2024-2025學年高一數(shù)學同步試題（人教A版2019）2．1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（七大題型）

2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：用不等式（組）表示不等關系 2題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小 3題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小 3題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假 4題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式 6題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小 7題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 9【重難點集訓】 10【高考真題】 17【題型歸納】題型一：用不等式（組）表示不等關系1．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點100米以外（含100米）為安全區(qū)．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導火索的長度x（單位：厘米）應滿足的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導火索的長度x（單位：厘米），故導火索燃燒的時間為秒，人在此時間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得．故選：B．2．（2024·高三·福建福州·開學考試）鐵路總公司關于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過，設攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為、、（單位：），這個規(guī)定用數(shù)學關系式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知．故選：D．3．（2024·高一·湖南衡陽·階段練習）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學關系式可表示為（

）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c>M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c<M【答案】A【解析】長、寬、高之和不超過Mcm，∴a+b+c≤M.故選：A.4．（2024·高二·湖南懷化·期中）用不等式表示，某廠最低月生活費a不低于300元（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意：生活費a不低于300元，即.故選：B題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小5．（2024·高一·上?！るS堂練習），則．【答案】【解析】由作差法得，所以.故答案為：.6．（2024·高一·上?！ふn堂例題）設a、b為實數(shù)，比較與的值的大小.【解析】由，又a、b為實數(shù)，，，則，所以.7．（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知，求證：.【解析】，因為，所以，又，所以，所以.8．（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知a、b為任意給定的正數(shù)，求證：，并指出等號成立的條件．【解析】由題意可知：，因為，則，且，當且僅當時，等號成立，所以，即，等號成立的條件為.題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小9．（2024·高一·北京·階段練習）設，，則（填入“＞”或“＜”）．【答案】【解析】∵，即.又，.故答案為：>.10．（2024·高二·江西九江·階段練習）若，則、、、中最小的是.【答案】【解析】因為，所以，，因為，，所以，即故答案為：11．（2024·高一·上海·專題練習），則的大小關系為．【答案】≥【解析】因為，則由所以故答案為：12．（2024·高一·上海·期中）如果，，那么，，從小到大的順序是【答案】【解析】因為三個式子很明顯都是負數(shù)，所以，所以；同理，所以。綜上：故答案為：題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假13．（2024·高一·廣東湛江·階段練習）已知a，b，c，d均為實數(shù)，下列不等關系推導成立的是（

）A．若， B．若，C．若， D．若，【答案】D【解析】對于A：若，，則，則，故A錯誤；對于B：若，，例如，則，故B錯誤；對于C：若，可得，則，無法得出，故C錯誤；對于D：若，則，可得，則，所以，故D正確．故選：D．14．（2024·高一·廣東湛江·期末）下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】A選項，若，不等式兩邊同除以得，，A錯誤；B選項，不妨設，滿足，但，B錯誤；C選項，，不等式兩邊同時減去一個數(shù)，不等號不變，所以，故C錯誤；D選項，∵，∴，平方得，D正確.故選：D.15．（2024·高一·廣東湛江·期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對于A，若，又，則，故A正確，對于B，若，，滿足，但是，故B錯誤，對于C，若，則，故C錯誤，對于D，若，，滿足，但是，故D錯誤，故選：A．16．（2024·高一·上?！卧獪y試）若a、b、且，則下列不等式中成立的是（

）．A． B．C．（n為自然數(shù)） D．【答案】C【解析】對于A，若，則，所以A錯誤，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，所以C正確，對于D，若，則，所以D錯誤.故選：C題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式17．（2024·高一·上?！るS堂練習）已知，，求證．【解析】證明：因為，，所以，又因為，，所以，由不等式傳遞性，．18．（2024·高一·福建泉州·階段練習）（1）已知，設，，比較與的大?。唬?）證明：已知，且，求證：.【解析】（1），則；（2）因為，且，則，則，則，則，則，則，又則.命題得證.19．（2024·高一·廣西南寧·階段練習）（1）當時，比較與的大?。唬?）當時，求證：．【解析】（1），若，，所以，若，，所以，綜上：若，；若，.（2）由于，因為，所以，，，所以，所以.20．（2024·高一·浙江溫州·階段練習）（1）比較與的大??；（2）已知，求證：.【解析】（1）因為，所以.（2）因為，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以.題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小21．（多選題）（2024·高一·廣西南寧·期末）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，知必有，所以兩邊同乘以a，得，故A正確；因為b的符號不能確定，所以不一定正確，故B錯誤；由兩邊同乘以c，得，故C正確；當，時，滿足且，但，故D錯誤．故選：AC．22．（多選題）（2024·高一·山東·專題練習）對于實數(shù)，下列命題是真命題的為（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對于A：因為，所以，故A正確；對于B：因為，當時，由可得，當時，由可得，綜上可得若，則，故B正確；對于C：當，，滿足，但是，故C錯誤；對于D：因為，，即，，即，，，，故D正確．故選：ABD23．（多選題）（2024·高一·云南曲靖·期末）若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，由及不等式的性質(zhì)可知，故A正確；對于B，由，及不等式的性質(zhì)可知，故B正確；對于C，若，可得，故C錯誤；對于D，由及，可得，故D正確．故選：ABD．24．（多選題）（2024·高二·江蘇蘇州·階段練習）已知均為非零實數(shù)，則下列一定正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，時，顯然不成立，故B錯誤；對于C，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于D，因為，所以，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，，故D正確.故選：ACD.25．（多選題）（2024·高二·湖南·期中）已知且，．則下列關系一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意可知，，對于A，由，，根據(jù)同向可加性得，故A正確；對于B，取，驗證B錯誤；對于C，若，等式不成立，故C錯誤；對于D，兩式做差得，因為，所以，所以，故D正確.故選：AD.題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍26．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，則的范圍是．【答案】【解析】因為，所以，27．（2024·高一·山東棗莊·期中）若，則的范圍為.【答案】【解析】∵，∴，又，∴．故答案為：28．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習）若，，則的范圍是，的范圍是．【答案】【解析】因為，所以，由可得，所以，由可得，因為，所以，29．（2024·高一·湖北武漢·階段練習）設，，求，，的范圍.【解析】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【重難點集訓】1．（2024·高二·北京延慶·期末）已知實數(shù)，滿足，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，（當且僅當時取等號），又，，故A正確；對于B，當，時，，，則，故B錯誤；對于C，當，時，，，則，故C錯誤；對于D，當，時，，故D錯誤.故選：A.2．（2024·高三·浙江杭州·專題練習）某大學在校學生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關于該大學在校學生的結論中，一定成立的是（

）A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生【答案】C【解析】根據(jù)已知條件設理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根據(jù)題意可知，，根據(jù)異向不等式可減的性質(zhì)有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正確.其他選項沒有足夠證據(jù)論證.故選：C.3．（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A，當時，無意義，故A錯誤，對于B，當時，無意義，故B錯誤，對于C，若且，則，，故C正確，對于D，令，則，，顯然，故D錯誤，故選：C4．（2024·高一·江蘇常州·期末）設a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（

）A． B．C． D．與的大小與的取值有關【答案】A【解析】由，且，即，可得，即，故選：A.5．（2024·高一·河南洛陽·期末）今年某地因天氣干旱導致白菜價格不穩(wěn)定，假設第一周、第二周的白菜價格分別為元斤、元斤，王大媽每周購買元的白菜，李阿姨每周購買斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買白菜的平均價格分別記為，，則與的大小關系為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】C【解析】由題意可得，，，，，，，．故選：C．6．（2024·高一·北京昌平·期末）對于任意實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】對于A：如果，當時，則，選項A不正確；對于B：如果，取，，滿足條件，但，選項B不正確；對于C：如果，取，，滿足條件，但，選項C不正確；對于D：如果，則必有，故，則，選項D正確.故選：D.7．（2024·高三·全國·專題練習）根據(jù)條件：a，b，c滿足，且，有如下推理：①

②

③

④其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】由，因為，所以，對于b的值可正可負也可為0，因為，而，所以，所以①錯誤；因為，，從而，所以②錯誤；因為，當時，，當時，由，所以③正確；因為，，④正確；綜上可知，③④正確.故選：B．8．（2024·高一·安徽·期中）已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.因為，所以.故選：B.9．（多選題）（2024·高一·四川樂山·期中）下列不等式中，一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】對于A，由，，知，得，故A正確；對于B，當時，故B錯誤；對于C，當時，由，得，又，則，故有，故C正確；對于D，當，時，，D中不等式不一定成立，故D錯誤．故選：AC.10．（多選題）（2024·高一·云南昭通·期末）已知，，則以下正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因為，，所以，對于A，當，時，；當，時，，則，即；當，時，，則，即；當，時，，，則；綜上，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，當，時，，故D錯誤，故選：ABC.11．（多選題）（2024·高一·湖北襄陽·期末）19世紀戴德金利用他提出的分割理論，從對有理數(shù)集的分割精確地給出了實數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學實數(shù)理論的基礎之一可以推出實數(shù)理論中的六大基本定理，那么在證明有理數(shù)的不完備性時，經(jīng)常會用到以下兩個式子，已知正有理數(shù)，滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，而，，所以，即，故A正確，B錯誤；因為，，所以，即，故C正確，D錯誤.故選：AC12．（2024·高一·上海長寧·開學考試）已知，有四個推理：①；②；③；④，其中所有錯誤的序號是【答案】①②④【解析】對于①，當時，顯然不等式不成立，故①錯誤；對于②，當時，滿足，不滿足，故②錯誤；對于③，由，則，即，故③正確；對于④，由得同號，故當時，等價于，故，故④錯誤.故答案為：①②④.13．（2024·高二·全國·競賽）已知正整數(shù)n滿足條件：存在唯一的整數(shù)k，使成立.這樣的n的最大值是.【答案】112【解析】由得，，即.又由整數(shù)k的唯一性知，，解得，而時，，，滿足的整數(shù)k只有97，故符合.故答案為：.14．（2024·高一·江蘇無錫·階段練習）設實數(shù)滿足：，則的最大值是【答案】22【解析】由題意不妨設，則，解得，所以，注意到，所以，，所以當且僅當即時，取得最大值22，綜上所述：的最大值是22.故答案為：22.15．（2024·高一·上?！ふn堂例題）葉老師和王老師兩人一起去糧店打醬油共三次，葉老師每次打100元醬油，而王老師每次打100斤醬油，由于醬油市場瞬息萬變，每次打的醬油價格都不相同，分別為a元、b元、c元，則三次后兩人所打醬油的平均價格較低的是哪位老師？請寫出理由的關鍵不等式．【解析】葉老師的平均價格為，王老師的平均價格為，于是有：，因為每次打的醬油價格都不相同，所以a、b、c互不相等，所以，即所以葉老師的平均價格更低．故平均價格較低的是葉老師，理由的關鍵不等式為．16．（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知、且、，試比較與的大小.【解析】，所以，當且僅當時取等號.17．（2024·高一·浙江·專題練習）某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準備每周（按120個工時計算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產(chǎn)60臺，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表家電名稱空調(diào)彩電冰箱工時產(chǎn)值（千元）432問每周應生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少（以千元為單位）？【解析】設每周應生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱的數(shù)量分別為臺、臺、臺，則有總產(chǎn)值,而,,即.故每周生產(chǎn)空調(diào)30，彩電270，冰箱30，最高產(chǎn)值1050.18．（2024·高一·上?！ふn堂例題）比較下列各組中兩式的大?。?1)已知，試比較與的大小；(2)已知，比較與的大?。窘馕觥浚?）依題意，，由，得，則，且，即，所以．（2）依題意，，由，得，而，因此，所以．【高考真題】1．（2006年普通高等學校春季招生考試數(shù)學試題（上海卷））若，，，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，取，滿足，但，故A錯誤；對于B，取，滿足，但，故B錯誤；對于D，取，則，故D錯誤；對于C，因為，則，又，所以，故C正確.故選：C.2．（1987年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（全國卷））設a，b是滿足的實數(shù)，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，滿足，則，此時，故不正確；對于B，因為，所以，所以，所以，故正確；對于C，滿足，則，，此時，故不正確；對于D，滿足，則，此時，故