2025年春新北師大版數(shù)學七年級下冊全冊課件

新北師大版數(shù)學七年級下冊全冊教學課件2025年春季新版教材第一章整式的乘除1冪的乘除北師大版-數(shù)學-七年級下冊第1課時同底數(shù)冪的乘法學習目標1.經(jīng)歷探究同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì)的過程,進一步體會冪的意義,發(fā)展推理能力和有條理的表達能力?！倦y點】2.了解同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì),運用性質(zhì)熟練進行計算,并能解決一些實際問題?！局攸c】3.在發(fā)展推理能力和有條理的表達能力的同時，體會學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學習數(shù)學的信心。新課導(dǎo)入光在真空中的速度大約是3×108m/s，太陽系以外距離地球最近的恒星是比鄰星，它發(fā)出的光到達地球大約需要4.22年。一年以3×107秒計算，比鄰星與地球的距離約為多少？解：根據(jù)距離=速度×時間，可得比鄰星與地球的距離約為：3×108×3×107×4.22=37.98×（108×107）(m)。108×107等于多少呢？新知探究知識點

同底數(shù)冪的乘法法則1108×107=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）（乘方的意義）7個108個10=10×10×···×1015個10

=1015（乘方的意義）(乘法的結(jié)合律)探究1：108×107如何計算呢？嘗試?交流am·an等于什么(m,n都是正整數(shù))？為什么？新知探究am·an(

個a)·(a·a·…·a)(

個a)=(a·a·…·a)(

個a)=a()

(乘方的意義)(乘法的結(jié)合律)(乘方的意義)mn

m+nm+n=(a·a·…·a)新知探究歸納總結(jié)同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n

(m，n都是正整數(shù))。同底數(shù)冪相乘,底數(shù)

，指數(shù)

。不變相加結(jié)果：①底數(shù)不變②指數(shù)相加應(yīng)用條件：①乘法

②底數(shù)相同在本章中,如果沒有特別說明，冪的指數(shù)中的字母都是正整數(shù)。新知探究思考?交流am

·an

·ap等于什么？為什么？am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p；am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p；am·an·ap=（a·…·a）·（a·…·a）·（a·…·a）m個an個ap個a=am+n+p新知探究典型例題例1

計算：（1）102×103；（2）10m×10n（m，n都是正整數(shù)）解：（1）102×103=102+3=105。(2)10m×10n=10m+n。新知探究

（4）105×（-10）8。

冪的底數(shù)必須相同，相乘時指數(shù)才能相加新知探究針對練習

解：（1）-3

典型例題新知探究例2

計算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x－y)2·(y－x)5。解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)

＝(2a＋b)3n。(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7。提示：將底數(shù)看成一個整體進行計算歸納總結(jié)底數(shù)互為相反數(shù)的冪相乘時，先把底數(shù)統(tǒng)一，再進行計算。

針對練習新知探究1.

(－x)3·(－x)2·(－x)＝________,(x－y)2·(x－y)4＝________。2.

計算：(a－b)3·(b－a)·(a－b)5＝___________。x6(x－y)6－(a－b)9典型例題新知探究

歸納總結(jié)同底數(shù)冪的乘法法則可以逆用，即am+n=am·an。知識點

同底數(shù)冪的乘法法則的逆用2154新知探究典型例題例4

光在真空中的速度約為3×108m/s，太陽光照射到地球上大約需要5×102m/s。地球距離太陽大約有多遠？解：3×108×5×102

=15×1010=1.5×1011(m)。因此，地球距離太陽大約有1.5×1011m。知識點

同底數(shù)冪的乘法法則的實際應(yīng)用3課堂小結(jié)同底數(shù)冪的乘法法則am·an=am+n(m，n都是正整數(shù))am·an·ap=am+n+p(m，n，p都是正整數(shù))同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加注意底數(shù)相同時底數(shù)不相同時直接應(yīng)用法則先變成同底數(shù)，再應(yīng)用法則

課堂訓練1.計算：(1)52×57;

(2)7×73×72;

(3)－x2·x3;

(4)(－c)3·(－c)m。

59

76－x5(－c)3+m課堂訓練2.

判斷。(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)x3·x5=x15

(

)(2)x·x3=x3

(

)(3)x3+x5=x8

(

)(4)x2·x2=2x4

(

)(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5=－x5

(

)(6)a3·a2－a2·a3=0

(

)(7)a3·b5=(ab)8

(

)(8)y7+y7=y14

(

)××××××√√第一章整式的乘除1冪的乘除第2課時冪的乘方北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.理解冪的乘方的運算性質(zhì)，進一步體會和鞏固冪的意義。【重點】2.掌握冪的乘方法則的推導(dǎo)過程并能靈活應(yīng)用?！倦y點】新課導(dǎo)入

地球、木星、太陽可以近似地看作球體。木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的_______倍和_______倍。103(102)3

新課導(dǎo)入你知道(102)3

等于多少嗎？冪的意義同底數(shù)冪的乘法法則=102×3思考：(am)n

=?其中m,n都是正整數(shù)。(102)3

=102×102×102

根據(jù)(

)=102+2+2根據(jù)(

)=106新知探究1知識點

冪的乘方法則提出問題：計算下列各式，并說明理由。(1)(62

)4；

(2)(a2

)3；

(3)(am

)2。

(3)(am

)2

＝am

·am＝am+m＝a2m。解：(1)(62

)4

＝62×62×62×62

＝62+2+2+2

＝68

＝62×4。(2)(a2

)3

＝a2

·a2

·a2＝a2+2+2＝a6＝a2×3。新知探究嘗試?思考如果m，n正整數(shù)，（am）n=?乘方的意義同底數(shù)冪的乘法法則乘法的意義=am+m+…+mn個m=amnn個am（am）n=

am

·am

·…·am

·am新知探究歸納總結(jié)注意：1.“底數(shù)不變”是指冪的底數(shù)a不變，“指數(shù)相乘”是指冪的指數(shù)m與乘方的指數(shù)n相乘。2.底數(shù)可以是具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式。冪的乘方法則：(am)n

=amn

(m，n

都是正整數(shù))。冪的乘方，底數(shù)

，指數(shù)

。不變相乘新知探究典型例題計算：(1)

(102)3；

(2)(b5)5；

例1

解：(1)(102)3=102×3=106。(2)(b5)5=b5×5=b25。(3)[(x－2y)3]4=(x－2y)3×4=(x－2y)12。(3)[(x－2y)3]4；新知探究(4)－(x2)m；

(5)(y2)3·y；

(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m。(5)(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7。(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12–a12=a12。(6)2(a2)6－(a3)4。新知探究針對練習

解：（1）(103)3=109。

（3）(x3)4·x2=x12·x2=x14。新知探究2.判斷下面計算是否正確？如果有錯誤請改正：(1)(x5)5=x10；

（

）(2)a6·a4=a24；

（

）

(3)m6+m4=m10；

（

）

(4)2y6+y6=3y

12。

（

）

××××改正：(x5)5=x25。改正：a6·a4=a10。改正：無法計算。改正：2y6+y

6=3y6。新知探究想一想：同底數(shù)冪的乘法法則與冪的乘方法則有什么相同

點和不同點？同底數(shù)冪相乘am·an=am+n指數(shù)相加冪的乘方

指數(shù)相乘底數(shù)不變新知探究2知識點

冪的乘方法則的逆用典型例題例2

比較340與430的大小。解：因為340＝(34)10，430＝(43)10，且34＝81，43＝64，81＞61，所以(34)10＞(43)10，即340＞430。新知探究針對練習1.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n。（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108。解：（1）103m＝(10m)3＝33＝27。（2）102n＝(10n)2＝22＝4。新知探究2.已知2x＋5y－3＝0，求4x

·32y

的值。解：因為2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，所以4x

·32y＝(22)x

·(25)y

＝22x

·25y＝22x＋5y＝23＝8。課堂小結(jié)冪的乘方（am）n=amn(m，n都是正整數(shù)）注意法則冪的乘方:底數(shù)不變，指數(shù)相乘冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別：(am)n=amn；am﹒an=am+n冪的乘方法則的逆用：amn=(am)n=(an)m(m，n都是正整數(shù)）課堂訓練1．判斷題，錯誤的予以改正。(1)a4＋a4＝2a8；()(2)(x3)3＝x6；()(3)(－4)2×(－4)4＝(－4)6＝－46；()(4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0。()×××√改正：a4＋a4＝2a4。改正：(x3)3＝x9。改正：原式＝46。52．若(x2)m＝x10，則m＝

。課堂訓練3.計算：(1)(103)3；

(2)(x3)4·

x2；(3)–(x2)3；

(4)x·x4

–x2·x3。

（4）x·x4–x2·x3＝x5–x5=0。解：a3m+2n＝a3m·a2n＝(am)3·(an)2＝23×52＝200。4．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值。解：（1）(103)3＝109。（2）

(x3)4·

x2＝

x12·

x2＝x14。（3）–(x2)3＝–x6。第一章整式的乘除1冪的乘除第3課時積的乘方北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.經(jīng)歷探索積的乘方的運算性質(zhì)的過程，進一步體會冪的意義，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力。【難點】2.了解積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題?！局攸c】新課導(dǎo)入地球可以近似地看成是球體，地球的半徑約為6×103千米，它的體積大約是多少立方千米?

那么，(6×103)3=？新知探究知識點

積的乘方法則1(2)(3×5)m；

＝嘗試?思考根據(jù)乘方的意義，試做下列各題：(1)(3×5)4；(3×5)4＝(3×5)(3×5)(3×5)(3×5)

＝3×3×3×3×5×5×5×5

＝34×54。(3×5)m＝(3×5)(3×5)…(3×5)m個（3×5）＝3m×5m。新知探究(3)(ab)n。＝anbn。(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n個(ab)＝(a·a·…·a)(b·b·…·b)n個an個b(乘方的意義)(乘法的交換律

和結(jié)合律)(乘方的意義)新知探究[延伸]

三個或三個以上的積的乘方，是否也具有上面的性質(zhì)?怎樣用公式表示?(abc)n=an·bn·cn歸納總結(jié)積的乘方的運算法則：(ab)n=anbn

(n是正整數(shù))。積的乘方等于

。把積中各個因式分別乘方，再把所得的冪相乘新知探究運用積的乘方法則進行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是系數(shù)不要漏乘方。典型例題例1

計算：(1)(2a2)3·a4＝

；(2)(x2y)3＝

；(4)－(－3a3)2·(a2)3＝

；(5)(－2a3b3)2＋(－2a2b2)3＝

。8a10x6y3

－9a12－4a6b6

新知探究

針對練習解：原式＝(－1)2x2my6m

＝x2my6m。解：原式＝(－5)3a3b3

＝－125a3b3。解：原式＝－32x4y2

＝－9x4y2。

新知探究涉及積的乘方的混合運算，一般先算積的乘方，再算乘法，然后算加減，最后合并同類項。例2

典型例題計算：(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3。解：原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9

＝－8a9＋16a9－125a9

＝－117a9。解：原式＝a6b12－a6b12＝0。新知探究對公式an·bn＝(ab)n要靈活運用，對于不符合公式的形式，要通過恒等變形轉(zhuǎn)化為公式的形式，運用此公式可進行簡便運算。知識點

積的乘方法則的逆用2典型例題

新知探究

針對練習解：(ab)2x＝a2xb2x＝(ax)2·(bx)2＝42×52＝400。

課堂小結(jié)積的乘方積的乘方等于把積中各個因式分別乘方，再把所得的冪相乘(ab)n=anbn

(n是正整數(shù))反向運用法則an·bn=

(ab)n課堂訓練1.計算(-x2y)2的結(jié)果是（

）A．x4y2

B．-x4y2C．x2y2

D．-x2y22.計算(-x2)3的結(jié)果是（

）A.-x5

B.x5

C.-x6

D.x63.下列四個算式中：①（a3）3=a3+3=a6；②［（b2）2］2=b2×2×2=b8；③［（-x）3］4=（-x）12=x12；④（-y2）5=y10，正確的算式有（

）A.0個

B.1個

C.2個

D.3個ACC課堂訓練

解：因為a5＝(59)5＝545，b9＝(95)9＝945，所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a5b9。第一章整式的乘除1冪的乘除第4課時同底數(shù)冪的除法北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.了解同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)，并能解決一些問題?！局攸c】2.理解并掌握科學記數(shù)法表示小于1的數(shù)的方法?！局攸c】3.能將用科學記數(shù)法表示的數(shù)還原為原數(shù)?！倦y點】新課導(dǎo)入

一種液體每升含有1012個有害細菌，為了試驗?zāi)撤N殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死109個此種細菌。要將1升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？1012÷109你知道怎么計算嗎？新知探究知識點

同底數(shù)冪的除法法則1探究1：計算下列各式，并說明理由（m，n都是正整數(shù)，且m>n）。(1)108÷105;

(2)10m÷10n;

n個108個105個10(m-n)個10

m個10新知探究嘗試?思考

am÷an=？am÷an=am-n。

m個an個a

m-n個a(m，n

都是正整數(shù)，m>n

)新知探究歸納總結(jié)同底數(shù)冪的除法法則：am

÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n）。同底數(shù)冪相除，底數(shù)

，指數(shù)

。不變相減新知探究解：原式＝(b－a)4÷(b－a)

＝(b－a)3。典型例題例1

計算：

(1)x6÷x2；

(2)(－3)7÷(－3)4；

(3)(－ab2)5÷(－ab2)2；

(4)(a－b)4÷(b－a)。解：原式＝x6－2＝x4。解：原式＝(－3)3＝－27。解：原式＝(－ab2)3

＝－a3b6。新知探究計算：(1)25÷23＝

；(2)a9÷a3÷a＝

；(3)(－xy)3÷(－xy)2÷(－xy)＝

；(4)(a－b)5÷(b－a)3＝

；(5)(－y2)3÷y6＝

；(6)am＋1÷am－1·(am)2＝

。針對練習4a51－(a－b)2－1a2m＋2新知探究

am-n

=am÷an已知：am

=8，an

=5。求：(1)am－n

的值；

(2)a3m－3n

的值。知識點

同底數(shù)冪的除法法則的逆用2典型例題例2

新知探究

知識點

零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪3探究2：填空：你有什么發(fā)現(xiàn)？能用符號表示你的發(fā)現(xiàn)嗎？

33221100-1-1-2-2-3-3新知探究

思考?交流新知探究

任何

的數(shù)的零次冪都等于

；任何不等于零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))次冪，等于這個數(shù)的

。歸納總結(jié)

不等于零1p次冪的倒數(shù)新知探究

典型例題例3

用小數(shù)或分數(shù)表示下列各數(shù)：（1）10－3；

（2）70×8－2；

（3）1.6×10－4。

新知探究計算下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

歸納總結(jié)am·an=am+n

，am÷an=am-n(a≠0，m,n都是整數(shù))新知探究典型例題

a＞c＞b針對練習

C1新知探究

科學記數(shù)法除了可以表示一些絕對值很大的數(shù)外，也可以很方便地表示一些絕對值較小的數(shù)。

知識點

用科學記數(shù)法表示絕對值不大1的數(shù)4一個小于1的正數(shù)可以表示為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是負整數(shù)。典型例題例5

（1）0.0001＝

＝

；

（2）0.000000001295＝

。1.295×10－9新知探究【方法總結(jié)】用科學記數(shù)法表示數(shù)時應(yīng)注意：(1)1后面0的個數(shù)與10的n次方對應(yīng)。如1000…0＝10n；(2)絕對值小于1的數(shù)1前0的個數(shù)與10的負n次方對應(yīng)。如0.00…01＝10－n。n個0n個0n個0新知探究1.下列科學記數(shù)法表示正確的是(

)A．0.008＝8×10－2

B．0.0056＝5.6×10－2C．0.0036＝3.6×10－3

D．15000＝1.5×103

2.實驗表明，人體內(nèi)某細胞的形狀可以近似地看成球狀，并且它的直

徑為0.00000156m，則這個數(shù)可用科學記數(shù)法表示為(

)A．0.15×10－5

m

B．0.156×105

mC．1.56×10－6

m

D．1.56×106

m3.一塊900mm2的芯片上能集10億個元件，每一個這樣的元件約占多

少平方毫米？約占多少平方米？(用科學記數(shù)法表示)

解：9×10－7mm2;

9×10－13m2。針對練習CC新知探究解：(1)2×10－7＝0.0000002。(2)3.14×10－5＝0.0000314。(3)7.08×10－3＝0.00708。(4)2.17×10－1＝0.217。典型例題例6用小數(shù)表示下列各數(shù)：(1)2×10－7；

(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；

(4)2.17×10－1。把科學記數(shù)法表示的數(shù)還原成小數(shù)：在a前添n個0或把a的小數(shù)點向左移動|n|位新知探究

針對練習DD課堂小結(jié)零指數(shù)冪：a0＝1(a≠0)

運算性質(zhì)同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減科學記數(shù)法表示小于1的數(shù)表示大于1的數(shù)a×10n（1≤|a|＜10，n是整數(shù)）課堂訓練1.一種花瓣的花粉顆粒直徑約為0.0000065米，0.0000065用科學記

數(shù)法表示為(

)A.6.5×10-5

B.6.5×10-6C.6.5×10-7

D.65×10-62.一種細菌半徑是1.21×10-5米，用小數(shù)表示為

。3.下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正：（1）a6÷a1

=a；

（2）b6÷b3

=b2；（3）a10÷a9

=a；

（4）(-bc)4÷(-bc)2

=-b2c2。

B0.0000121錯誤，應(yīng)等于a6-1

=a5錯誤，應(yīng)等于b6-3=b3正確錯誤，應(yīng)等于(-bc)4-2=(-bc)2

=b2c2

課堂訓練

第一章整式的乘除2整式的乘法第1課時單項式與單項式相乘北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.掌握單項式與單項式相乘的運算法則?！局攸c】2.能夠靈活地進行單項式與單項式相乘的運算?！倦y點】新課導(dǎo)入若兩張畫紙的大小相同，請列式計算兩幅畫的面積。

這是什么運算？新知探究知識點

單項式與單項式相乘1上述計算過程運用了哪些運算律及運算性質(zhì)？乘法的交換律、結(jié)合律，同底數(shù)冪的乘法新知探究xyz·y2z=x·(y·y2)·(z·z)

=xy3z2。

操作?交流怎樣計算xyz·y2z？3a2b·2ab3呢？計算過程中用到了哪些運算律及運算性質(zhì)？3a2b·2ab3=（3×2）·(a2·a)·(b·b3)

=6a2+1b1+3

=6a3b4。根據(jù)（乘法交換律、結(jié)合律）根據(jù)（

同底數(shù)冪的乘法）根據(jù)(乘法交換律、結(jié)合律）根據(jù)

(同底數(shù)冪的乘法）新知探究拓展：單項式乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用。歸納總結(jié)單項式與單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。新知探究[方法總結(jié)](1)在計算時，應(yīng)先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；(2)注意按順序運算；(3)不要漏掉只在一個單項式里含有的字母因式；(4)此性質(zhì)對于多個單項式相乘仍然成立。典型例題例1

計算：(1)(－3.5x2y2)·(0.6xy4z)；(2)(－2ab3)2·(－a2b)。解：(1)原式＝(－3.5×0.6)(x2·x)(y2·y4)·z＝－2.1x3y6z。(2)原式＝4a2b6·(－a2b)＝－4(a2·a2)·(b6·b)＝－4a4b7。思考：單項式乘單項式的結(jié)果是

。單項式新知探究

針對練習

新知探究

×√××3a3·2a2=6a53x2·4x2=12x45y3·3y5=15y8－2x4y6新知探究

知識點

單項式與單項式相乘的實際應(yīng)用2典型例題

新知探究若長方形的寬是a×103

cm，長是寬的2倍，則長方形的面積為

cm2。針對練習2a2×106寬——a×103

cm長是寬的2倍——2a×103cm面積——a×103×2a×103cm2課堂小結(jié)單項式與單項式相乘轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的運算注意實質(zhì)(1)不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象；

(2)有乘方運算，先算乘方，再算單項式相乘。單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.法則課堂訓練

－7BA課堂訓練

課堂訓練5.一家住房的結(jié)構(gòu)如圖所示，這家房子的主人打算把臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？解：依題意，得2x·4y＋x·2y＋x·y＝8xy＋2xy＋xy＝11xy(平方米)。答：至少需要11xy平方米的地磚。第一章整式的乘除2整式的乘法第2課時多項式的乘法北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.能根據(jù)乘法分配律和單項式與單項式相乘的法則探究單項式與多項式相乘的法則。2.掌握單項式與多項式相乘的法則并會運用?！局仉y點】3.經(jīng)歷探索多項式乘法法則的過程，理解多項式乘法的法則，并會進行多項式乘法的運算?！局仉y點】4.進一步體會乘法分配律的作用和轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展有條理地思考和語言表達能力。新課導(dǎo)入

新知探究知識點

單項式與多項式相乘1操作?交流ab·(abc+2x)及c2·(m+n-p)等于什么?你是怎樣計算的?ab·(abc+2x)

=ab·abc+ab·2x

根據(jù)（

）=a2b2c+2xab

根據(jù)（

）

c2·(m+n-p)=乘法分配律單項式乘單項式c2·m+c2n-c2·p=c2m+c2n-c2p新知探究歸納總結(jié)單項式與多項式的乘法法則：

單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加。a(m+n)=注意：（1）依據(jù)是乘法分配律；（2）結(jié)果的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。anam+新知探究典型例題例1

計算：

[方法總結(jié)]單項式乘多項式，單項式要乘多項式的每一項；注意符號變化和運算順序。新知探究針對練習

新知探究典型例題

新知探究（2）如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？

新知探究針對練習1.一個長方體的長、寬、高分別是3x－4，2x和x，則它的表

面積是

。2.已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為2ab和(a＋b)，

則這個三角形的面積是

。3.先化簡，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中

a＝2。

解：原式＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2

＝－28a2＋15a，

當a＝2時，原式＝－82。22x2－24xa2b＋ab2新知探究知識點

多項式與多項式相乘2探究：某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長為m

、寬為a

的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n

和b

，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。解：由圖可知林區(qū)面積可表示為(a＋b)(m＋n)，也可以表示成ma＋mb＋na＋nb，由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb。新知探究如何計算(a+b)(m＋n)？(a+b)(m＋n)=11223344bnam+an+bm+新知探究歸納總結(jié)多項式與多項式的乘法法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。特別解讀：1.法則的實質(zhì)是將多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化為幾個單項式相乘的和的形式。2.多項式與多項式相乘的結(jié)果仍為多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該是兩個多項式的項數(shù)之積。3.計算結(jié)果一定要注意合并同類項。新知探究典型例題例3

計算：(1)(3x＋2)(x＋2)；

(2)(4y－1)(5－y)。解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4。(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5。

新知探究典型例題例4

先化簡，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1。解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2。當a＝－1，b＝1時，原式＝－8＋2－15＝－21。新知探究典型例題例5

千年古鎮(zhèn)楊家灘的某小區(qū)的內(nèi)部有一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a＋b)米的長方形空地，物業(yè)部門計劃將空地進行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當a＝3，b＝2時的綠化面積。新知探究解：由題意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝（5a2＋3ab)(平方米)。當a＝3，b＝2時，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)。故綠化的面積是63平方米。課堂小結(jié)單項式乘多項式1.注意運算順序和每一項的符號2.不要漏乘3.結(jié)果應(yīng)仍是多項式，且項數(shù)與計算前相同乘法分配律依據(jù)注意法則a(m+n)=am+an多項式乘多項式1.注意運算順序和每一項的符號2.不要漏乘3.結(jié)果中的同類項要合并(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn注意法則課堂訓練1.下列說法不正確的是（

）A.兩個單項式的積仍是單項式B.兩個單項式的積的次數(shù)等于它們的次數(shù)之和C.單項式乘多項式，積的項數(shù)與多項式項數(shù)相同D.多項式乘多項式，合并同類項前，積的項數(shù)等于兩個多項式的項

數(shù)之和2.下列多項式相乘的結(jié)果是a2-a-6的是（

）A.(a-2)(a+3)

B.(a+2)(a-3)C.(a-6)(a+1)

D.(a+6)(a-1)D

B課堂訓練3.計算：(1)(3x＋4)(2x－1)；解：原式＝6x2＋5x－4。(2)

(2x－3y)(x＋5y)；解：原式＝2x2＋7xy－15y2。(3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)。解：原式＝x2－6x＋7x－42－(x2＋x－2x－2)

＝2x－40。課堂訓練4.先化簡，再求值3a(2a2

-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2。解：3a(2a2

-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3

-12a2

+9a-6a3

-8a2=-20a2

+9a。當a=-2時，原式=-20×(－2)2

+9×(－2)=-98。課堂訓練5.如圖，在長為10，寬為6的長方形鐵皮四角截去四個邊

長為

x的正方形，再將四邊沿虛線折起，制成一個無蓋

的長方體盒子，求盒子的體積。解：(10－2x)(6－2x)x＝4x3－32x2＋60x。第一章整式的乘除3乘法公式第1課時平方差公式的認識北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步發(fā)展學生的符號感和推論能力。2.會運用公式進行簡單的乘法運算?！局攸c】新課導(dǎo)入計算下列各題，觀察結(jié)果有什么特征：(x＋1)(x－1)

(n＋2)(n－2)

＝x2－x＋x－1

＝x2－1。

(x－2y)(x＋2y)

(x＋5y)(x－5y)

＝x2＋2xy－2xy－4y2

＝x2－4y2。結(jié)果都為兩數(shù)的平方差。

＝n2－2n＋2n－4

＝n2－4。＝x2－5xy＋5xy－25y2＝x2－25y2。新知探究知識點

平方差公式探究：計算下列各題：(1)(x＋5)(x－5);

(2)(2y＋z)(2y－z)。解：(1)原式＝x2－5x＋5x－25＝x2－25。

(2)原式＝(2y)2－2yz＋2yz－z2＝4y2－z2。觀察以上算式及運算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？答：以上各算式可看成兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差相乘，結(jié)果均為對應(yīng)兩數(shù)的平方差的形式。新知探究歸納總結(jié)平方差公式：

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的

。平方差新知探究填一填：完成下列表格：a1

a0.3xb

x

a

1

1

新知探究練一練：回答下列問題：

新知探究典型例題例1

利用平方差公式計算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)。(4)原式＝(x2－4)(x2＋4)

＝x4－16。解：(1)原式＝(3x)2－52

＝9x2－25。(2)原式＝4a2－b2。(3)原式＝(－7m)2－(8n)2

＝49m2－64n2。新知探究[方法總結(jié)]應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：(1)

左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全

相同，另一項互為相反數(shù)；(2)

右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式。新知探究針對練習1.在計算下列各式時，可以用平方差公式的是(

)A．(x＋y)(x＋y)

B．(x－y)(y－x)C．(x－y)(－y＋x)

D．(x－y)(－x－y)

4x3－25x

－a＋bD課堂小結(jié)平方差公式緊緊抓住“一同一反”這一特征，在應(yīng)用時，只有兩個二項式的積才有可能應(yīng)用平方差公式；不能直接應(yīng)用公式的，要經(jīng)過變形才可以應(yīng)用(a+b)(a-b)=a2-b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差符號表示注意內(nèi)容課堂訓練

DD課堂訓練

課堂訓練

第一章整式的乘除3乘法公式第2課時平方差公式的運用北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.了解平方差公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想。【重點】2.會運用平方差公式進行數(shù)的簡便運算和整式的混合運算?！倦y點】新課導(dǎo)入

新知探究知識點

平方差公式的幾何意義1探究：如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。(1)請用含a，b的式子表示圖1中

陰影部分的面積。a2-b2(2)小穎將陰影部分拼成了一個

長方形(如圖2)，這個長方形

的長和寬分別是多少?你能

表示出它的面積嗎?

長為a+b，寬為a-b，面積是(a+b)(a-b)新知探究(3)比較(1)(2)的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎?

由于(1)(2)表示的面積相同，

所以可以驗證平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。歸納總結(jié)

通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系可對平方差公式做出幾何解釋。新知探究還有其他的幾何方法解釋嗎？ab新知探究知識點

平方差公式的運用2典型例題例1

利用平方差公式計算：

通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算。(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)

＝132－0.22

＝169－0.04＝168.96。新知探究針對練習

D新知探究典型例題例2

先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2。解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2。當x＝1，y＝2時，原式＝5×12－5×22＝－15。新知探究針對練習

新知探究典型例題例3

王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽。今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了。你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？解：李大媽吃虧了。理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.因為a2＞a2－16，所以李大媽吃虧了。課堂小結(jié)平方差公式應(yīng)用幾何意義圖形變形前后的面積相等化簡求值簡便計算實際情境課堂訓練1.如圖，在邊長為a的正方形中裁掉一個邊長為b的小正方形(如圖1)，

將剩余部分沿虛線剪開后拼接(如圖2)，通過計算，用拼接前后兩個

圖形中陰影部分的面積可以驗證等式(

)A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b22.計算a2-(a+1)(a-1)的結(jié)果是(

)A.1

B.-1

C.2a2+1

D.2a2-1AA課堂訓練3.簡便計算：（1）403×397；

解：原式=(400+3)(400-3)

=4002-32

=159991。（2）(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)。

解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=(a4-1)(a4+1)(a8+1)=(a8-1)(a8+1)=a16-1。第一章整式的乘除3乘法公式第3課時完全平方公式的認識北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力?！局攸c】2.會推導(dǎo)完全平方公式，并能運用公式進行簡單的計算?！倦y點】新課導(dǎo)入計算：(1)(x＋1)2；(2)(y－2)2。解：(1)原式＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1。

(2)原式＝(y－2)(y－2)＝y(tǒng)2－2y－2y＋4＝y(tǒng)2－4y＋4。思考：由上述計算，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？發(fā)現(xiàn)：原式是兩數(shù)和(或差)的平方，結(jié)果是這兩數(shù)平方和與它們2倍的和(或差)。新知探究知識點

完全平方公式1探究：計算(a＋b)2，(a－b)2，并歸納計算結(jié)果。解：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)

＝a2＋ab＋ab＋b2

＝a2＋2ab＋b2。(a－b)2＝(a－b)(a－b)

＝a2－ab－ab＋b2

＝a2－2ab＋b2。新知探究歸納總結(jié)完全平方公式：

兩數(shù)和（或差）的平方，等于

加上（或減去）兩數(shù)積的

。兩數(shù)的平方和2倍簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”。新知探究你能用下圖解釋上面的公式嗎?直接求：總面積=(a+b)2

間接求：總面積=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2aabba2b2abab新知探究

a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+b2aabb(a-b)2b2b(a-b)b(a-b)直接求：藍色正方形的面積=(a-b)2

間接求：藍色正方形的面積=(a-b)2=a2-2ab+b2新知探究完全平方公式的特征：1.積為二次三項式；2.積中的兩項為兩數(shù)的平方；3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與原式中間的符號相同；4.公式中的字母a，b

可以表示數(shù)、單項式和多項式。

新知探究典型例題例1

利用完全平方公式計算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；

(4)(a＋b＋c)2。解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2。(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2。(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2。(4)原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。注意：當公式中的兩個數(shù)的系數(shù)絕對值不為1時，平方時不要漏掉系數(shù)的平方。新知探究思考：(a+b)2與(-a-b)2

相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么?解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。(a-b)2與a2-b2不一定相等，只有當b=0或a=b時，(a-b)2=a2-b2。新知探究針對練習

×(x＋y)2

=x2＋2xy＋y2

(x－y)2

=x2－2xy＋y2(－x＋y)2

=x2－2xy＋y2(2x＋y)2

=4x2＋4xy＋y2×××新知探究典型例題例2

如果36x2＋mxy＋25y2是一個完全平方式，求m的值。解：因為36x2＋mxy＋25y2＝(6x)2＋mxy＋(5y)2，所以mxy＝±2·6x·5y，所以m＝±60，所以m＝60或－60。注意：完全平方式要分清是哪兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，已知完全平方式求中間系數(shù)中字母值時要考慮兩種情況。新知探究針對練習

CD新知探究知識點

完全平方公式的幾何意義2典型例題例3

我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab。那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此恒等式是(

)A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C課堂小結(jié)完全平方公式結(jié)果是三項，不要漏掉中間項(a±b)2=a2±2ab+b2兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍符號表示注意內(nèi)容中間項的符號要正確圖形變形前后陰影部分面積相等幾何解釋課堂訓練1.若x＋y＝4，則x2＋2xy＋y2的值是(

)A．2

B．4

C．8

D．162.如圖，從邊長為(a+1)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a﹣1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則該矩形的面積是(

)A．2cm2

B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2DC課堂訓練

3.若(3x－b)2＝ax2－12x＋4，則a，b的值分別為(

)A．3，2

B．9，2

C．3，－2

D．9，－2±2B第一章整式的乘除3乘法公式第4課時完全平方公式的運用北師大版-數(shù)學-七年級下冊學習目標1.綜合運用平方差公式和完全平方公式進行乘法運算?！局攸c】2.準確分辨并利用乘法公式進行運算。【難點】新課導(dǎo)入

有一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們。來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖；來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖；來三個，就給每人三塊糖；……

第一天，有a個男孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子____塊糖；

第二天，有b個女孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子____塊糖；

第三天，這(a+b)個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子_______塊糖。

問：這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？孩子們前兩天得到的糖果總和為：a2＋b2。

第三天得到的糖果數(shù)為：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。所以(a＋b)2－(a2＋b2)＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab。a2b2(a＋b)2新知探究解：(1)原式＝(100－1)2

＝1002－2×100×1＋1＝9

801。

知識點

完全平方公式的運用1探究：怎樣計算992，4012更簡單呢？(1)992；

(2)4012。(2)原式＝(400＋1)2＝4002＋2×400×1＋1＝160

801。新知探究解：(1)原式＝(100＋2)2=10000＋400＋4=10404。典型例題例1

運用完全平方公式計算：(1)1022；

(2)1972。