2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2.2第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(五)組合與組合數(shù)公式(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列四個(gè)問(wèn)題屬于組合問(wèn)題的是()A．從4名志愿者中選出2人分別參與導(dǎo)游和翻譯的工作B．從0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席深圳世界高校生運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)當(dāng)班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)和學(xué)習(xí)委員C[A、B、D項(xiàng)均為排列問(wèn)題，只有C項(xiàng)是組合問(wèn)題．]2．已知平面內(nèi)A，B，C，D，E，F(xiàn)這6個(gè)點(diǎn)中任何3點(diǎn)均不共線，則由其中隨意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的全部三角形的個(gè)數(shù)為()A．3 B．20C．12 D．24B[Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,3×2×1)＝20.]3．下列等式不正確的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！) B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1) D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)D[由組合數(shù)公式逐一驗(yàn)證知D不正確．]4．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，則n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．4A[Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×eq\f(1,2)n(n－1)．由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.]5．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有()A．36種 B．48種C．96種 D．192種C[甲選修2門有Ceq\o\al(2,4)＝6種選法，乙、丙各有Ceq\o\al(3,4)＝4種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×4×4＝96種選法．]二、填空題6．10個(gè)人分成甲、乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)210[從10人中任選出4人作為甲組，則剩下的人即為乙組，這是組合問(wèn)題，共有Ceq\o\al(4,10)＝210種分法．]7．方程：Ceq\o\al(2x,4)＋Ceq\o\al(2x－1,4)＝Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)的解集為________．{x|x＝2}[由組合數(shù)公式的性質(zhì)可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≤4，,2x－1≤4，,2x∈N，,2x－1∈N，))解得x＝1或x＝2，代入方程檢驗(yàn)得x＝2滿意方程，所以原方程的解為{x|x＝2}．]8．按ABO血型系統(tǒng)學(xué)說(shuō)，每個(gè)人的血型為A，B，O，AB四種之一，依血型遺傳學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)父母中至少有一人的血型是AB型時(shí)，子女肯定不是O型，若某人的血型為O型，則父母血型全部可能狀況有________種．9[父母應(yīng)為A或B或O，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＝9種狀況．]三、解答題9．從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)后得到一個(gè)由這三個(gè)數(shù)組成的最小三位數(shù)，則可以得到多少個(gè)不同的這樣的最小三位數(shù)？[解]從6個(gè)不同數(shù)字中任選3個(gè)組成最小三位數(shù)，相當(dāng)于從6個(gè)不同元素中任選3個(gè)元素的一個(gè)組合，故全部不同的最小三位數(shù)共有Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,3×2×1)＝20個(gè)．10．求式子eq\f(1,C\o\al(x,5))－eq\f(1,C\o\al(x,6))＝eq\f(7,10C\o\al(x,7))中的x.[解]原式可化為：eq\f(x！5－x！,5！)－eq\f(x！6－x！,6！)＝eq\f(7·x！7－x！,10·7！)，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2為原方程的解．1．已知圓上有9個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連一線段，若隨意兩條線的交點(diǎn)不同，則全部線段在圓內(nèi)的交點(diǎn)有()A．36個(gè)B．72個(gè)C．63個(gè)D．126個(gè)D[此題可化歸為圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，全部四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為所求，所以交點(diǎn)為Ceq\o\al(4,9)＝126個(gè)．]2．從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中隨意取出3臺(tái)，其中至少有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有()A．140種 B．84種C．70種 D．35種C[可分兩類：第一類，甲型1臺(tái)、乙型2臺(tái)，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝4×10＝40(種)取法，其次類，甲型2臺(tái)、乙型1臺(tái)，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝6×5＝30(種)取法，共有70種不同的取法．]3．某科技小組有女同學(xué)2名、男同學(xué)x名，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽．若恰有1名女同學(xué)入選的不同選法有20種，則該科技小組中男同學(xué)的人數(shù)為________．5[由題意得Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,x)＝20，解得x＝5(負(fù)值舍去)．所以該科技小組有5名男同學(xué)．]4．已知eq\f(C\o\al(m－1,n),2)＝eq\f(C\o\al(m,n),3)＝eq\f(C\o\al(m＋1,n),4)，則m與n的值分別為________．14,34[可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,2m－1！n－m＋1！)＝\f(n！,3m！n－m！)，,\f(n！,3m！n－m！)＝\f(n！,4m＋1！n－m－1！)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5m＝2n＋2，,7m＝3n－4，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝14，,n＝34.))]5．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中隨意抽出3件．(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？[解](1)所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有Ceq\o\al(3,100)＝eq\f(100×99×98,1×2×3)＝161700(種)．(2)從2件次品中抽出1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有Ceq\o\al(2,98)種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)＝9506(種)．(3)法一：抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種狀況．在第(2)小題中已求得其中1件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)種，因此依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,98)＋Ceq\