2024-2025學年新教材高中數(shù)學第11章立體幾何初步11.3.1平行直線與異面直線教案新人教B版必修第四冊

PAGE1-11.3空間中的平行關系11.學習目標核心素養(yǎng)1.駕馭空間中兩條直線平行的判定與性質．(重點)2．理解并駕馭等角定理，并會應用．(難點)3．理解異面直線的定義，會畫兩條異面直線．(一般)4．了解空間四邊形的定義．(一般)1.借助兩直線平行的判定與性質，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．通過等角定理的學習，培育直觀想象的核心素養(yǎng).前面我們已經(jīng)從長方體中總結出了空間中直線與直線的位置關系：相交、平行、異面．在這里我們將接著學習推斷空間中兩直線位置關系的方法，熟識空間平行關系的判定及性質．思索：平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；在同一平面內(nèi)，假如兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行，這是初中所學的兩個結論，假如去掉“同一平面內(nèi)”這個條件，在空間中這兩個結論還成立嗎？1．平行直線(1)平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)平行線的傳遞性文字表述：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．這一性質稱為空間平行線的傳遞性．符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))?b∥c.2．等角定理假如一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．思索：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，這兩個角具有什么關系？[提示]相等或互補．3．異面直線的判定與一個平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線異面．4．空間四邊形1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a?α，b?β，則a，b是異面直線． ()(2)若a與b異面，b與c異面，則a與c異面． ()(3)若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面． ()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結論都不對B[因為AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR與∠ABC相等或互補．因為∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]3．假如兩條平行直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有平行直線()A．12對 B．18對C．24對 D．36對B[由基本領實易知共有18對．]4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段C1D，BC的中點，則直線A1B與直線EF相交[直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．]空間兩直線位置關系的推斷【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線A1B與直線D1C(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C(4)直線AB與直線B1C(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面[(1)在正方體AC1中，因為A1D1BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1C．(2)因為B∈平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，B?B1C，又A1?平面BCC1B1，由異面直線的判定可知A1B與B(3)因為D1D∩D1C＝D1，所以直線D1D與直線D1(4)由異面直線的判定可知AB與B1C判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交．(2)重要結論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，B?l，l?α，則AB與l是異面直線(如圖)．eq\o([跟進訓練])1．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是()A．平行B．相交C．異面D．相交或異面D[畫出圖形，得到結論．(1)(2)如圖(1)，分別與異面直線a，b平行的兩條直線c和d是相交關系．如圖(2)，分別與異面直線a，b平行的兩條直線c和d是異面關系．綜上可知，應選D．]直線與直線平行的證明【例2】在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC和AD的中點，將平面DCEF沿EF翻折起來，使CD到C′D′的位置，G，H分別為AD′和BC′的中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．[證明]因為在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，所以EF∥AB且EF＝eq\f(1,2)(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB．因為G，H分別為AD′，BC′的中點，所以GH∥AB且GH＝eq\f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq\f(1,2)(AB＋CD)，所以GHEF，所以四邊形EFGH為平行四邊形．證明兩條直線平行的三種方法(1)一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點．(2)二是利用平面圖形的有關平行的性質，如三角形中位線、梯形、平行四邊形等關于平行的性質．(3)三是利用平行線的傳遞性：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．eq\o([跟進訓練])2．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點．求證：四邊形MNA′C′是梯形．[證明]如圖，連接AC，因為M，N為CD，AD的中點，所以MNeq\f(1,2)AC，由正方體性質可知，ACA′C′，所以MNeq\f(1,2)A′C′，所以四邊形MNA′C′是梯形．等角定理及其應用【例3】在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D求證：(1)EFE1F1.(2)∠EA1F＝∠E1CF1[證明](1)連接BD，B1D1，在△ABD中，因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EFeq\f(1,2)BD，同理E1F1eq\f(1,2)B1D1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因為AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1，所以四邊形BDD1B1是平行四邊形，所以BDB1D1，所以EFE1F1.(2)取A1B1的中點M，連接BM，F(xiàn)1M，因為MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC，所以四邊形BCF1M是平行四邊形，所以MB∥CF1，因為A1MEB，所以四邊形EBMA1是平行四邊形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可證：A1F∥E1C，又∠EA1F與∠F1CE1兩邊的方向均相反，所以∠EA1F＝∠求證角相等的方法一是用等角定理；二是用三角形全等或相像．eq\o([跟進訓練])3．已知E，E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點，證明：∠BEC＝∠B1E1C[證明]如圖，連接EE1，因為E，E1分別為AD，A1D1的中點，所以A1E1AE.所以四邊形A1E1EA為平行四邊形．所以A1AE1E.又因為A1AB1B，所以E1EB1B．因為四邊形E1EBB1是平行四邊形．所以E1B1∥EB．同理，E1C1∥EC．又∠BEC與∠B1E1C1的方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C學問：1．空間平行線的傳遞性主要用于證明線線平行，只要找到一條直線與兩條直線都平行，就可以證明這兩條直線相互平行，除了空間平行線的傳遞性，利用平面幾何學問也可以證明線線平行．2．利用空間等角定理證明兩角相等的步驟(1)證明兩個角的兩邊分別對應平行；(2)判定兩個角的兩邊的方向都相同或者都相反．3．判定或證明兩條直線異面的思路(1)既不平行也不相交的兩條直線為異面直線．(2)與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線．(3)反證法：證明立體幾何問題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結論相反的假設；其次步是由此假設推出與已知條件或某一公理、定理或某一正確的命題相沖突的結果；第三步是推翻假設，從而證明原結論是正確的．方法：推斷空間中兩條直線位置關系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系．特殊關注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關系．1．如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面A[∵E，F(xiàn)分別是SN和SP的中點，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.]2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點，則四邊形D1PBQA．正方形 B．菱形C．矩形 D．空間四邊形B[設正方體棱長為2，干脆計算可知四邊形D1PBQ各邊均為eq\r(5)，又四邊形D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形．]3．已知角α和角β的兩邊分別平行且一組邊方向相同，另一組邊的方向相反，若α＝45°，則β＝________.135°[由等角定理可知β＝135°.]4．已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，