2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量課時作業(yè)212.7向量應(yīng)用舉例含解析北師大版必修4

課時作業(yè)21向量應(yīng)用舉例時間：45分鐘滿分：100分——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題(每小題5分，共40分)1．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，則四邊形為(D)A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：由題意知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴四邊形為菱形．2．河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π叮瑢π〈陟o水中的速度大小為(B)A．10m/s B．2eq\r(26)m/sC．4eq\r(6)m/s D．12m/s解析：設(shè)河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，船的實際速度為v，則|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al(2,1))＝eq\r(100－0＋4)＝eq\r(104)＝2eq\r(26).3．在△ABC中，若eq\o(BA,\s\up6(→))·(2eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC肯定是(D)A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形解析：eq\o(BA,\s\up6(→))·(2eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0.由向量加法的平行四邊形法則，知以CA，CB為鄰邊的平行四邊形的對角線相互垂直，所以△ABC肯定是等腰三角形．4．已知直線l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)與l平行，則實數(shù)m的值是(D)A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：由于eq\f(1,1－m)＝－eq\f(m,2)，得m＝－1或m＝2.5．若向量eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分別表示兩個力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為(C)A．(5,0) B．(－5,0)C．eq\r(5) D．－eq\r(5)解析：|F1＋F2|＝|(1,1)＋(－3，－2)|＝|(－2，－1)|＝eq\r(5).6．已知一物體在共點力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)的作用下產(chǎn)生位移s＝(2lg5,1)，則共點力對物體做功W為(D)A．lg2 B．lg5C．1 D．2解析：W＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.故選D．7.如圖，在重600N的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為(C)A．300eq\r(3)N,300eq\r(3)N B．150N,150NC．300eq\r(3)N,300N D．300N,300N解析：設(shè)兩根繩子在物體上的作用點為O，作?OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在?OACB中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos30°＝300eq\r(3)N，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|sin30°＝300N，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝300N.8．在△ABC中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，且a·b＝b·c＝c·a，則△ABC的形態(tài)是(C)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．A、B、C均不正確解析：∵a＋b＋c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則有a＋b＝－c，(a＋b)2＝c2，整理得a2＋b2＋2a·b＝c2.①同理b2＋c2＋2b·c＝a2.②①－②，有a2－c2＋2(a·b－b·c)＝c2－a2，由于a·b＝b·c，∴a2＝c2，即|a|＝|c|.同理|a|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.即|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|.∴△ABC是等邊三角形．∴選C．二、填空題(每小題5分，共15分)9．設(shè)點A(1,1)，B(3，y)，且eq\o(AB,\s\up6(→))為直線2x－y＋1＝0的方向向量，則y＝5.解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，y－1)，依題意得eq\f(y－1,2)＝2，所以y＝5.10．一艘船從A點動身以2km/h的速度向垂直對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/h，則船實際航行速度的大小和方向為大小為2eq\r(2)km/h，方向與水流方向的夾角為45°.解析：如圖，|v1|＝2，|v2|＝2，且v1⊥v2，∴|v|＝eq\r(|v1|2＋|v2|2)＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，cos∠BAC＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠BAC＝45°，所以大小為2eq\r(2)km/h，方向與水流方向的夾角為45°.11.如圖，在四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝4，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，則(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4.解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up6(→))|＋|\o(BD,\s\up6(→))|\o(DC,\s\up6(→))|＝4,|\o(BD,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|\o(DC,\s\up6(→))|＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|\o(BD,\s\up6(→))|＝2,|\o(AB,\s\up6(→))|\o(DC,\s\up6(→))|＝2)).延長AB到E，使DC＝BE，連接CE.∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(CE,\s\up6(→))，∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝2，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，∠CAE＝45°，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos45°＝4.故填4.三、解答題(共25分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)12．(12分)兩個力F1＝i＋j，F(xiàn)2＝4i－5j作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從A(20,15)移到點B(7,0)．其中i，j是x軸、y軸正方向上的單位向量．求：(1)F1，F(xiàn)2分別對該質(zhì)點做的功．(2)F1，F(xiàn)2的合力F對該質(zhì)點做的功．解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F(xiàn)1＝(1,1)，F(xiàn)2＝(4，－5)．∴WF1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－13－15＝－28(J)，WF2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，∴WF＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．13．(13分)已知|p|＝2eq\r(2)，|q|＝3，p，q的夾角為eq\f(π,4)，如圖，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝5p＋2q，eq\o(AC,\s\up6(→))＝p－3q，D為BC的中點，求eq\o(AD,\s\up6(→))的模．解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(p－3q＋5p＋2q)＝eq\f(1,2)(6p－q)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2))＝eq\f(1,2)eq\r(6p－q2)＝eq\f(1,2)eq\r(36p2－12p·q＋q2)＝eq\f(1,2)eq\r(36×2\r(2)2－12×2\r(2)×3×cos\f(π,4)＋32)＝eq\f(15,2).——實力提升類——14．(5分)設(shè)O為△ABC的外心，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則M是△ABC的(C)A．重心 B．內(nèi)心C．垂心 D．外心解析：由O為△ABC的外心，可得OA＝OB＝OC．∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).設(shè)AB的中點為D，則OD⊥AB，eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴CM⊥AB．同理可得，AM⊥BC，BM⊥AC，故M是△ABC的垂心．15．(15分)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點，求證：三角形的三條中線AD，BE，CF交于一點．證明：令eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋B．令A(yù)D與BE交于點G1，并假設(shè)eq\o(AG1,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BG1,\s\up6(→))＝μeq\o(BE,\s\up6(→))，則eq\o(AG1,\s\up6(→))＝λa－eq\f(λ,2)b，eq\o(BG1,\s\up6(→))＝－eq\f(μ,2)a＋μb，∴eq\o(AG1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→