2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)4.2.1.1等差數(shù)列的概念含解析新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

PAGE三等差數(shù)列的概念(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的度數(shù)成等差數(shù)列,則B的度數(shù)為 ()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】選C.因?yàn)锳,B,C的度數(shù)成等差數(shù)列,所以2B=A+C,又因?yàn)锳+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°.【加練·固】已知m和2n的等差中項(xiàng)是4,2m和n的等差中項(xiàng)是5,則m和n的等差中項(xiàng)是 ()A.2 B.3 C.6 【解析】選B.由題意2n+m=8,2m+n=10,兩式相加得3m+3n=18,m+n=6,所以m和n的等差中項(xiàng)是3.2.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=QUOTE,a4+a5=QUOTE,ak=33,則k= ()A.50 B.49 C.48 【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=QUOTE,a4+a5=QUOTE,所以2a1+7d=QUOTE,解得d=QUOTE,則an=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE,則ak=QUOTE=33,解得k=50.3.(多選題)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ()A.若a,b,c成等差數(shù)列,則a2,b2,c2肯定成等差數(shù)列B.若a,b,c成等差數(shù)列,則2a,2b,2C.若a,b,c成等差數(shù)列,則ka+2,kb+2,kc+2肯定成等差數(shù)列D.若a,b,c成等差數(shù)列,則QUOTE,QUOTE,QUOTE可能成等差數(shù)列【解析】選BCD.對(duì)于A,取a=1,b=2,c=3?a2=1,b2=4,c2=9,A錯(cuò).對(duì)于B,取a=b=c?2a=2b=2對(duì)于C,因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),C正確;對(duì)于D,取a=b=c≠0?QUOTE=QUOTE=QUOTE,D正確.4.數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-2,公差為4的等差數(shù)列.若an=bn,則n的值為 ()A.4 B.5 C.6 【解析】選B.an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2024·南京高二檢測)若等差數(shù)列{an}滿意a2+a6=16,則a9+a3-a8=________.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍2+a6=16=2(a1+3d),所以a1+3d=8,則a9+a3-a8=a1+3d=8.答案:86.一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為:a,2a-1,3-a.則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.

【解析】因?yàn)閍+(3-a)=2(2a-1),所以a=QUOTE.所以這個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為QUOTE,QUOTE,QUOTE.所以d=QUOTE,an=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE+1.答案:an=QUOTEn+1三、解答題(每小題10分,共20分)7.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=112,a2=116,這個(gè)數(shù)列在450到600之間共有多少項(xiàng)?【解析】由題意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.令450≤an≤600,解得85.5≤n≤123,又因?yàn)閚為正整數(shù),故有38項(xiàng).8.已知數(shù)列{an}滿意a1=1,QUOTE=QUOTE,an>0,求an.【解題指南】由已知條件,引入數(shù)列QUOTE,并證明是等差數(shù)列,再求an.【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以QUOTE=2+QUOTE,QUOTE-QUOTE=2.所以數(shù)列QUOTE是以QUOTE=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以QUOTE=1+(n-1)×2=2n-1.又an>0,所以an=QUOTE(n∈N+).(15分鐘·30分)1.(5分)設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng),x2是a2與-b2的等差中項(xiàng),則a,b的關(guān)系是 ()A.a=-b B.a=3bC.a=-b或a=3b D.a=b=0【解析】選C.由等差中項(xiàng)的定義知:x=QUOTE,x2=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.2.(5分)等差數(shù)列的首項(xiàng)為QUOTE,且從第10項(xiàng)起先為比1大的項(xiàng),則公差d的取值范圍是 ()A.d>QUOTE B.d<QUOTEC.QUOTE<d<QUOTE D.QUOTE<d≤QUOTE【解析】選D.由題意QUOTE所以QUOTE所以QUOTE<d≤QUOTE.【加練·固】已知在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)為20,公差是整數(shù),從第8項(xiàng)起先為負(fù)項(xiàng),則公差為 ()A.-3B.3C.4D.-4【解析】選A.因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中,首項(xiàng)為20,公差是整數(shù),從第8項(xiàng)起先為負(fù)項(xiàng),所以a1=20,且a7=a1+6d≥0,a8=a1+7d<0,所以20+6d≥0,且20+7d<0,解得-QUOTE≤d<-QUOTE,又d為整數(shù),所以d=-3.3.(5分)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿意:a1=1,a2=2,2QUOTE=QUOTE+QUOTE(n∈N*,n≥2),則an=________,a7=________.

【解析】因?yàn)?QUOTE=QUOTE+QUOTE(n∈N*,n≥2),所以數(shù)列{QUOTE}是以QUOTE=1為首項(xiàng),以d=QUOTE-QUOTE=4-1=3為公差的等差數(shù)列,所以QUOTE=1+3(n-1)=3n-2,所以an=QUOTE,n≥1.所以a7=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE4.(5分)(2024·徐州高二檢測)若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,lna1,lna2,lna5成等差數(shù)列,則QUOTE的值為________.

【解析】數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,lna1,lna2,lna5成等差數(shù)列,所以2ln(a1+d)=lna1+ln(a1+4d),所以(a1+d)2=a1(a1+4d),所以QUOTE+2a1d+d2=QUOTE+4a1d,解得d=2a1,所以QUOTE=QUOTE=3.答案:35.(10分)已知等差數(shù)列{an}中,a2=4,a6=16.(1)證明:數(shù)列QUOTE是公差為-2的等差數(shù)列;(2)若在數(shù)列{an}每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù),使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列,求新數(shù)列的第41項(xiàng).【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍2=4,a6=16,所以4d=a6-a2=12,得d=3,所以an=a2+(n-2)d=3n-2,設(shè)bn=QUOTEan-3n,則bn=-2n-QUOTE,所以bn+1-bn=-2,即數(shù)列QUOTE是公差為-2的等差數(shù)列.(2)由(1)得a1=4-3=1,設(shè)新數(shù)列為{cn},其公差為d1,則c1=1,c5=4,所以4d1=3,得d1=QUOTE,所以c41=1+(41-1)×QUOTE=31.1.(2024·西安高二檢測)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為________.

【解析】因?yàn)閍1=1,a4+λa10+a16=15,所以2+18d+λ(1+9d)=15,解得:d=QUOTE,λ≠-2.因?yàn)楣頳∈[1,2],所以1≤QUOTE≤2,解得:-QUOTE≤λ≤-QUOTE.則實(shí)數(shù)λ的最大值為-QUOTE.答案:-QUOTE2.在數(shù)列{an}中,an+1=2an+2n,a1=1,設(shè)bn=QUOTE.(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(