2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用課后習(xí)題含解析北師大版必修5

§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用課后篇鞏固探究A組1.現(xiàn)有200根相同的鋼管,把它們堆成正三角形垛,要使剩余的鋼管盡可能少,則剩余鋼管的根數(shù)為()A.9 B.10 C.19 D.29解析:∵n(n+1)2<200,而滿意n(n+1)2<200時(shí),n可取的最大值為19.當(dāng)n=19時(shí),答案:B2.銀行一年定期的年利率為r,三年定期的年利率為q,為吸引長期資金,激勵儲戶存三年定期存款,則q的值應(yīng)略大于()A.(1+r)3-1 B.1C.(1+r)3-1 D.r解析:設(shè)儲戶存a元,存一年定期并自動轉(zhuǎn)存,三年后的本利和為a(1+r)3元.三年定期的本利和為a(1+3q)元.為激勵儲戶存三年定期,則a(1+3q)>a(1+r)3,即q>13[(1+r)3-1]答案:B3.某運(yùn)輸卡車從材料工地運(yùn)輸電線桿到500m以外的馬路,沿馬路一側(cè)每隔50m埋一根電線桿,又知每次最多只能運(yùn)3根,要完成運(yùn)載20根電線桿的任務(wù),最佳方案是使運(yùn)輸卡車運(yùn)行()A.11700m B.14600mC.14500m D.14000m解析:由近往遠(yuǎn)運(yùn)輸,第一次運(yùn)兩根,以后每次運(yùn)三根,這種運(yùn)法最佳,由近往遠(yuǎn)運(yùn)輸,每次來回行走的米數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,記為{an},則a1=1100,d=300,n=7,故S7=7×1100+7×62×300=14000答案:D4.某林廠現(xiàn)在的森林木材存量是1800萬立方米,木材以每年25%的增長率生長,而每年要砍伐固定的木材量為x萬立方米,為達(dá)到經(jīng)兩次砍伐后木材存量增加50%的目標(biāo),則x的值是()A.40 B.45 C.50 D.55解析:經(jīng)過一次砍伐后,木材存量為1800(1+25%)-x=2250-x;經(jīng)過兩次砍伐后,木材存量為(2250-x)×(1+25%)-x=2812.5-2.25x.由題意應(yīng)有2812.5-2.25x=1800×(1+50%),解得x=50.答案:C5.一個(gè)卷筒紙,其內(nèi)圓直徑為4cm,外圓直徑為12cm,一共卷了60層,若把各層都視為一個(gè)同心圓,π取3.14,則這個(gè)卷筒紙的長度約為m(精確到個(gè)位).

解析:∵紙的厚度相同,∴各層同心圓直徑成等差數(shù)列.∴l(xiāng)=πd1+πd2+…+πd60=60π·4+122=480π=1507.2(cm)≈15(m)答案:156.一種特地占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒起先時(shí)占據(jù)內(nèi)存2kB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機(jī)后分,該病毒占據(jù)64MB(1MB=210kB).

解析:由題意可得每3分病毒占的內(nèi)存容量構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,設(shè)病毒占據(jù)64MB時(shí)自身復(fù)制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,從而復(fù)制的時(shí)間為15×3=45(分).答案:457.甲、乙兩人于同一天分別攜款1萬元到銀行儲蓄,甲存5年定期儲蓄,年利率為2.88%,乙存一年定期儲蓄,年利率為2.25%,并在每年到期時(shí)將本息續(xù)存一年期定期儲蓄,按規(guī)定每次計(jì)息時(shí),儲戶須交納20%作為利息稅.若存滿五年后兩人同時(shí)從銀行中取出存款,則甲、乙所得利息之差為元.

解析:由已知甲所得本息和a=10000+10000×2.88%×5×80%,而乙事實(shí)上年利率在去掉利息稅后為45×2.25%,故乙所得本息和應(yīng)為b=10000×1+45×2.25%5,答案:219.018.某地區(qū)有荒山2200畝,從2024年起先每年年初在荒山上植樹造林,第一年植樹100畝,以后每一年比上一年多植樹50畝(假定全部成活).則至少須要幾年可將荒山全部綠化?解設(shè)第n年植樹造林an畝,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其中a1=100,d=50,∴an=100+50×(n-1)=50(n+1),∴Sn=na1+n(n-1)2=25(n2+3n),要將荒山全部綠化,只要Sn≥2200,即25(n2+3n)≥2200,∴n2+3n-8×11≥0,得n≥8,故至少須要8年可將荒山全部綠化.9.導(dǎo)學(xué)號33194026為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè),提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益,長沙市安排用若干年更換一萬輛燃油型公交車,每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動力型車.今年年初投入了電力型公交車128輛,混合動力型公交車400輛,安排以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動力型車每年比上一年多投入a輛.(1)求經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)S(n);(2)若該市安排用7年的時(shí)間完成全部更換,求a的最小值.解(1)設(shè)an,bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量,依題意知,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為128,公比為1+50%=32的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為400,公差為a的等差數(shù)列所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=128×=25632數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=400n+n(所以經(jīng)過n年,該市更換的公交車總數(shù)S(n)=Sn+Tn=25632n-1+(2)若用7年的時(shí)間完成全部更換,則S(7)≥10000,即256327-1+400×7即21a≥3082,所以a≥308221又a∈N+,所以a的最小值為147.B組1.通過測量知道,溫度每降低6℃,某電子元件的電子數(shù)目就削減一半.已知在零下34℃時(shí),該電子元件的電子數(shù)目為3個(gè),則在室溫27℃時(shí),該元件的電子數(shù)目接近()A.860個(gè) B.1730個(gè) C.3072個(gè) D.3900個(gè)解析:由題設(shè)知,該元件的電子數(shù)目改變?yōu)榈缺葦?shù)列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,616=1016,可得a11=3·210=3072,故選答案:C2.現(xiàn)存入銀行8萬元,年利率為2.50%,若采納1年期自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),則5年末的本利和是()萬元.A.8×1.0253 B.8×1.0254C.8×1.0255 D.8×1.0256解析:定期自動轉(zhuǎn)存屬于復(fù)利計(jì)算問題,5年末的本利和為8×(1+2.50%)5=8×1.0255(萬元).答案:C3.某企業(yè)在2024年年初貸款M萬元,年利率為m,從該年年末起先,每年償還的金額都是a萬元,并恰好在10年間還清,則a的值等于()A.M(1+C.Mm(1+解析:由已知條件和分期付款公式可得,a[(1+m)9+(1+m)8+…+(1+m)+1]=M(1+m)10,則a=Mm(答案:C4.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格,即依據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a,最高銷售限價(jià)b(b>a)以及實(shí)數(shù)x(0<x<1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+x(b-a).這里,x被稱為樂觀系數(shù).閱歷表明,最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中項(xiàng).據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)x的值等于.

答案:-5.已知某火箭在點(diǎn)火第一秒通過的路程為2km,以后每秒通過的路程都增加2km,在達(dá)到離地面240km的高度時(shí),火箭與飛船分別,則這一過程大約須要的時(shí)間是秒.

解析:設(shè)每一秒通過的路程依次為a1,a2,a3,…,an,則數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=2,公差d=2的等差數(shù)列.由求和公式得na1+n(n即2n+n(n-1)=240,解得n=15.答案:156.某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案,甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加5千元.兩種方案運(yùn)用期都是10年,到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算,試比較兩種方案中,哪種純獲利更多?(取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解①甲方案獲利:1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=1.310-1銀行貸款本息:10(1+5%)10≈16.29(萬元),故甲方案純獲利:42.62-16.29=26.33(萬元).②乙方案獲利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)=10×1+10×92×0.5=32.5(萬元銀行本息和:1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]=1.05×1.0510-1故乙方案純獲利:32.50-13.21=19.29(萬元).綜上所述,甲方案純獲利更多.7.導(dǎo)學(xué)號33194027某企業(yè)在第1年年初購買一臺價(jià)值為120萬元的設(shè)備M,M的價(jià)值在運(yùn)用過程中逐年削減.從第2年到第6年,每年年初M的價(jià)值比上年年初削減10萬元;從第7年起先,每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%.(1)求第n年年初設(shè)備M的價(jià)值an的表達(dá)式;(2)設(shè)An=a1+a2+…+ann,若An大于80萬元,則M接著運(yùn)用,否則須在第n年年初對M(1)解當(dāng)n≤6時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120,公差為-10的等差數(shù)列,an=120-10(n-1)=130-10n.當(dāng)n≥7時(shí),數(shù)列{an}是以a7為首項(xiàng),34為公比的等比數(shù)列,又a7=70×3所以an=70×34×34n因此,第n年年初,M的價(jià)值an的表達(dá)式為an