2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)1.4.1.2空間中直線(xiàn)平面的垂直含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE七空間中直線(xiàn)、平面的垂直(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系中BC=2,原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),點(diǎn)D在平面Oyz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,則的坐標(biāo)為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.如圖所示,過(guò)D作DE⊥BC,垂足為E.在Rt△BCD中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=QUOTE.所以DE=CD·sin30°=QUOTE,OE=OB-BD·cos60°=1-QUOTE=QUOTE.所以D點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE,即的坐標(biāo)為QUOTE.2.(2024·楚雄高二檢測(cè))直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中點(diǎn),=λ,=3,若PN⊥BM,則λ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.如圖,以AB,AC,AA1所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(λ,0,1),NQUOTE,B(1,0,0),MQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,所以·=λ-QUOTE+QUOTE-QUOTE=0,即λ=QUOTE.3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,則等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由·=0得3+5-2z=0,所以z=4.又因?yàn)椤推矫鍭BC,所以即QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點(diǎn),則直線(xiàn)CE垂直于 ()A.AC B.A1D C.BD D.A1A【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),EQUOTE.所以=QUOTE,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1).因?yàn)槠渲兄挥小?(-1)×QUOTE+(-1)×QUOTE+0×1=0,所以CE⊥BD.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知平面α的一個(gè)法向量a=(x,1,-2),平面β的一個(gè)法向量b=QUOTE,若α⊥β,則x-y=.

【解析】因?yàn)棣痢挺?所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.答案:-16.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱BC,DD1上的點(diǎn),假如B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和為.

【解析】以D1為原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)CE=x,DF=y,則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(x-1,0,1),=(1,1,y),因?yàn)锽1E⊥平面ABF,所以·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,即x+y=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=QUOTECC1.求證:AB1⊥MN.【證明】設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB為x軸,OC為y軸,OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE,NQUOTE,B1QUOTE,因?yàn)镸為BC中點(diǎn),所以MQUOTE.所以=QUOTE,=(1,0,1),所以·=-QUOTE+0+QUOTE=0.所以⊥,所以AB1⊥MN.8.如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求證:平面ADE⊥平面ABE.【證明】取BE的中點(diǎn)O,連接OC,則OC⊥EB,又因?yàn)锳B⊥平面BCE,所以以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則由已知條件有C(1,0,0),B(0,QUOTE,0),E(0,-QUOTE,0),D(1,0,1),A(0,QUOTE,2).設(shè)平面ADE的法向量為n=(a,b,c),則n·=(a,b,c)·(0,2QUOTE,2)=2QUOTEb+2c=0,n·=(a,b,c)·(-1,QUOTE,1)=-a+QUOTEb+c=0.令b=1,則a=0,c=-QUOTE,所以n=(0,1,-QUOTE).又因?yàn)锳B⊥平面BCE,所以AB⊥OC,所以O(shè)C⊥平面ABE,所以平面ABE的法向量可取為m=(1,0,0).因?yàn)閚·m=(0,1,-QUOTE)·(1,0,0)=0,所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE.(15分鐘·30分)1.(5分)(多選題)(2024·連云港高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn),若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),則 ()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=QUOTE D.AP∥BC【解析】選AC.A.·=-2-2+4=0,所以⊥,即AP⊥AB.因此正確.B.=+=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),·=3+6-3=6≠0,所以AP與BP不垂直,因此不正確.C.=-=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),所以||=QUOTE=QUOTE,因此正確.D.假設(shè)=k,則QUOTE無(wú)解,因此假設(shè)不正確,因此AP與BC不行能平行,因此不正確.2.(5分)如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點(diǎn),F是AD上一點(diǎn),當(dāng)BF⊥PE時(shí),AF∶FD的值為 ()A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶1【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,PA=a,則B(1,0,0),EQUOTE,P(0,0,a).設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,y,0),則=(-1,y,0),=QUOTE.因?yàn)锽F⊥PE,所以·=0,解得y=QUOTE,即點(diǎn)F的坐標(biāo)為QUOTE,所以F為AD的中點(diǎn),所以AF∶FD=1∶1.3.(5分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和點(diǎn)Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π],若直線(xiàn)OP與直線(xiàn)OQ垂直,則x的值為.

【解析】由OP⊥OQ,得·=0.即(2cosx+1)·cosx+(2cos2x+2)·(-1)=0.所以cosx=0或cosx=QUOTE.因?yàn)閤∈[0,π],所以x=QUOTE或x=QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE4.(5分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE=.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B1(0,0,3a),DQUOTE,C(0,QUOTEa,0).設(shè)E(QUOTEa,0,z)(0≤z≤3a),則=QUOTE,=(QUOTEa,0,z-3a).由題意得2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.故AE=a或2a.答案:a或2a【加練·固】(2024·北海高二檢測(cè))如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E,要使AB1⊥平面C1DF,則線(xiàn)段B1F的長(zhǎng)為.

【解析】以C1為原點(diǎn),C1A1為x軸,C1B1為y軸,C1C為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由題意A1(1,0,0),B1(0,1,0),DQUOTE,C1(0,0,0),A(1,0,2),設(shè)F(0,1,t),0≤t≤2,則=QUOTE,=(-1,1,-2),=(0,1,t),因?yàn)锳B1⊥平面C1DF,所以所以1-2t=0,解得t=QUOTE.所以線(xiàn)段B1F的長(zhǎng)為QUOTE.答案:QUOTE5.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E為PC的中點(diǎn),EF⊥BP于點(diǎn)F.求證:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.【證明】由題意得,DA,DC,DP兩兩垂直,所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖,設(shè)DC=PD=1,則P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),EQUOTE.所以=(1,1,-1),=QUOTE,=QUOTE,設(shè)F(x,y,z),則=(x,y,z-1),=QUOTE.因?yàn)椤?所以x+QUOTE-QUOTE=0,即x+y-z=0.①又因?yàn)椤?可設(shè)=λ,所以x=λ,y=λ,z-1=-λ.②由①②可知,x=QUOTE,y=QUOTE,z=QUOTE,所以=QUOTE.(1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面EDB的法向量,則有即QUOTE所以QUOTE取z1=-1,則n1=(-1,1,-1).因?yàn)?(1,0,-1),所以·n1=0.又因?yàn)镻A?平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面EFD的法向量,則有即QUOTE所以QUOTE取z2=1,則n2=(-1,-1,1).所以∥n2,所以PB⊥平面EFD.1.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點(diǎn),P是AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與A1C1的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn).若點(diǎn)Q在線(xiàn)段B1P上,則下列結(jié)論正確的是 ()A.當(dāng)點(diǎn)Q為線(xiàn)段B1P的中點(diǎn)時(shí),DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)點(diǎn)Q為線(xiàn)段B1P的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P)時(shí),DQ⊥平面A1BDC.在線(xiàn)段B1P的延長(zhǎng)線(xiàn)上,存在一點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在點(diǎn)Q,使DQ與平面A1BD垂直【解析】選D.以A1為原點(diǎn),A1B1,A1C1,A1A所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),DQUOTE,P(0,2,0),=(1,0,1),=QUOTE,=(-1,2,0),=QUOTE.設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則取z=-2,則x=2,y=1,所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(2,1,-2).假設(shè)DQ⊥平面A1BD,且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),則=+=QUOTE,因?yàn)橐彩瞧矫鍭1BD的法向量,所以n=(2,1,-2)與=QUOTE共線(xiàn),于是有QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE成立,但此方程關(guān)于λ無(wú)解.故不存在點(diǎn)Q,使DQ與平面A1BD垂直.2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)(不與C,C1重合).(1)求證:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,試確定E點(diǎn)的位置.【解析】(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)E(0,a