mooncake”中的字母構(gòu)成一個集合，該集合的元素個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因為“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e，其構(gòu)成的集合為，有7個元素.故選：C.15．（多選題）（2024·高一·廣東惠州·階段練習(xí)）由組成一個集合，中含有3個元素，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B．2 C．3 D．6【答案】ACD【解析】由題意知，，解得且.所以實數(shù)的取值可以是，3,6故選：ACD題型五：用列舉法表示集合16．（2024·高一·青海西寧·期中）集合用列舉法表示為.【答案】【解析】時，；時，；時，；時，；可得.故答案為：17．（2024·高二·浙江寧波·期中）用列舉法表示集合的結(jié)果為.【答案】【解析】由可知為的約數(shù)，所以，因為，所以，此時，集合為.故答案為：.18．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）用列舉法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)；(2)；(3)．(4)．(5)由＋（a，b∈R）所確定的實數(shù)組成的集合.【解析】（1）大于1且小于6的整數(shù)組成的集合為；（2）（3）（4）（5）由題意，當(dāng)時，＋；當(dāng)時，＋；當(dāng)時，＋；當(dāng)時，＋，故由＋（a，b∈R）所確定的實數(shù)組成的集合為.題型六：用描述法表示集合19．（2024·高一·上海徐匯·期中）被4除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為.【答案】【解析】根據(jù)集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然數(shù)組成的集合為.故答案為：.20．（2024·高一·云南曲靖·階段練習(xí)）用描述法表示圖中的陰影部分（不含邊界）可以是．

【答案】【解析】由圖知，，，所以由集合的描述法可知.故答案為：.21．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）試用描述法表示下列集合.(1)大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系中，軸上的所有點.【解析】（1）大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合為.（2）平面直角坐標(biāo)系中，軸上的所有點為22．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）試用描述法表示下列集合.(1)方程的所有實數(shù)根組成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合；(3)二次函數(shù)圖象上的所有點組成的集合.【解析】（1）設(shè)方程的實數(shù)根為，并且滿足條件，用描述法表示為.（2）設(shè)大于10且小于20的整數(shù)為x，它滿足條件，且，故用描述法表示為.（3）二次函數(shù)圖象上的所有的點用描述法表示為.題型七：集合表示法的綜合應(yīng)用23．（2024·高一·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)非空集合中的元素都是實數(shù)，且滿足：若，則．（1）若，求出中的另外兩個元素；（2）給出命題“中至少有三個元素”，判斷該命題是否正確，并證明你的判斷；（3）若中的元素個數(shù)不超過個，所有元素之和為，所有元素的積恰好等于中某個元素的平方，求集合．【解析】（1），所以另外兩個元素為.（2）該命題正確，證明如下：設(shè)，則，則，均無解，所以“中至少有三個元素”正確.（3）由（2）知，若，那么、.若中的元素不超過個，那么，且.所有元素的乘積為，不妨設(shè)，所以中有三個元素，所以，解得或或.所以.24．（2024·高一·河北滄州·階段練習(xí)）已知集合，求證：(1)；(2)偶數(shù)不屬于.【解析】（1）因為，所以.（2）因為，，，當(dāng)，都為偶數(shù)或奇數(shù)時，和都為偶數(shù)，所以為4的倍數(shù)；當(dāng)，為一個偶數(shù)，一個奇數(shù)時，和都為奇數(shù)，所以為奇數(shù).顯然都不滿足，所以.25．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）集合M滿足：若，則（且）已知，試求集合M中一定含有的元素.【解析】，，，，，∴在M中還有元素，，.故集合M一定含有的元素有.題型八：方程與集合的綜合應(yīng)用26．（2024·高一·江蘇·假期作業(yè)）已知集合關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，試用列舉法表示集合．【解析】當(dāng)時，化方程為．方程有唯一實數(shù)根，由判別式為零可得，得，此時的解為，符合題意．當(dāng)時，有唯一實數(shù)解．當(dāng)時，有唯一實數(shù)解．，，．27．（2024·高一·江蘇連云港·期中）已知集合.(1)若A中只有一個元素，求的值；(2)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.【解析】（1）由題意，當(dāng)時，，得，集合A只有一個元素，滿足條件；當(dāng)時，為一元二次方程，，得，集合A只有一個元素，A中只有一個元素時或.（2）由A中至少有一個元素包含兩種情況，一個元素和兩個元素，A中有兩個元素時，并且，得且，再結(jié)合A中一個元素的情況，的取值范圍為.28．（2024·高一·上海普陀·階段練習(xí)）已知集合．(1)若中只有1個元素，求實數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程存在兩個不相等實根且．求實數(shù)的值與集合．【解析】（1）當(dāng)時，，解得，符合題意，當(dāng)時，，解得，符合題意，故實數(shù)的取值范圍為；（2）（2）∵關(guān)于的方程存在兩個不相等實根，∴，且，則，即，故或，當(dāng)時，，當(dāng)時，．29．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）若集合中，僅有一個元素，求、的值.【解析】集合中，僅有一個元素，且，解得，．故、的值分別為，.30．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知集合，其中.若1是集合中的一個元素，則集合（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，集合中的方程為，解得或，，故選：C．31．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知．根據(jù)下列條件，求實數(shù)a的值構(gòu)成的集合．(1)當(dāng)；(2)當(dāng)M是單元素集（只含有一個元素的集合）；(3)當(dāng)M是兩個元素的集合.【解析】（1），，，所以的范圍是；（2）時，，滿足題意，，，此時，滿足題意，（3）由題意方程有兩個不等實根，且，解得且，所以的范圍是，．題型九：集合新定義運算32．（2024·高一·上海嘉定·階段練習(xí)）定義集合運算：，設(shè)，，則所有元素之和為個.【答案】3【解析】由題可知：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，所以所有元素之和為3故答案為：333．（2024·高一·全國·期末）定義運算，若集合，則.【答案】【解析】依題意，由，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以.故答案為：34．（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)，，定義，則中元素的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．19 D．20【答案】C【解析】當(dāng)時，集合中元素為，，，，共個，當(dāng)時，集合中元素為，，，，共個，當(dāng)時，集合中元素為，，，，共個，當(dāng)時，集合中元素為，，，共個，所以集合中共有個，故選：C.35．（2024·高一·廣東陽江·開學(xué)考試）對于任意兩個正整數(shù)m、n，定義某種運算，當(dāng)m、n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，；當(dāng)m、n中一個為正奇數(shù)，另一個為正偶數(shù)時，.則在上述定義下，，集合M中元素的個數(shù)為（）A．40 B．48 C．39 D．41【答案】D【解析】當(dāng)x、y都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，，集合M中的元素有，共35個；當(dāng)x、y中一個為正奇數(shù)，另一個為正偶數(shù)時，，，集合M中的元素有共6個，所以集合M中元素的個數(shù)為，故選：D【重難點集訓(xùn)】1．（2024屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）下列集合中有無數(shù)個元素的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，因為，，則，，故A錯誤；對于B，因為，，則，所以，故B錯誤；對于C，，，所以，故C錯誤；對于D，有無數(shù)個元素.故D正確.故選：D.2．（貴州省凱里市第一中學(xué)2024屆高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題）若對任意，，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：因為，但，不符合題意，故A錯誤；對于選項B：因為，但無意義，不符合題意，故B錯誤；對于選項C：例如，但，不符合題意，故C錯誤，對于選項D：對任意，均有，符合題意，故D正確；故選：D.3．（湖南省岳陽市平江縣第三中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試仿真模擬（專家卷二）數(shù)學(xué)試題）已知，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因為，且，所以.故選：A.4．（1號卷?2024屆全國高考最新原創(chuàng)沖刺試卷（二）理科數(shù)學(xué)試題）若，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時，則，符合題意，當(dāng)時，有或，已知當(dāng)時符合題意，當(dāng)時，則，符合題意，故的取值集合為.故選：C.5．（黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)2024屆高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知集合，集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故選：D6．（浙江省衢溫51聯(lián)盟創(chuàng)新班2023-2024學(xué)年高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.7．（江西省五市九校協(xié)作體2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知實數(shù)集合，若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】當(dāng)，時，，或任意，（舍去）；當(dāng)，時，，，不成立，所以，，.故選：A.8．設(shè)集合?,若?,則?的值為（

）A．? B．-3 C．? D．?【答案】D【解析】由集合中元素的確定性知?或?.當(dāng)?時,?或?;當(dāng)?時,?.當(dāng)?時,?不滿足集合中元素的互異性,故?舍去;當(dāng)?時,?滿足集合中元素的互異性,故?滿足要求;當(dāng)?時,?滿足集合中元素的互異性,故?滿足要求.綜上,?或?.故選:D.9．（多選題）（2024·高一·湖南株洲·開學(xué)考試）已知集合，則下列說法中錯誤的是（

）A．若A中只有一個元素，則 B．若A中至少有一個元素，則C．若A中至多有一個元素，則 D．若A中恰有兩個元素，則【答案】ACD【解析】對于選項A：若A中只有一個元素，即方程有一個根，或兩個相等實根，當(dāng)時，原方程變?yōu)椋藭r符合題意，當(dāng)時，方程有兩個相等實根，所以，即，所以當(dāng)A中只有一個元素時，則或，故A錯誤；對于選項B：若A中至少有一個元素，即A中有一個元素或兩個元素，當(dāng)A中有一個元素時，由前面可知，或；當(dāng)A中有兩個元素時，方程有兩個不等實根，所以即且，所以若A中至少有一個元素，則，故B正確；對于選項C：若A中至多有一個元素，即A中有一個元素或沒有元素，當(dāng)A中有一個元素時，由前面可知，或；當(dāng)A中沒有元素時，即方程無實根，所以即，所以若A中至多有一個元素，則或；故C錯誤；對于選項D：若A中恰有兩個元素，由前面可知，且，故D錯誤；故選：ACD10．（山東省菏澤市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知，集合．則集合中所有元素之和為．【答案】5【解析】由題意，得，則集合中所有元素之和為.故答案為：511．（江蘇省南京市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知集合，，則集合的元素個數(shù)為．【答案】2【解析】當(dāng)時，，2，4，分別為,均不能滿足，當(dāng)時，時可滿足，時，，時，均不滿足，當(dāng)時，可滿足，時，，時，均不滿足，所以，故集合的元素有2個，故答案為：212．（河南省洛陽市、平頂山市、許昌市、濟源市2024屆高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）定義集合運算：，若集合，，則集合中所有元素之和為．【答案】4【解析】，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，.所以，所以集合中所有元素之和為.故答案為：413．（上海市靜安區(qū)2024屆高三期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）中國國旗上所有顏色組成的集合為．【答案】{紅,黃}；【解析】中國國旗上所有顏色組成的集合為紅,黃．故答案為：紅，黃．14．（遼寧省丹東市2024屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試（一）數(shù)學(xué)試卷）若為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為．【答案】【解析】由題意設(shè)，則，注意到是偶數(shù)，所以與的奇偶性相同，（否則若和中，有一個是奇數(shù)，有一個是偶數(shù)，則它們的和是奇數(shù)，這與是偶數(shù)矛盾），注意到是偶數(shù)，所以與必然都是偶數(shù)，考慮80的分解方式，滿足題意的數(shù)組只可能是三種情況，所以x的取值可能是.故答案為：.15．已知集合，且，則.【答案】【解析】因為，所以或，解得或，當(dāng)時，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；當(dāng)時，經(jīng)檢驗，符合題意，所以．故答案為：．【高考真題】1．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)II卷））已知集合，則中元素的個數(shù)為（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以共有9個，故選：A.2．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷））設(shè)集合,則集合中元素的個數(shù)是A． B． C． D．【答案】C【解析】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當(dāng)x=0，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當(dāng)x=1，