人教版九年級數學中考幾何壓軸題專題提升訓練（含答案）

人教版九年級數學中考幾何壓軸題專題提升訓練

1.如圖①，力8=5,射線力必〃8M點C在射線8V上,將△力比沿〃1所在直線翻折，點8的

對應點〃落在射線m'上，點戶，0分別在射線幽BN上,PQ//AB.設力M=x,QD=y.若

y關于x的函數圖象（如圖②）經過點￡（9,2）,則cos8的值等于（)

2.如圖①，￡為矩形18Q?的邊加上一點，龍V8C,點尸從點員出發(fā)沿折線■〃運動

到點〃停止，點。從點8出發(fā)沿8c運動到點C停止，它們的運動速度都是lcWs.現P,

。兩點同時出發(fā)，設運動時間為x（s）,△方過的面積為y（4）,若y與x的對應關系如

圖②所示，則矩形力靦的面積是（）

3.如圖，在△力勿中，AB=2,NABC=60°,N4==45。，〃是比的中點，直線）經過點

D,AE±J,BFA.1,垂足分別為eF,則川外防的最大值為（）

A.V6B.2亞C.2A/3D.3V2

4.如圖，在四邊形力aP中（力皮＞ao,ZABC=ZBCD=W,AB=3,及?=加，把Rt△力回

沿著力C翻折得到Rt△力若tan/然9=返，則線段風的長度（）

2

—

A.逅B考277

.1

35

5.如圖，等邊△48。的邊長為3,點〃在邊力C上，AD=1,線段加在邊胡上運動，PQ=

』，有下列結論:

①CP與Q〃可能相等;

②△力人與△8”可能相似；

③四邊形閨%面積的最大值為2孥;

④四邊形形刀。周長的最小值為3+亙

其中，正確結論的序號為（

A.@?B.②?C.①③

6.如圖，矩形力8⑦的對角線/劭交于點0,AB=6,BC=8,過點。作龐一〃；交49于

點、E,過點￡作夕」弧垂足為尸，則妙跖的值為（）

A3224

-fT

7.如圖，矩形紙片力及切中，AB=6,a=12.將紙片折疊，使點〃落在邊力〃的延長線上的

點G處，折痕為跖，點反尸分別在邊力〃和邊比上.連接班,交.CD于點、K,FG交CD

于點"給出以下結論:

①EF1BG：

②GE=GF、

③△◎冰和△頌的面積相等；

④當點尸與點C重合時，/DEF=75。，

其中正確的結論共有（）

D.4個

8.如圖，在正方形4四中，力4=3,點區(qū)尸分別在邊力8CD上,ZEFD=60：若將四邊

形曲"沿用折疊，點8'恰好落在月〃邊上，則龍的長度為（)

D.2

9.如圖，在△力比中，BC=3,將△力比'平移5個單位長度得到點只0分別是力氏

4G的中點，掰的最小值等于

10.如圖，30°,在加上截取如=加.過點4作48」。從交ON于點、反,以點

名為圓心，50為半徑畫弧，交〃機于點4；過點兒作"氏_L〃M，交〃V于點為以點民為

圓心，民。為半徑畫弧，交〃J/于點念按此規(guī)律，所得線段心員。的長等于

11.在△48。中，若47=6,N4C8=45°.則△48。的面積的最大值為.

12.如圖，點。在線段力8上，且力仁28C,分別以46;%為邊在線段力?的同側作正方形

ACDE、BCFG,連接EG,則tanN圓;=.

13.如圖，在"BCD中,N3=6(T,AB=10,8C=8,點E為邊AB上的一個動點,連接口

并延長至點"，使得"'=」應，以EC、以為鄰邊構造。西%C連接微貝IJ￡6的最小值

4

為.

14.如圖，在平面直角坐標系雙"中，半徑為2的0。與x軸的正半軸交于點力，點、B是。0

上一動點，點。為弦的的中點，直線尸3與A■軸、y軸分別交于點〃、E,則△延

4

面積的最小值為

15.如圖，在Rt△力宛中，NACB=90°,48=4,點〃，￡分別在邊力兄然上，且加=249,

AE=3EC,連接戰(zhàn)CD,相交于點0,則△/陽面積最大值為.

16.如圖，正方形仍切中，△?1比繞點力逆時針旋轉到△用C,M,〃分別交對角線即

于點、E,F,若絲=4,則小切的值為.

17.如圖，在四邊形力版中，4C與他相交于點0,AABC=^DAC=^°,tanN力加工

2

BO=A,則*△ABD=

OD3S^CBD

18.有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等

待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模

型如圖，乙仙然90°,點機"分別在射線胡，8c上，」W長度始終保持不變，劭仁4,

￡為樹的中點，點。到阻歐的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離

"'的最小值為

19.四邊形力靦是邊長為2的正方形，后是的中點，連接應；點尸是射線勿上一動點

（不與點8重合），連接力E交應于點G.

（1）如圖1,當點尸是8。邊的中點時，求證：△力?！鞯募?/p>

（2）如圖2,當點產與點C重合時，求NG的長；

（3）在點〃運動的過程中，當線段防為何值時，AG=AE2請說明理由.

圖1圖2備用圖

20.矩形力時中，［8=8,AD=\2.將矩形折疊，使點力落在點尸處，折痕為血

（1）如圖①，若點〃恰好在邊比上，連接HP,求星的值；

DE

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

【理解運用】（1）如圖①，對余四邊形力靦中，AB=5,BC=6,CD=4,連接力。.若力。

=AB,求sinN。。的值；

(2)如圖②，凸四邊形力仇刀中，AD=BD,ADLBII當25+4=式時，判斷四邊形4CT

是否為對余四邊形.證明你的結論；

【拓展提升】(3)在平面直角坐標系中，點力(?1,0),3(3,0),<7(1,2),四邊形

力四是對余四邊形，點￡在對余線切上，且位于△羽「內部，/力￡6-90°+/ABC.設

膽=〃，點〃的縱坐標為心請直接寫出“關于，的函數解析式.

BE

22.我們知道：如圖①，點6把線段力C分成兩部分，如果生=坐，那么稱點5為線段力C

ABAC

的黃金分割點.它們的比值為匹二.

2

(1)在圖①中，若於二20c，m,則9的長為cm；

(2)如圖②，用邊長為20c勿的正方形紙片進行如下操作：對折正方形靦得折痕防

連接出將⑶折疊到6F上，點8對應點〃，得折痕試說明：G是4?的黃金分割

點；

(3)如圖③，小明進一步探究：在邊長為a的正方形力驅的邊力。上任取點￡(4>龍)，

連接BE,作"眼交48于點凡延長即⑦交于點尺他發(fā)現當陽與8C滿足某種

關系時，￡產恰好分別是力〃、的黃金分割點.請猜想小明的發(fā)現，并說明理由.

23.如圖1,點8在線段四上，Rt△48c也Rt△。%4ABC=4CEF=9Q0,/胡仁30°,

BC=\.

(1)點尸到直線CA的距離是；

(2)固定△力比；將△處繞點。按順時針方向旋轉30°,使得小與。重合，并停止

旋轉.

①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段以'經旋轉運動所形成的平面圖形(用陰影表示,

保留畫圖痕跡，不要求寫畫法).該圖形的面積為；

②如圖2,在旋轉過程中，線段爐與俯交于點0,當應'=如時，求辦'的長.

（圖1）（圖2）

24.［初步嘗試］

（1）如圖①，在三角形紙片中，//曲=90°,將△4％折疊，使點8與點C重合，

折痕為JW,則兒獷與8獷的數量關系為;

［思考說理］

（2）如圖②，在三角形紙片月比'中，AC=BC=6,AB=10,將折疊，使點B與點C

重合，折痕為就M求迎的值；

BM

［拓展延伸］

（3）如圖③，在三角形紙片四C中，45=9,BC=6,N/⑦=2/4,將△/a'沿過頂點C

的直線折疊，使點3落在邊〃上的點"處，折痕為CM.

①求線段4。的長；

②若點。是邊檢的中點，點尸為線段如'上的一個動點，將△4％沿兩折疊得到△"

PM,點力的對應點為點H,用M與CP交于前F,求里的取值范圍.

MF

圖①圖②圖③

25.如圖，叼靦的對角線物相交于點0,過點。作mL"；分別交四、〃。于點民

F,連接4尸、CE.

（1）若0E=3,求用的長；

2

（2）判斷四邊形//療'的形狀，并說明理由.

26.如圖1,已知點。在四邊形AM?的邊力8上，旦0A=0B=0C=0i)=2,0C*,分乙BOD,

與劭交于點G,然分別與敬如交于點氏F.

(1)求證：OC/ZADx

(2)如圖2,若DE=DF,求柜的值；

AF

(3)當四邊形力靦的周長取最大值時，求典的值.

DF

27.如圖，在四邊形力8⑦中，AD//BC,對角線劭的垂直平分線與邊力0、8C分別相交于點

M、N.

(1)求證：四邊形以是菱形；

(2)若做=24,給』10,求菱形AWV的周長.

28.(1)如圖1,點尸為矩形/I以。對角線即上一點，過點、P作EF7/BC,分別交力8、CD千

點、E、F.若應1=2,PF=6,△力妹的面積為S，△677的面積為易則$+&=；

(2)如圖2,點尸為。力筋內一點(點尸不在8〃上)，點反F、G、〃分別為各邊的中

點.設四邊形4溝/的面積為S,四邊形依％的面積為￡（其中￡>S）,求的面

積（用含S、￡的代數式表示），

（3）如圖3,點尸為物靦內一點（點尸不在加上），過點尸作即〃力〃HG//AB,與各

邊分別相交于點氏F、G、H.設四邊形47W的面積為S，四邊形〃G6F的面積為$（其

中￡>$）,求△碩的面積（用含S、￡的代數式表示）；

（4）如圖4,點4、8、C、。把00四等分.請你在圓內選一點尸（點P不在“；物上），

設外、PC.菽圍成的封閉圖形的面積為S,PA.PD、標圍成的封閉圖形的面積為￡,△

物的面積為S,△處。的面積為S.、,根據你選的點〃的位置，直接寫出一個含有S、$、

S、S的等式（寫出一種情況即可）.

圖1圖2

29.如圖，正方形4/九〃的邊長為6,V為仍的中點，△，物化為等邊三角形，過點《作極的

垂線分別與邊力。、加相交于點AG,點只0分別在線段用回上運動，且滿足NE照

=60°,連接尸。.

（1）求證：△.死7必△.傷0.

（2）當點0在線段GC上時，試判斷小G0的值是否變化？如果不變，求出這個值，如

果變化，請說明理由.

（3）設NQI/=a,點8關于QM的對稱點為夕，若點8落在△」附的內部，試寫出a

的范圍，并說明理由.

30.問題1：如圖①，在四邊形力Q中，NB=/C=90。，P是BC上一點,PA=PD,NAPD

=90°.求證：A除CD=BC.

問題2：如圖②，在四邊形用究9中，NQN￡45°,乃是比'上一點，PA=PD,/APD

一90。.求幽強的值.

BC

證明的途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭?

(2)當u/CD=ACJC時,判斷△力8c與△/sr是否相似，并說明理

CD'ACzBC'

由.

32.(1)如圖①，點〃在力。上，點后在上，AD=Afi,4B=4C.求證：AB=AC.

(2)如圖②，力為。。上一點，按以下步驟作圖：

①連接的；

②以點力為圓心，40長為半徑作弧，交。。于點公

③在射線如上截取BC=0Ax

④連接AC.

若力仁3,求。。的半徑.

圖①圖②

33.如圖，MBCD中,N/%的平分線劭交邊于點。，⑺=4,以點。為圓心，必長為半

徑作。0,分別交邊加、留于點J/、N.點E在邊BC上,龐?交。。于點G,G為豕的中

點.

(1)求證：四邊形力比”為菱形；

(2)已知cosN46C=小，連接熊，當力￡與。。相切時，求四的長.

3

34.如圖，00是的外接圓，4?是00的直徑，/〃O=N8.

(1)求證：勿是。0的切線；

(2)若DELAB,垂足為區(qū)DE交AC于息F,求證：是等腰三角形.

35.如圖，已知/物390°,“是/般W的平分線，力是射線〃獷上一點，OA=8cm.動點P

從點月出發(fā)，以IcWs的速度沿40水平向左做勻速運動，與此同時，動點。從點。出

發(fā)，也以1的/s的速度沿〃邛豎直向上做勻速運動.連接尸。，交0T于點8.經過0、P、

0三點作圓，交”于點C,連接夕C、QC.設運動時間為￡(s),其中0V￡V8.

(1)求的值；

(2)是否存在實數￡,使得線段如的長度最大？若存在，求出￡的值；若不存在，說明

理由.

(3)求四邊形。￡0的面積.

<-/PA~^

36.如圖，在矩形48勿中，AB=2,47=1,點￡為邊切上的一點(與C、〃不重合)，四邊

形力既若關于直線加的對稱圖形為四邊形4V監(jiān)；延長艙交48于點尸，記四邊形為應'的

面積為S.

(1)若g返，求S的值；

3

(2)&DE=x,求S關于x的函數表達式.

BP

M

37.已知的兩邊分別與。。相切于點4B,?！ǖ陌霃綖閞.

（1）如圖1,點C在點4,4之間的優(yōu)弧上，乙瓶V-80°,求5的度數；

（2）如圖2,點。在圓上運動，當尸。最大時，要使四邊形加宛為菱形，N力/力的度數

應為多少？請說明理由；

（3）若尸。交。。于點〃，求第（2）問中對應的陰影部分的周長：用含1?的式子表示）.

38.如圖，。。為等邊△力歐的外接圓，半徑為2,點〃在劣弧標上運動（不與點兒8重

合），連接力，DB,DC.

（1）求證：〃。是//如的平分線；

（2）四邊形力〃紀的面積S是線段加的長x的函數嗎？如果是，求出函數解析式；如果

不是，請說明理由；

（3）若點MN分別在線段。，⑦上運動（不含端點），經過探究發(fā)現，點〃運動到每

一個確定的位置，△aw的周長有最小值心隨著點〃的運動，［的值會發(fā)生變化，求所

有￡值中的最大值.

39.如圖，力6為。。的直徑，點C在。。上，49與過點。的切線互相垂直，垂足為。.連接

比'并延長，交力〃的延長線于點笈

（1）求證：AE=AB\

（2）若超=10,BC=6,求切的長.

40.背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點反4、D

在同一條直線上），發(fā)現BE=DG且BE工DG.

小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：

（1）將正方形力防G繞點力按逆時針方向旋轉（如圖1）,還能得到廢一加嗎？若能，請

給出證明；若不能，請說明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形川苑;和菱形1比2將菱形47%繞點力按順時針

方向旋轉（如圖2）,試問當N用G與/班〃的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論跖

=〃G仍成立？請說明理由；

（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形力哥Z；和矩形力反刀，且處M上，AE=4,AB

AGAD3

=8,將矩形加孑G繞點力按順時針方向旋轉（如圖3）,連接〃《,/傷.小組發(fā)現：化旋轉

過程中，〃片+就的值是定值，請求出這個定值.

B

圖1圖2圖3

參考答案

1.解：YAM"BN,PQ//AB,

???四邊形/歷夕是平行四邊形,

:?AP=BQ=x,

由圖②可得當x=9時，y=2,

此時點0在點〃下方0處，且80=x=9時，y=2,如圖①所示,

BD=BQ~QD=x-y=7,

??,將△力旗沿力C所在直線翻折，點3的對應點〃落在射線BN上,

:.BC=CD=LBD=LACLBDy

22

7_

???cos8=毀=2=」-,

AB510

故選：D.

2.解：從函數的圖象和運動的過程可以得出：當點戶運動到點時，*=10,y=30,

過點￡作如1宛于凡

由三角形面積公式得：y=-^-BQXEH=yX10XEH=30?

乙乙

解得EH=AB=6,

AAE=^JBE2-AB2=7102-62=8（5），

由圖2可知當x=14時，點尸與點〃重合,

???矩形的面積為12X6=72（c/）.

故選：C.

3.解：如圖，過點。作0于點4,過點力作加于點"

在RSAHB中,

V/ARC=^°.AB=2.

:?BIf=l,AH=E

在Rta4函中，N力⑦=45°,

—JAH24cH2=J（V§）2+（V§）2=氓'

:.BD=CD,

在△跖9與△。⑵中，

rZBFD=ZCKD=90"

"ZBDF=ZCDK，

BD=CD

:.RBF噲RCKDCAAS),

:?BF=CK,

延長力反過點C作0V_L4?于點M

可得A階BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在Rt△力。V中，ANVAC,

當直線AL力。時，最大值為加，

綜上所述，力比跖的最大值為近.

故選：A.

4.解：方法一：如圖，延長加交力。于點明過點J"乍助歸_力￡于點M

設MN=Q,

J3

二?tan/力初=",

2

?.?MN_V3,

NE2

：.NE=2xt

,:NABC=90°,力6=3,BC=M，

???/以430°,

：.AC=2^

由翻折可知：

N必C=30°,

:,AM=2MN=2心,

：.AN=^fN=3xf

?:AE=AB=3,

??5x=3,

?-?Ar~_—3—,

5

:,AN=9,冊-Ml,小室i,

555

*：AC=2^

：,a!=AC-

5

???朗仁色應，NE=2x=§,

55

?,*M標隔詼羋^

4ABC=480）=90。,

：.CD//AB,

：.^DCA=^°,

由翻折可知：NECA=NBCA=60：

???/瓦笫=30°,

???切是NEC"的角平分線，

,SACEDEDCE

^ACMD肛CM

,V3ED

.豆一

解得，ED=?.

3

方法二：

如圖，過點〃作〃歸_圓

由折疊可知：/AEC=NB=90°,

:?AE〃DM,

：.4AED=/EDM,

Vs

：.tan^AED=tanZEDM=",

2

設笈仁仁，由折疊性質可知，EC=CB=^

???◎，=心心，

由翻折可知：/ECA=/BCA=60°,

???/比〃=30°,

AtanZi^=-5i=^,

CM3

工止=（加-7^）X—=1

3

???tanN被仁地=返，

DM2

gpy/~3—A/~3

Tin―_

解得，m=l,

3

??.〃Q2,￡仁返，

33

在直角三角形以y中，龍二成+Ek

解得，DE=±.

3

故選：B.

5.解：①利用圖象法可知PODQ,或通過計算可知〃。的最大值為等，用的最小值為

盟1所以%＞制，故①錯誤.

2

②設/。=必則第=48-力0-圖=3-x-2=9-x,

22

VZ/f=Z^=60°,

.當AD=AQ或9=迪時，△助。與△加C相似,

BP-CBCBBP

L

即4或2=片，解得X=1或3或-L,

l_x335r214

22

???當力gl或衛(wèi)■或巨時，兩三角形相似，故②正確

214

③設AQ=x,則四邊形PCDQ的面積=加械■-S*.-&協='^,X3"--XXX—-

4222

-lx3X(3-x--)X返

22288

???汗的最大值為3?工=立，

22

??.*=$時，四邊形網洶的面積最大，最大值=里返，故③正確，

216

如圖，作點〃關于力夕的對稱點“，作〃'尸〃尸Q,使得加F=PQ,連接⑦交力0于點

〃，在射線戶4上取戶Q'=PQ,此時四邊形〃CDQ'的周長最小.

過點。作仍LL"F交”廠的延長線于凡交加于/

由題意，DD'=2JZ>sin600=1，HJ=、Df=返，〃=盟1,F//=3--l-l=

2242224

旦

4，

4________________

???〃=JFH2yH『J子■產隼，

???四邊形UCDQ'的周長的最小值=3+嬰，故④錯誤，

2

故選：D.

6.解:?:AB=6,BC=8,

；?矩形加67?的面積為48,AB2+BC2=1°，

：?A0=D0=LC=5,

2

???對角線NG劭交于點0,

???△力切的面積為12,

*：E01A0,EF1D0,

：?產SdAo^S△颼，即12=2/10XE（h工DOXEF,

22

???12=-ix5X笈是X5X牙；

22

???5（E仇EF）=24,

???助牙三絲

5

故選：C.

7.解：如圖，連接BE,設以與防交于點，

???將紙片折疊，使點8落在邊4〃的延長線上的點G處,

???即垂直平分陰,

：.EFA.BG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正確，

?:AD"BC,

：?4EG0=/FB0,

又Y/EOG=/BOF,

:.△BOF^XGOE(AS心,

:?BF=EG,

:,BF=EG=GF,故②正確，

'：BE=EG=BF=FG,

???四邊形是菱形，

：2BEF=/GEF,

當點尸與點C重合時，則跖=86三跖=⑵

??飛行/力旗=坐=衛(wèi)=』,

BE122

???//!旗=30°,

:?/DEF=75：故④正確,

???比平分

:?DG#GH,

由角平分線定理，器嗡，

宓例WS^QKHi

故③錯誤;

故選：C.

8.解：???四邊形力灰》是正方形,

:、AB"CD、N4=90°,

工/EFD=NBEF=6Q0,

???將四邊形破下沿牙'折疊，點月恰好落在力。邊上，

：.ABEF=AFEH=60°,BE=BE,

:?/AEB=1800-4BEF-/FEB=60°,

:,BE=2AE,

設BE=x,則AE=3-x,

：.2(3-x)=*,

解得x=2.

故選：D.

9.解：取力。的中點M力出的中點M連接/W,闋AQ,PN,

?.?將△力宛平移5個單位長度得到△4E￡,

:.氏C、=BC=3,4T』5,

???點只。分別是力&4G的中點,

.?.閭=_1氐6=旦，

22

，5.線〃翻5+旦，

22

即工史，

22

???圖的最小值等于工，

2

10.解：,:B\O=B&,B4LOA2,

:.OA\—A\A29

■:B2A2JLOM,

:.B\AJIB1A2、

，Z7]4功，

2

??.421=245,

同法可得左房=24員=22”—…，

由此規(guī)律可得42%I=2*A\B\,

'：Ji5=6Wi<tan300=“x返=1,

3

，力20員0=2,

故答案為219.

11.解：作△力a'的外接圓。0,過C作CML4?于?機

???弦加已確定,

???要使△/1陽的面積最大，只要以/取最大值即可,

如圖所示，當CM過圓心。時，CV最大,

'：CMLAB,他過“

???44AV（垂徑定理）,

；.AC=HC,

VZ/f6^=2Z/fG?=2X45°=90°,

???aif=AJf=^-AB=-X6=3,

22

A6M=VOM2+AM2=3^

:?CM=OaOM=3履3,

S^BC=—AB-CM=^-X6X（3倔3）=9G9.

22

故答案為：%/分9.

12.解：連接CG,

在正方形力55；BCFG中,

N笈X=NG09=45°,

...N必7=90°,

°：AC=2BC,

???設力仁2a,BC=a,

:?CE=2屈a,CG=y[2a>

13.解：作以加于點//,

???在口力閱9中，Z^=60°,BC=8,

:?CH=4近,

?.?四邊形EQ亦是平行四邊形，

：.EF//CGt

.?.△￡如△如

,EQJQ-ED

**G0=0CGC,

,:DF=、DE,

4

,DE4

EF5

???ED4,

GC5

?,E?—0—4>

GO5

???當￡0取得最小值時，旗即可取得最小值,

當￡力切時，￡。取得最小值，

???CH=E0,

:?E0=4近,

:?G0=5E

???班的最小值是哂,

故答案為：9加.

14.解：如圖，連接留取物的中點M連接6M過點時作期歸_龐于、

:AC=CB,A$f=OM,

,.MC=*OB=1,

2

??點。的運動軌跡是以材為圓心，1為半徑的。機設。.V交業(yè)V于C.

??直線尸衛(wèi)"x-3與x軸、y軸分別交于點〃、E,

4

\D(4,0),E(0,-3),

??OD=4,儂=3,

,.2^=1JOE2.tOD2=^32+42=5,

：4MDN=4ODE,4D0E,

..△DN'SADOE,

.MN=DM

*OEDE*

.MN=3

*TT

?.助v=9,

5

當點。與6V重合時，l\C班的面積最小，l\C的面積最小值=1X5X(9?1)

25

=2,

故答案為2.

15.解：如圖，過點、D作DFaAE,

則些1=強＜=2,

AEBA3

..EC=_1

*AE§，

:?DF=2EC,

:?D0=20C,

:.DO=NDC,

3

._2_2

S^AOO=—S^DCfS^8D0=—S^ffXi

33

._2，

：?S&廂=二S&ABC，

3

?.?N4%=90°,

.??C在以力8為直徑的圓上，設圓心為6,

當d8時，的面積最大為：—X4X2=4,

2

此時△仍。的面積最大為：2x4=旦.

33

故答案為：1.

3

16.解：,??四邊形力是正方形，

:./BAC=NADB=45°,

???把△力比?繞點A逆時針旋轉到△/8C,

:?NEAF=ZBAC=45°,

*：/AEF=4DEA,

:.△AEFSXDEA,

.AE=EF

**DEAE*

:??ED=AE,

???/!￡=4,

???西弘的值為16,

故答案為：16.

17.解：如圖，過點〃作〃獷〃8C,交。的延長線于點機延長班交〃M于點M

■:叫〃BC,

:.△ABCSRANM,AOBCs叢0謝,

又,：NABC=NDAC=9。。,

:?NBA&NNAD=9Q0,

*：/BA?/BCA=9Q0,

???ZNAD=4BCA,

:.XABCSRDAN,

?AB=DN=J,

**BCNA~2

設BC=\a,

：.AB=2at〃￥=旦&AN=殳a,

55

NB=A^-AN=291=兇

55

SABCD4BC?NB誓a

ZD

18.解：如圖，連接跖BD.

由題意BD=y!+42=2，^,

?：NMBN=9N,W=4,EM=NE,

:.BE=*MN=2,

2

???點￡的運動軌跡是以8為圓心，2為半徑的弧，

???當點少落在線段切上時，床的值最小，

，。夕的最小值為2加-2.(也可以用〃冷初-BE即〃Q2加-2確定最小值)

故答案為2證-2.

19.(1)證明：:四邊形力時是正方形，

:.NB=NDAE=9Q°,AB=AD=BCf

.:點E,〃分別是力氏6c的中點，

，4E=LB,BF=LBC,

22

:"E=BF,

:、△ABF^XDAE〈SASy、

(2)在正方形力及笫中，AB//CD,N4%=90°,AD=CD=2t

二AC=40202=正2+=2=2近

?:AB"CD,

:ZGEsACGD,

?AGAE日nAG_1

?0一畝2V^-AG-I，

:.AG=^3

3

(3)當即=3時,AG=AE,理由如下：

3

如圖所示，設"'交切于點M

若使力G=/￡=l,則有N1=N2,

YAB〃CD,

.\Z1=Z4,

又???N2=N3,

??.N3=N4,

：.DM=MG,

在中，//?〃4/=力萬，即(〃/1)2-Z>l/=22,

解得D\f=3,

2

：.af=CD-聞=2-3=￡

22

?:AB"CD,

:AABFSXMCF,

.?.此=業(yè)即工邛，

CFMCBF-21,

2

:.BF=電,

3

故當跖=3時，AG=AE.

3

20.ft?：(1)如圖①中，取應的中點機連接0/.

???四邊形力以刀是矩形,

???/班O=NC=90°,

由翻折可知，AO=OP,APIDE,N2=N3,NDAE=/DPE=9Q。,

在少中，?:EM=MD,

:?PM=E時=IW,

N3=N招PD,

???N1=N3+NJ仍？=2/3,

Y4ADP=243,

：.Z1=ZADP,

YAD"B3

：.4ADP=Z.DPC,

???N1=N〃W,

?：4M0P=/C=90°,

:.△P0\SI\DCP,

.P0CD_8_2

??加=麗=五=W，

,AP_2PQ_2

**DE2PM~3,

解法二：證明△力新和△力￡相似，—=—=—.

DEDA3

(2)如圖②中，過點、P作GH//BC交AB于G,交切于"則四邊形0G例是矩形，設.EG

=x,則9=4?x

?.?//=/￡/力=9U°,NWGQN的=90",

：?4EP>/DPH=9G,4DP儕/PDH=9T,

：.4EPG=/PDH,

:.△EGP^XPHD,

.EG=PG=EP=_￡=J.

**PHDHPD12

:?PH=3EG=3x,DH=AG=4+x,

在Rt△加中，?.?4+成=所，

:.(3x)2+(4+x)2=122,

解得彳=單(負值已經舍棄)，

5

.?.^=4,

55

22=F

在Rt△朝中，^7EP-EG—5

YGH"B3

???△￡*△慚

.EG=GP

**EB麗，

1612

."r__r

4BF

:?BF=3.

21.解：(1)過點力作/!￡!a'于￡,過點。作應力〃于應

圖①

?：AC=AB,

:?BE=CE=3,

在RtAAEB中，4E=d-Bb2=d52-32=%

,/CFLAD,

???/9■/也=90°,

???/班NA900,

.??NB=4DCF,

VZ.AEB=Z.CFD=^Q,

:AAEBSADFC,

.EB=AB

**CFCD*

.3_5

CF4

：.CF=理,

5

12

???sinNag空=旦=絲

AC525

(2)如圖②中，結論：四邊形力頗是對余四邊形.

理由：過點〃作〃匕%,使得〃仁比；連接

???四邊形力比。中，AD=BD,A此BD,

:?NDAB=NDBA=45°,

?：4DCM=4DMC=45°,

CDM=/ADB=9G0,

???乙ADC=4BDM,

?：AD=DB,CD=DM,

(SAS),

：.AC=BM,

??，2切+滂=",優(yōu)=〃”+5=2次，

:.af+c^=B^f

???N4CQ90°,

???/伙％=45°,

???/的屏NZO=90°,

:.四邊形力融力是對余四邊形.

(3)如圖③中，過點〃作加J_x軸于"

圖③

'：A(-1,0),〃(3,()),r(1,2),

A01=1,0B=3,AB=^tAC=BC=2>/2>

:.AC+Bd=A),

???//!歸90°,

:?/CBA=/CAB=45°,

???四邊形力砥9是對余四邊形，

AZADC+ZABC=90°,

???/力仁45°,

V^AEC=W+/力仇=135°,

：.AADC^AAEC=\^a,

?,"，D,C,￡四點共圓，

:.ZACE=NADE,

/CAE+NACE=NCAE+NEAB=45°,

???ZEAB=/ACE,

:./EAB=/ADB,

■:/ABE=/DBA,

:?叢ABES^DBA,

.BE=AE

**ABAD*

,AE=AD

**BEAB，

.?.3,

4

設〃(x,￡),

???四邊形/靦是對余四邊形，

可得庾=25+力)，

:.(x-3)2+?=2[(x-1)之十(r-2)2]+(戶1)2+t2,

整理得(廿1)2=4￡-?,

22=22=2

在口△力加中，^MAH+DH7(x+l)+t^

?,?片他=五(0<t<4),

42

即u=&(0<t<4).

2

22.解：(1)??,點6為線段〃1的黃金分割點，AC=20cm,

.?.48二近二

X20=(10V5-10)cm.

2

故答案為：(lg-10).

(2)延長胡，CG交于息M,

A/E

B-------p

???四邊形力仇力為正方形,

：,Z_EMC=/BCG,

由折疊的性質可知，4EC\f=/BCG,

：.AEMC=AECM,

:.EM=EC,

?:DE=gDC=20,

J￡r=VDE2+DC2=V102+202=1

???￡仁10證,

??.〃Q10證+10,

2V5-1

^.tanZ.DMC=DC20

DM-1075+10V5+1-2

V5-1

*.tanZBCG=1f

2

?：AB=BC,

.BGV5-1

??―?

AB2

???6是"的黃金分割點;

(3)當BP=BC時,滿足題意.

理由如