2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE§2獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)[填一填]設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A)1；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B)1.其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)，b表示變量A取A1，且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)，c表示變量A取A2，變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)，d表示變量A取A2，變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)．(1)χ2≤2.706時(shí)，沒(méi)有充分證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(2)χ2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(4)χ2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．[答一答]獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是什么？提示：把假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想詳細(xì)化到獨(dú)立性檢驗(yàn)中，就可以通過(guò)隨機(jī)變量χ2把兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想表述為：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．1．對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解獨(dú)立性檢驗(yàn)主要是為了解決兩個(gè)變量A與B之間是否獨(dú)立的問(wèn)題．應(yīng)用的思想方法是考查P(AB)與P(A)P(B)之間的關(guān)系．在統(tǒng)計(jì)中由于無(wú)法確定P(AB)與P(A)P(B)的值，因此我們利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法，即利用樣本中的頻率值代替概率值，利用2×2列聯(lián)表，可以對(duì)是否有關(guān)聯(lián)作出推斷，但無(wú)法保證推斷的正確性．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)完善2×2列聯(lián)表；(2)計(jì)算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)；(3)把χ2的值與臨界值進(jìn)行比較，然后確定兩個(gè)變量是否有關(guān)聯(lián)或相關(guān)聯(lián)的程度.題型一獨(dú)立性檢驗(yàn)[例1]打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)．下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問(wèn)：每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？患心臟病未患心臟病每一晚都打鼾30224每一晚都不打鼾241355[思路探究]利用“2×2列聯(lián)表”，計(jì)算出χ2，再進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)．[解]2×2列聯(lián)表為：患心臟病未患心臟病合計(jì)每一晚都打鼾30224254每一晚都不打鼾2413551379合計(jì)5415791633依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(1633×30×1355－224×242,254×1379×54×1579)≈68.033.∵68.033>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)．規(guī)律方法“每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)”指的是統(tǒng)計(jì)上的關(guān)系，不要誤以為是因果關(guān)系．詳細(xì)到某一個(gè)每一晚都打鼾的人，并不能說(shuō)他肯定患心臟?。鋵?shí)從2×2列聯(lián)表中也可以看出，每一晚都打鼾的人群中，患心臟病的概率也只有eq\f(30,254)，略微超過(guò)非常之一．至于他患不患心臟病，應(yīng)當(dāng)由醫(yī)學(xué)檢查來(lái)確定．動(dòng)物園對(duì)某種動(dòng)物進(jìn)行接種試驗(yàn)，預(yù)防傳染病，經(jīng)試驗(yàn)得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)栠M(jìn)行接種試驗(yàn)是否能有效預(yù)防傳染?。猓河梢阎獢?shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表如下：則χ2＝eq\f(172×68×6－80×182,86×86×24×148)≈6.973，∵6.973>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為“接種”與“染病”有關(guān)．又設(shè)A為接種未染病，B為未接種未染病，則由數(shù)據(jù)得P(A)＝eq\f(80,86)≈0.9302，P(B)＝eq\f(68,86)≈0.7907.∴我們有99%的把握認(rèn)為接種能夠更有效地預(yù)防傳染病．題型二獨(dú)立性檢驗(yàn)的簡(jiǎn)潔應(yīng)用[例2]某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理成2×2列聯(lián)表如下：體育文娛總計(jì)男生212344女生62935總計(jì)275279試分析“喜愛(ài)體育還是喜愛(ài)文娛”與“性別”有關(guān)嗎？[思路探究]依據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出χ2的值，將χ2和臨界值比較，從而推斷“喜愛(ài)體育還是喜愛(ài)文娛”與“性別”是否有關(guān)．[解]將a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79代入χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2≈8.106.因?yàn)?.106>6.635，所以我們有99%的把握判定“喜愛(ài)體育還是喜愛(ài)文娛”與“性別”有關(guān)．規(guī)律方法解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，首先由所給的2×2列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，然后代入χ2統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式，依據(jù)所得結(jié)果確定有多大的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)．對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤，調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表(單位：人)：試問(wèn)：病人又發(fā)作心臟病是否與其接受心臟搭橋手術(shù)有關(guān)？解：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324)≈1.779.因?yàn)?.779<2.706，所以沒(méi)有充分的證據(jù)判定接受心臟搭橋手術(shù)與又發(fā)作心臟病有關(guān)，可以認(rèn)為病人又發(fā)作心臟病與其是否接受心臟搭橋手術(shù)無(wú)關(guān)．——多維探究系列——概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題[例3]電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視狀況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．(1)依據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷是否有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女合計(jì)(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱(chēng)為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性，若從“超級(jí)體育迷”中隨意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.050.01k3.8416.635[解](1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”為25人，從而完成2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得χ2＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030.因?yàn)?.030<3.841，所以我們沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖可知，“超級(jí)體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.由10個(gè)基本領(lǐng)件組成，而且這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事務(wù)，則事務(wù)A由(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共7個(gè)基本領(lǐng)件組成，因而P(A)＝eq\f(7,10).某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類(lèi)班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班(加強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練)，乙班為對(duì)比班(常規(guī)教學(xué)，無(wú)額外訓(xùn)練)，在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一樣，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平均成果(均取整數(shù))如下表所示：60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人數(shù))36111812乙班(人數(shù))48131510現(xiàn)規(guī)定平均成果在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀．(1)試分別估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表，并問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助.優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)甲班乙班合計(jì)解：(1)由題意知，甲、乙兩班均有學(xué)生50人，甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為eq\f(30,50)＝60%，乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為eq\f(25,50)＝50%，所以甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為60%和50%.(2)列聯(lián)表如下：優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)甲班302050乙班252550合計(jì)5545100因?yàn)棣?＝eq\f(100×30×25－20×252,50×50×55×45)＝eq\f(100,99)≈1.010，所以由參考數(shù)據(jù)知，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助．1．為調(diào)查乘客暈機(jī)狀況，在某一次惡劣氣候飛行航程中，55名男乘客中有24名暈機(jī)，34名女乘客中有8名暈機(jī)．在檢驗(yàn)這些乘客暈機(jī)是否與性別相關(guān)時(shí)，常采納的數(shù)據(jù)分析方法是(C)A．頻率分布直方圖 B．回來(lái)分析C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．用樣本估計(jì)總體解析：依據(jù)題意，結(jié)合題目中的數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表，求出χ2的觀測(cè)值，比照臨界值表可得出暈機(jī)與性別是否有關(guān)的結(jié)論．這種分析數(shù)據(jù)的方法是獨(dú)立性檢驗(yàn)．故選C.2．關(guān)于分類(lèi)變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的值，下列說(shuō)法正確的是(B)A．χ2的值越大，“X和Y有關(guān)系”可信程度越小B．χ2的值越小，“X和Y有關(guān)系”可信程度越小C．χ2的值越接近于0，“X和Y無(wú)關(guān)”程度越小D．χ2的值越大，“X和Y無(wú)關(guān)”程度越大解析：χ2的值越大，X和Y有關(guān)系的可能性就越大，也就意味著X和Y無(wú)關(guān)系的可能性就越?。?．在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類(lèi)變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法中正確的是(C)A．若隨機(jī)變量χ2>6.635，我們有99%的把握說(shuō)吸煙與患肺病有關(guān)，則某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病B．若利用隨機(jī)變量χ2求出有99%的把握說(shuō)吸煙與患肺病有關(guān)，則在100個(gè)吸煙者中必有99個(gè)人患肺病C．若利用隨機(jī)變量χ2求出有95%的把握說(shuō)吸煙與患肺病有關(guān)，則是指有5%的可能性使得推斷錯(cuò)誤D．以上說(shuō)法均有錯(cuò)誤解析：若利用隨機(jī)變量χ2求出有95%的把握說(shuō)吸煙與患肺病有關(guān)，則是指有5%的可能性使得推斷錯(cuò)誤．4．若由兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2>3.841，那么我們就有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系．5．依據(jù)下表計(jì)算χ2＝1.779.解析：χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324)≈1.779.6．在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問(wèn)：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？解：計(jì)算得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075，∵χ2＝7.075>6.635，所以我們有99%的把握認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．7．為了探討患慢性氣管炎與吸煙量的關(guān)系，調(diào)查了228人，其中每天的吸煙支數(shù)在10支以上的20支以下的調(diào)查者中，患者人數(shù)有98人，非患者人數(shù)有89人，每天的吸煙支數(shù)在20支以上