人教版七年級數(shù)學(xué)下冊同步講義第07講專題62立方根(學(xué)生版+解析)

專題6.2立方根

考點(diǎn)1：求一個數(shù)的立方根

考點(diǎn)2:平方根和立方根的綜合應(yīng)耐

專題6.2立方根考點(diǎn)3:利用立方根的性質(zhì)電方程〕

考點(diǎn)4:立方根的實(shí)際應(yīng)用

?目標(biāo)導(dǎo)航

1.了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根.

2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根.

攪:考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1:求一個數(shù)的立方根

典例：（2023春?河南周口?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，^+（26-4）2=（）,求（a+〃）刈9的立方根.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了算術(shù)平方根及完全平方式的非負(fù)性，有理數(shù)的乘方，立方根的概念，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握非

負(fù)性與相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

L（2023秋?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（）

A.25的平方根是±5B.-9是81的一個平方根

C.4的算術(shù)平方根是±2D.-27的立方根是-3

2.（2023秋?重慶萬州?八年級重慶市萬州新田中學(xué)?？计谥校┮阎鷶?shù)式-3爐'+、3與嚴(yán)是同類項(xiàng)，那

么〃的值為（）

A.-IB.1C.±1D.0

3.（2023春?河南周口?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）-8的立方根為：）

A.-2B.+2

C.2D.4

4.（2023秋?河北唐山?八年級統(tǒng)考期末）下列等式成立的是（）

A.庖=±9B.亞才=—3C.±736=6D.^（-2）2=-2

5.（2023秋?重慶九龍坡?七年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期木）下列說法不正確的是（）

A.工的平方根是土!B.-9是81的一個平方根

255

C.0.16的算術(shù)平方根是0.4D.-16的立方根是-4

6.（2023秋?四川內(nèi)江?八年級統(tǒng)考期末）下列各式中運(yùn)算正確的是（）

A.卜2『=-2B.-^27=-3C.如=±7D.^（-8）3=8

7.（2023秋?浙江溫州?七年級統(tǒng)考期中）-8的立方根是（）

A.±2B.2C.-2D.沒有意義

8.（2023春?湖北武漢?七年級武漢市武珞路中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個正方體的體積擴(kuò)大為原來的〃倍,

它的棱長變?yōu)樵瓉淼模ǎ?/p>

A.茹i倍B.倍C.3〃倍D./倍

9.（2023秋?山東青島?七年級統(tǒng)考期末）下列計(jì)算，錯誤的是（）

A.1何+（呵=0B.V-0.064=-0.4

C.^（-2/=-2D.J（±7）2=7

10.（2023秋“Il東棗莊?八年級滕州市西崗鎮(zhèn)西崗中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中，正確的個數(shù)是（）

①-8的立方根是-2；

②81的算術(shù)平方根是巴

③:的立方根是:；

④一需的平方根是4

A.1B.2C.3D.4

11.（2023秋?四川廣元?七年級?？计谥校┤?=9,/=-8,則.

12.（2023秋?浙江溫州?七年級統(tǒng)考期中）己知。是絕對值最小的數(shù)，則板-1=.

13.（2023秋?甘肅天水?八年級?？茧A段練習(xí)）亞的立方根是.

14.（2023春?湖北武漢?七年級?？茧A段練習(xí)）^I的立方根是.

考點(diǎn)2：平方根和立方根的綜合應(yīng)用

典例：（2023秋?江蘇?八年級泰州行姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）已知6。+34的立方根是4,5a+〃-2的算術(shù)

平方根是5,c是9的算術(shù)平方根，

（1）求a,b,。的值

⑵求3a"+c的平方根.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查平方根，算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個數(shù)工的平方是大叫做。的平方根；算術(shù)

平方根：一個非負(fù)數(shù)％的平方是x叫做。的算術(shù)平方根；立方根：一個數(shù)x的立方是工叫做。的立方

根，是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2023春?重慶渝中?七年級重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知27的立方根為〃+3,貝必+4的算術(shù)平方根

是（）

A.0B.3C.2D.4

2.（2023秋?浙江金華?七年級統(tǒng)考期中）已知。的算術(shù)平方根是123,b的立方根是-45.6,x的平方根是±1.23,

）’的立方根是456,則x和分別是（）

C.x=-^-,y=-1000/?D.x=-^―,y=1000/?

100100

Q

3.（2023秋?吉林長春?八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤魓是J比的算術(shù)平方根，》是-白的立方根,

則孫的值為.

4.[2023秋?山東威海?七年級?？茧A段練習(xí)）如果。是100的算術(shù)平方根，力是125的立方根，的

平方根是.

5.（2023秋?湖南永州?八年級校考期中）已知2x+7y+l的算術(shù)平方根是6,8x+3y的立方根是5,則小的

平方根為.

6.（2023秋?吉林長春?八年級長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?〃-1的平方根是±3,加-8的立方根是2,

求〃+助的平方根

7.（2023秋?陜西漢中?八年級統(tǒng)考期中）一個正數(shù)的算術(shù)平方根為〃7+2,它的平方根為±（3〃-2）,求這個

正數(shù)的立方根.

8.（2023秋?陜西西安?八年級統(tǒng)考期中）已知2〃+1的立方根是-1,3/?+1的算術(shù)半萬根是4,求的值.

9.（2023秋?山東棗莊?八年級?？茧A段練習(xí)）己知2）+1的平方根為±3,3〃+2〃-1的立方根為2,求勿+2〃

的算術(shù)平方根.

10.（2023秋?廣東佛山?八年級大瀝中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知2的平方等于〃，2〃-1是27的立方根，土7^工

表示3的平方根.

⑴求a,b,c的值；

⑵求多項(xiàng)式：卜4-勸一。2.

11.（2023秋?江蘇蘇州?八年級校考階段練習(xí)）已知4是3。-2的算術(shù)平方根，2-15。-〃的立方根為-5.

⑴求。和〃的值；

（2）求力-〃-4的平方根.

12.（2023秋?江蘇無錫?八年級無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校?）已知5〃-1的算術(shù)平方根是2,9的立

方根是2,求〃、〃的值；

（2）已知一個正數(shù)x的平方根分別是-a+2和2〃-1,求x的值.

13.（2023?全國,七年級專題練習(xí)）本學(xué)期第六章《實(shí)數(shù)》中學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立方根

的部分內(nèi)容：

平方根立方根

一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即V=a,一般地，如果一個數(shù)X的立方等于“即丁=〃，

定

那么這個數(shù)工就叫做a的平方根（也叫做二次方那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方

義

根）.根）.

性一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)：0的平正數(shù)的立方根是正數(shù)：。的立方根是0：負(fù)數(shù)的立

質(zhì)方根是0：負(fù)數(shù)沒有平方根.方根是負(fù)數(shù).

【類比探索】（1）探索定義：填寫下表

11681

X

類比平方根和立方根，給四次方根下定義：.

（2）探究性質(zhì)：①1的四次方根是：②16的四次方根是：③0的四次方根是；④-625

（填“有"或"沒有〃）四次方根.

類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：

【拓展應(yīng)用】（1）±^256=______；（2）;（3）比較大?。篏我.

考點(diǎn)3：利用立方根的性質(zhì)解方程

典例：（2023春?貴州遵義?七年級校考階段練習(xí)）解方程：

⑴;（葉3）3-9=0

⑵（1）2-1=15

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查利用平方根和立方根的定義解方程，掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2023秋?山西運(yùn)城?八年級?？茧A段練習(xí)）求未知數(shù)x的值：5-3）、=-64.

2.（2023秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）求卜列各式中x的值：

⑴25/-64=0；

⑵（1）'=64.

3.（2023秋?福建三明?八年級統(tǒng)考期中）求x值

（1）（21）3=27

（2）（X-4『=25

4.（2023?全國?七年級專題練習(xí)）解方程:

⑴（31）2=4

（2）3（4+1）3+81=0

5.（2023秋遼寧阜新八年級?？茧A段練習(xí)）求下列各式中的■

⑴（31）2-64=0

（2）27（x-3），+64=0

6.（2023秋?遼寧阜新?八年級?？茧A段練習(xí)）解方程:

（1）3（』+1爐=75；

(2)Hx-2)3=125.

7.(2023秋?陜西西安?八年級西安益新中學(xué)?？茧A段練習(xí))解方程：

⑴16/=25

(2)3(X+1)3-108=0

(3)1(2A+3)3-54=0

8.(2023春?福建莆UI?七年級?？计谥?解下列方程

(l)3(x-l)2=27.

(2)125(x+l/+64=0.

9.(2023春?湖北武漢?七年級武漢市武珞路中學(xué)?？茧A段練習(xí))解方程：

(1)2X2=18

(2)3(x+l)-+81=0

考點(diǎn)4：立方根的實(shí)際應(yīng)用

典例：某地氣象資料表明，當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間/(h)可以用公式尸=且來估計(jì)，其中d(km)是雷雨區(qū)

900

域的直徑.

(1)如果雷雨區(qū)域的直徑為6km,那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？(結(jié)果精確到O.lh)

(2)如果一場雷雨持續(xù)了lh,那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少？(結(jié)果精確到0.01km)

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考查了算術(shù)平方根，立方根的應(yīng)用，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.(2023秋?吉林長春?八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))一個正方體的體積是64cm1則它的棱長為

()

A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

2.(2023秋?海南省直轄縣級單位?八年級?？计谥?一個正方體的體積是64cm則它的表面枳是()

A.96cm2B.64cm4C.32cm2D.16cm2

3.(2023春?安徽六安?七年級統(tǒng)考期中)如果一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?4倍，那么它的棱長增加為原

來的多少倍？()

A.3B.4C.6D.8

4.（2023秋?全國?八年級專題練習(xí)）隨著張吉懷高鐵在2021年建成通車，昔口飽受交通制約的湘西州，也

迎來了便捷的現(xiàn)代化快速交通.在湘西州花垣縣，還有一個現(xiàn)代化的交通大工程一一湘西機(jī)場正在建設(shè).建

設(shè)機(jī)場多余的土方呈圓錐形，土方的底面直徑為100米，高度為50米.現(xiàn)在用卡車將土方運(yùn)送到15公里

外的垃圾池進(jìn)行填平，已知垃圾池是規(guī)則的立方體，并且土方剛好填滿垃圾池.請問垃圾池的底面邊長大

約是多少米（7T取3）（）

A.50B.60C.70D.40

5.（2023秋?安徽宿州?八年級統(tǒng)考期中）正方體A的體積是正方體B的體積的27倍，那么正方體A的棱長是

正方體8的楂長的倍.

6.（2023秋?全國?七年級專題練習(xí)）底面積為108cm，高為19cm的圓柱形容淵內(nèi)有若干水，水位高度為九，

現(xiàn)將一個邊長為6cm的立方體鐵塊水平放入容器底部，立方體完全沉沒入水中（如圖甲）.再將一個邊長為

acm的立方體鐵塊水平放在第一個立方體上面，若第二個立方體只有一半沒入水中（如圖乙）.此時水位高

度為人2，若壇-/?)=—cm,貝lja=cm.

圖甲圖乙

7.（2023春?山東德州?七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有兩個大小不等的正方體茶葉罐，大正方體茶葉罐的體枳為

lOCOcn?,小正方體茶口I?罐的體積為125cml將其疊放在一起放在地面上（如圖），則這兩個茶葉罐的最高

點(diǎn)A到地面的距離是cm.

8.（2023秋?安徽宿州?八年級統(tǒng)考期中）“魔方"（如圖）是一種立方體形狀的益智元具，它由三層完全相同

的小立方塊組成，如果“魔方.〃的體積為216cm3,那么組成它的每個小立方塊的棱長為多少？

9.（2023秋?陜西咸陽?八年級咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在一個長、寬、高分別為8cm,4cm,2cm的

長方體容器中裝滿水，將容器中的水全部倒入一個正方體容器中，恰好倒?jié)M（兩容器的厚度忽略不計(jì)），求

此正方體容器的棱長.

10.（2023秋?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期中）李叔叔將8個正方體魔方，放入到一個容積為512cm3的正方體紙

箱中，恰好填滿.求這個魔方的棱長.

11.（2023春?黑龍江齊齊哈爾?七年級統(tǒng)考期中）王老師為班級圖書角購買了四本同一型號的字典，這種字

典的長與寬相等.班長將這4本字典放入一個容積為512cm3的正方體禮盒里，恰好填滿.求這一本字典的

厚度.

12.（2023秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座

的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫II而出：39.你知道他是怎么快速準(zhǔn)確

地計(jì)算出來的嗎？請研究解決下列問題：

⑴己知丁=10648,且x為整數(shù).

Ax一定是一個兩位數(shù)；

???10648的個位數(shù)字是8,

???x的個位數(shù)字一定是；

劃去10648后面的三位648得10,

V8=23<10<33=27>

???x的十位數(shù)字一定是；

:.

（2）/=614125,且y為整數(shù)，按照以上思考方法，請你求出y的值.

13.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）小明在學(xué)完立方根后研究了如下問題：如何求出-50653的立方根？他進(jìn)

行了如下步驟：

①首先進(jìn)行了估算：因?yàn)?0'=1COO，1（X）3=1000000,所以150653是兩位數(shù);

②其次觀察了立方數(shù)：戶==8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；猜想為0653

的個位數(shù)字是7：

③接著將50653往前移動3位小數(shù)點(diǎn)后約為50,因?yàn)?,=27,4?=64,所以師點(diǎn)的十位數(shù)字應(yīng)為3,

F是猜想450653=37，驗(yàn)證得：50653的立方根是37；

④最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)"得到也看而=-37,同時發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個

數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立.

請你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：

(1)^-117649=

（2）若勘一2八+逐=0,則工=

（3）已知加二I+2=x,且而口與折石互為相反數(shù)，求xy的值.

羔能力提升

二？單選題（每題3分）

1.（2023秋?浙江麗水?七年級統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.-2*12=34B.(-2)'=-8C.V16=±4D.-0=2

2.（2023春?云南昆明?七年級?？计谥校┫铝杏?jì)算中正確的是（）.

A.x/4=±2B.^/(-6)2=-6C."=一3D.

3.（2023秋?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（）

A.225的平方根是±15B.-27的立方根是-3

C.。的算術(shù)平方根是0D.125的立方根是±5

4.（2023秋?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期中）小明利用計(jì)算器得到下表中的數(shù)據(jù):

X88.599.510

X6472.258190.25100

1512614.125729857.3751000

那么川標(biāo)在（）A.9?9.5之間B.9.5?10之間C.90~95之間D.95?100之間

5.12023秋?浙江寧波?七年級浙江省鄲州區(qū)宋詔橋中學(xué)?？计谥校阂粋€長、寬，高分另IJ為50cm、8cm、20cm

的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，則鍛造成的立方體鐵塊的校長是（）

A.20cmB.200cmC.40cmD.廂cm

6.（2023秋?遼寧沈陽?九年級?？茧A段練習(xí)）類比平方根和立方根，我們定義〃次方根為:一般地，如果f=4,

那么x叫〃的〃次方根，其中〃>1,且〃是正整數(shù).例如：因?yàn)椋ā?）4=81,所以±3叫81的四次方根，記

作：土呵=±3,因?yàn)椋?2）5=-32,所以-2叫-32的五次方根，記作：而二-2,下列說法不正確的是（）

A.負(fù)數(shù)。沒有偶數(shù)次方根B.任何實(shí)數(shù)。都有奇數(shù)次方根

C.皿'F=aD.闋萍=a

二、填空題（每題3分）

7.（2023秋?福建泉州?八年級校考期末）已知YP萬與百》互為相反數(shù)，則x=.

8.（2023秋?江蘇?八年級期中）如果〃=際，則W-I7=_.

9.（2023春?廣東江門?七年級統(tǒng)考期末）若雨J*2.4825,正注24.825,那么％=.

10.（2023秋?浙江湖州?七年級統(tǒng)考期中）定義新運(yùn)算：對任意實(shí)數(shù)。、b,都有〃b=a-b\例如，

3A4=3-4^=-13,那么玳24〃3=.

11.（2023春?河北保定?七年級統(tǒng)考期末）依據(jù)圖中呈現(xiàn)的運(yùn)算關(guān)系，

可知：a=；b=.

12.（2023春?廣東江門?七年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知小人為兩個相連的整數(shù)，滿足

acGllcb,則人的立方根為.

三、解答題（13題5分，14題6分，15題7分）

13.（2023春?河南周口?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）求下列各式中的x的值:

（l）|x+l）2-l=0；

⑵（2），-3y-1=0

14.(2023秋?浙江嘉興?七年級校聯(lián)考期中)計(jì)算

(l)x/12?-^(-6)2+7^64

⑵T+27d+4

15.(2023秋?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期中)已知%-1的算術(shù)平方根是1,的平方根是±2,。是-8的

立方根，求c的平方根.

專題6.2立方根

目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)1：求一個數(shù)的立方根

考點(diǎn)2:平方根和立方根的綜合應(yīng)呵

專題6.2立方根:考點(diǎn)3:利用立方根的性質(zhì)已方?

3'考點(diǎn)4:立方根曲就

能力提升

0目標(biāo)導(dǎo)航

1.了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根.

2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根.

時考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1:求一個數(shù)的立方根

典例：（2023春?河南周口七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知“^+（2〃-4尸=0,求（a+4的

立方根.

【答案】-1

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和完全平方的非負(fù)性求出。=-3,b=2,帶入求值即可得到答案.

【詳解】解：??,疝3+（2匕-4尸=0,

二.?+3=0,2/?—4=0,

/.a=—3,b=2,

.?.（"+與刈9=（一3+2）刈9=一1,

.?.（〃+的立方根為T.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考杳了算術(shù)平方根及完全平方式的非負(fù)性,有理數(shù)的乘方,立方根的概念,屬于基砒題，

熟練掌握非負(fù)性與相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2023秋?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（）

A.25的平方根是±5B.-9是81的一個平方根

C.4的算術(shù)平方根是±2D.-27的立方根是-3

【答案】C

【分析】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義進(jìn)行判斷便可.

【詳解】解：A.25的平方根是±5,說法正確，選項(xiàng)不符合題意；

B.-9是81的一個平方根，說法正確，選項(xiàng)不符合題意；

C.4的算術(shù)平方根是2,不是±2,說法錯誤，選項(xiàng)符合題意；

D.-27的立方根是-3,說法正確，選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義，關(guān)鍵是熟記和正確理解這些概念.

2.（2023秋?重慶萬州?八年級重慶市萬州新田中學(xué)校考期中）已知代數(shù)式與

是同類項(xiàng)，那么標(biāo)的值為（）

A.-1B.1C.±1D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)代數(shù)式-3尸V與|fy,i是同類項(xiàng)，求出“〃的值，再計(jì)算標(biāo)即可求

解.

【詳解】???代數(shù)式-3/\，3與;/）尸-”是同類項(xiàng)，

/.m+1=2,m-n=3

/./n=1,n=-2

\lm+n=\/l-2=V-T=-1

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查同類項(xiàng)和方根的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同類項(xiàng)和立方根的定義進(jìn)行求

解.

3.（2023春?河南周口?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）-8的立方根為（）

A.-2B.±2

C.2D.4

【答案】A

【分析】如果一個數(shù)”的立方等于。，那么x是〃的立方根，根據(jù)此定義求解即可.

【詳解】???-2的立方等于-8,

???-8的立方根等于-2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的定義，求一個數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個數(shù)是哪一個

數(shù)的立方，由開立方和立方是互逆運(yùn)算，用立方的方法求這個數(shù)的立方根，注意一個數(shù)的立

方根與原數(shù)的性質(zhì)符號相同，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?河北唐山?八年級統(tǒng)考期末）下列等式成立的是（）

A.荷=±9B.^^27=-3C.±736=6D.^（-2）2=-2

【答案】B

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根和立方根的定義求解即可.

【詳解】解：A、781=9,此選項(xiàng)錯誤，不符合題意：

B、立方=-3,此選項(xiàng)正確，符合題意；

C、±病=±6,此選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

D、“尋=2,此選項(xiàng)錯浜，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根和立方根的定義,熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?重慶九龍坡?七年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谀┫铝姓f法不正確的是（）

A.4的平方根是土?B.-9是81的一個平方根

4JJ

C.0.16的算術(shù)平方根是0.4D.-16的立方根是T

【答案】D

【分析】根據(jù)平方根的意義、算術(shù)平方根的意義、立方根的意義，判斷即可；

【詳解】解：A.5的平方根是士（，選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.-9是81的一個平方根，選項(xiàng)正確，不符合題意；

C.0.16的算術(shù)平方根是0.4,選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.T6的立方根是-矯，選項(xiàng)錯誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握平方根、算術(shù)平方根的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

G.（2023秋?四川內(nèi)江?八年級統(tǒng)考期末）下列各式中運(yùn)算正確的是（）

A.=_2B.-^27=-3C.x/49=±7D.%8）’=8

【答案】B

【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根及立方根定義計(jì)算即可解答.

【詳解】解：A.?^=2,故本選項(xiàng)錯誤：

B.-炳=-3，故本選項(xiàng)正確；

C.5/49=7,故本選項(xiàng)錯:吳；

D.y（-8），=-8,故本選項(xiàng)錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根，算術(shù)平方根及立方根定義，掌握平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與

聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵.

7.（2023秋?浙江溫州?七年級統(tǒng)考期中）-8的立方根是（）

A.±2B.2C.-2D.沒有意義

【答案】C

【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可.

【詳解】解：???（一2）3=-8,

???-8的立方根是一2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查立方根，會利用立方根的定義求?個數(shù)的立方根是解答的關(guān)鍵.

8.（2023春?湖北武漢?七年級武漢市武珞路中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個正方體的體積擴(kuò)大

為原來的〃倍，它的棱長變?yōu)樵瓉淼模ǎ?/p>

A.\/n倍B.倍C.3〃倍D.〃，倍

【答案】A

【分析】設(shè)正方體的原體積為1，則此時原棱長為1,再由擴(kuò)大后的體積求出擴(kuò)大后的棱長，

然后比較即可.

【詳解】設(shè)正方體的原體枳為1,

根據(jù)正方體體積公式可知此時原棱長為1,

體積擴(kuò)大為原來的〃倍后，體積為〃，

此時棱長為指，

棱長變?yōu)樵瓉淼呐?析，

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的體積公式和求一個數(shù)的立方根，解此類題時可先對一個未知量

進(jìn)行假設(shè)，從而簡化過程.

9.（2023秋?山東青島?七年級統(tǒng)考期末）卜.列計(jì)算，錯誤的是（）

A.卜&）2+（呵=0B.V-0.064=-0.4

C.^2/=-2D.7^7=7

【答案】A

【分析】直接利用立方根以及算術(shù)平方根的定義計(jì)算得出答案.

【詳解】解：A.（-&丫+（蚯?=2+2=4,原計(jì)算錯誤，故該選項(xiàng)符合題意；

B.V-0.064=-0.4,正確，故該選項(xiàng)不合題意；

C.加以=-2,正確，故該選項(xiàng)不合題意；

D.廂了=7,正確，故該選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根以及算術(shù)平方根的定義，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.（2023秋?山東棗莊?八年級滕州市西崗鎮(zhèn)西崗中學(xué)校考期末）下列說法中，正確的個數(shù)

是（）

①-8的立方根是-2；

②81的算術(shù)平方根是巴

③g的立方根是?：

乙IJ

④-圭的平方根是士1.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐個進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①-8的立方根是-2,因此①正確；

②81的算術(shù)平方根是9,因此②不正確：

③卷的立方根是;，因比③正確；

④-4沒有平方根，因此④不正確；

因此正確的結(jié)論有：①③，共2個，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根.掌握平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義

是正確解答的前提.

11.（2023秋?四川廣元?七年級?？计谥校┤鬗=9,"-8,則.

【答案】T或5##5或T

【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義即可求出8的值，進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】解:因?yàn)椤?=9,^=-8,

所以a=±3,b=-2,

所以a_0=_3_（_2）=_1或〃_人=3_（_2）=5.

故答案為：-1或5.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方根和立方根，能夠根據(jù)平方根和立方根的定義正確得出〃，b

的值是解題關(guān)鍵.

12.（2023秋?浙江溫州?七年級統(tǒng)考期中）己知a是絕對值最小的數(shù)，則布-1=.

【答案】T

【分析】根據(jù)絕對值的意義得到a=0,再由。的立方根是。求解即可.

【詳解】解：???絕對值最小的數(shù)是0,

/.4=0,

y/a-1=0-1=-1,

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的意義、立方根，正確得出。值是解答的關(guān)鍵.

13.（2023秋?甘肅天水?八年級校考階段練習(xí)）而■的立方根是.

【答案】2

【分析】利用開方運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解:相=8.

???J記的立方根是:我=2;

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查求一個數(shù)的立方根.熟練掌握開方運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.注意先化簡，再

計(jì)算.

14.（2023春?湖北武漢?七年級校考階段練習(xí)）歷的立方根是.

【答案】2

【分析】先求出病I，再根據(jù)立方根的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：兩1=8,8的立方根為2,

故答案為：2

【點(diǎn)睛:】此題考查了立方熟練掌握立方根的性質(zhì)是解本題的美鍵.

考點(diǎn)2：平方根和立方根的綜合應(yīng)用

典例：（2023秋?江蘇?八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）已知6a+34的迂方根是4,

5。+8-2的算術(shù)平方根是5,。是9的算術(shù)平方根，

⑴求a,b,c的值

⑵求3a-力+c的平方根.

【答案】（l）a=5,b=2,c=3

⑵±4

【分析】（1）根據(jù)立方根的概念和算術(shù)平方根的概念進(jìn)吁求解即可;

（2）先代值計(jì)算，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：V43=64,.-.64/4-34=64,/.?=5：

V52=25>；.5a+b-2=25,*/a=5,.*./>=2；

???32=9,Ac=3；

（2）把：a=5,〃=2,。=3代入3〃一力+。得：

3x5-2+3=16,

?.?（±4『=16,

???3a-/?+c的平方根是：±4.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查平方根，算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個數(shù)x的平方是4，x叫做〃的

平方根；算術(shù)平方根：一個非負(fù)數(shù)十的平方是"，工叫做。的算術(shù)平方根；立方根：一個數(shù)x

的立方是。，x叫做"的立方根，是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2023春?重慶渝中?七年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知27的立方根為。+3,則a+4

的算術(shù)平方根是（）

A.0B.3C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)立方根的定義求出。的值，再代入求出。+4的值，最后由算術(shù)平方根的定義進(jìn)

行計(jì)算即可.

【詳解】解：???27的立方根為。+3,

「.a+3=3,

解得4=0，

.\?+4=0+4=4,

.?.。+4的算術(shù)平方根為〃=2，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根，理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義

是正確解答的前提.

2.（2023秋?浙江金華?七年級統(tǒng)考期中）已知〃的算術(shù)平方根是12.3,〃的立方根是T5.6,

工的平方根是±1.23,5的立方根是456,則刀和丁分別是（）

B.x=\000a,y=

C.x=^y=-\OOObD.%=焉'=1000〃

1UO

【答案】C

【分析】利用算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，可得到。，〃的值，由此可得到X與。和

y與。的關(guān)系

【詳解】解：???。的算術(shù)平方根是12.3,b的立方根是-45.6,x的平方根是±1.23,y的立

方根是456,

工4=12.32=l(X)xl.232,Z>=(-45.6)、

人=1.232,^=1000x45.63

.,.x=—,y=-1000/2.

100

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，得出x與〃和V與人的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

3.(2023秋?吉林長春?八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考期末)若x是J話的算術(shù)平方根，了是

Q

一行的立方根，則“寸的值為.

4I

【答案】一耳##一1,

JD

2

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的運(yùn)算求得x=2；根據(jù)M方根運(yùn)算求得進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】解：X是標(biāo)即4的算術(shù)平方根，

x=>/4=2，

y是-2的立方根，

27

…信=9

4

故答案為：--.

【點(diǎn)睛】本題考查平方根與立方根運(yùn)算，讀懂題意，準(zhǔn)確表示出x與y值是解決問題的關(guān)鍵.

4.(2023秋?山東威海?七年級?？茧A段練習(xí))如果。是100的算術(shù)平方根，。是125的立方

根，根2+4〃+1的平方根是.

【答案】土而

【分析】根據(jù)題意，求得。、b,再根據(jù)算術(shù)平方根和平方根求解即可.

【詳解】解：??Z是100的算術(shù)平方根，人為125的立方根，

/.^=10,。=5,

+40+1=⑵，

???x/a2+4/?4-1=y]\1\=11*

工yla2+4b+\的平方根為±JFT.

故答案為：±JF7.

【點(diǎn)睛】此題考查了平方根、算術(shù)平方根以及立方根的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根、

算術(shù)平方根以及立方根的運(yùn)算.

5.（2023秋?湖南永州?八年級?？计谥校┮阎?X+7），+1的算術(shù)平方根是6,8x+3y的立方

根是5,則工+），的平方根為.

【答案】±4

【分析】根據(jù)2x+7y+l的算術(shù)平方根是6,8x+3），的立方根是5,可得方程組

產(chǎn)+?門二氏①，①+②再化簡得到AV的值,然后求平方根即可得到答案.

8x+3.y=125②

【詳解】解：???2x+7y+l的算術(shù)平方根是6,8x+3y的立方根是5

.2x+7y+l=36?

?18x+3y=125②

???①+②：10.r+10y=160

.?.x+y=16

??.x+y的平方根為±4

故答案為：±4.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根和立方根的定義.平方根和寸.方根是解題關(guān)鍵.易錯點(diǎn)：正數(shù)有

兩個平方根，不能只寫一個平方根.

6.（2023秋?吉林長春?八年級長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?。-1的平方根是±3,

為-6的立方根是2,求a+%的平方根

【答案】±3

【分析】根據(jù)已知得出2〃-1=9,2a-b=8,求出〃=5,〃=2,求出“+2b的值，最后求

出〃+28的平方根即可.

【詳解】解：?.的千方根是±3,的立方根是2,

「.2a—1=9,2a—b=S.

tz—5>Z?—2,

二。+2/?=5+4=9,

即。+2b的平方根是±3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，立方根的應(yīng)用，掌握平方根與立方根的定義是解題的關(guān)鍵.

7.（2023秋?陜西漢中?八年級統(tǒng)考期中）一個正數(shù)的算術(shù)平方根為〃?+2,它的平方根為

±(3〃z+2),求這個正數(shù)的立方根.

【答案】這個正數(shù)的立方根為/或1.

【分析】分情況討論：①當(dāng)〃什2=3〃?+2時，②當(dāng)帆+2=-(3加+2)時，求出川的值，即

可求出這個正數(shù)及其立方根.

【詳解】解：根據(jù)題意，得

〃1+2是3〃?+2與一(3/〃+2)兩數(shù)中的?個.

①當(dāng)6+2=3/1/+2時，解得m=Of則〃?+2=2,

所以這個正數(shù)為4,它的立方根為亞；

②當(dāng)〃?+2=-(3/〃+2),解得〃7=-1,則〃?+2=1,

所以這個正數(shù)為1,它的立方根為1.

綜上可知，這個正數(shù)的立方根為次或L

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，平方根，立方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根，平方

根，立方根.

8.(2023秋?陜西西安?八年級統(tǒng)考期中)已知2a+1的立方根是-1,38+1的算術(shù)平方根是4,

求的值.

【答案】4

【分析】根據(jù)立方根與算術(shù)平方根的定義求出。，8的值即可.

【詳解】解：???2a+l的立方根是T,幼+1的算術(shù)平方根是4,

2/74-1=-1?3/7+1=42>

:.a=-\,b=5,

:.a+b=-\+5=4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是立方根與算術(shù)平方根，熟知立方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

9.(2023秋?山東棗莊?八年級校考階段練習(xí))已知2〃+1的平方根為±3,勿+助-1的立方

根為2,求3〃+2〃的算術(shù)平方根.

【答案】3

【分析】先根據(jù)平方根和立方根的定義列出二元一次方程組，然后求得〃、。的值，最后代

入求3a+2〃的算術(shù)平方根即可.

【詳解】解：由題意得：

2分1=9解得"二3

3。+2〃-1=8

b=4

貝lJ34+2〃=3x'+2x4=9,79=3,

3

即功+筋的算術(shù)平方根為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、立方根的定義，靈活運(yùn)用平方根、立方根的定義是解答本題的

關(guān)鍵.

10.（2023秋?廣東佛山?八年級大瀝中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三知2的平方等于〃，2〃-1是27

的立方根，表示3的平方根.

（1）求a,b,。的值；

⑵求多項(xiàng)式：

【答案】（l）a=4,"=2,c=5；

（2）-25.

【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的性質(zhì)，列式子，求解即可；

（2）將%b，c?的值代入求解即可.

【詳解】（1）解：由2的平方等于“，沙-1是27的立方根，±7?二表示3的平方根可得

4=2=4，28-1=炳=3，c-2=3

解得a=4,b=2,c=5：

（2）解：將a=4,b=2,c=5代入卜”卜給一。2,可得

【點(diǎn)睛】此題考查了平方根、立方根的性質(zhì)以及有理數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解平方

根、立方根的性質(zhì)，正確求得〃，匕，c的值.

11.（2023秋?江蘇蘇州?八年級校考階段練習(xí)）已知4是3〃-2的算術(shù)平方根，的

立方根為-5.

⑴求々和〃的值；

（2）求沙-〃-4的平方根.

【答案】（1）。=6,b=37.

（2）±8

【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義，得到3a-2=16,2-15。-〃=-125,求出。

和力的值即可;

（2）把〃和b的值代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值，根據(jù)平方根的定義即可解答.

【詳解】（1）解：:4是3。-2的算術(shù)平方根，

???3a-2=16,

a=6,

???2-15的立方根為-5,

/.2-15?-/?=-125,

A2-15x6-/?=-125,

：.b=31.

（2）解：力-1-4=2x37-6-4=64,

64的平方根為±8,

???27?-4-4的平方根為±8.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根，解題關(guān)鍵是熟記平方根、算術(shù)平方

根、立方根的定義.

12.（2023秋?江蘇無錫?八年級無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）（1）已知5〃-1的算術(shù)平方根

是2,〃-9的立方根是2,求人力的值；

（2）已知一個正數(shù)x的平方根分別是F+2和2a-1,求x的值.

【答案】（1）a=\,b=17；（2）x的值為9.

【分析】（1）利用算術(shù)平方根和立方根的概念即可求得〃和人的值；

（2）根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根且它們互為相反數(shù)，列方程求解得到。的值，即可確定正

數(shù)x的值.

【詳解】解：（1）由題意可得：

5?-1=4,〃-9=8,

解得：a=LZ?=17；

（2）由題意可得：

—ci+2+2a—1=0>

解得：a=-l,

2

X=（1+2）=9

???x的值為9.

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根和立方根，理解算術(shù)平方根，平方根，立方根的概念列出相應(yīng)

的方程是解題關(guān)鍵.

13.（2023?全國?七年級專題練習(xí)）本學(xué)期第六章《實(shí)數(shù)》中學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是

平方根和立方根的部分內(nèi)容：

平方根立方根

一般地，如果一個數(shù)X的平方等于m即一般地，如果一個數(shù)X的立方等于。即

定

-=〃，那么這個數(shù)x就叫做〃的平方根丁=4,那么這個數(shù)X就叫做4的立方根

義

（也叫做二次方根）.（也叫做三次方根）.

性一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；

質(zhì)數(shù)：0的平方根是0：負(fù)數(shù)沒有平方根.負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).

【類比探索】（1）探索定義：填寫下表

11681

類比平方根和立方根，給四次方根下定義：.

(2)探究性質(zhì)：①1的四次方根是:②16的四次方根是：③。的四次方根

是;④-625(填"有"或"沒有")四次方杈.

類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：；

【拓展應(yīng)用】(1)±^256=：⑵J',)=；⑶比較大?。篏布.

【答案】【類比探索】(1)依次為：±1,±2,±3：一般地，如果一個數(shù)x的四次方等于“，

即x4=a,那么這個數(shù)工就叫做a的四次方根；(2)①土1：②±2；③0；④沒有；一個正

數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根；【拓展應(yīng)用】

2

(1)±4：(2)-；(3)>.

【分析】類比探索：(1)類比平方根和立方根給出四次方根的定義，并進(jìn)行計(jì)算填表；

(2)根據(jù)四次方根的定義進(jìn)行計(jì)算填空，歸納出四次方根的性質(zhì)即可，

拓展應(yīng)川：根據(jù)定義求一個數(shù)的四次方根，通過將數(shù)進(jìn)行四次方以后進(jìn)行比較大小即可.

【詳解】類比探索

(1)(±1)4=1,(±2)4=16,(±3)=81；表格中數(shù)據(jù)依次為:±1,±2,±3；

類比平方根和立方根的定義可得：一般地，如果一個數(shù)X的四次方等于小即,/=.,那么

這個數(shù)x就叫做。的四次方根；

(2)①1的四次方根是：±1；②16的四次方根：±2；③。的四次方根是：0；④-625沒

有四次方根；

類比平方根和立方根的性質(zhì)可得：一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；。的四次方

根是0;負(fù)數(shù)沒有四次方根；

拓展應(yīng)用

(1)±^256=±4；(2)=-|：

(3)V(V3)4=9,(^8)4=8,9>8,:癡.

【點(diǎn)睛】本題考查類比探究類問題.類比平方根和立方根得出四次方根的定義和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：利用立方根的性質(zhì)解方程

典例：(2023春?貴州遵義?七年級?？茧A段練習(xí))解方程:

⑴;（葉3）3-9=0

（2）（X-1）2-1=15

【答案】（l）x=O;

（2）x=5或-3.

【分析】（1）先左右兩邊同時乘以3,再根據(jù)立方根的定義開立方得到在3=3,從而得解;

（2）先將移項(xiàng)合并數(shù)字得（X-爐=16,再根據(jù)平方根的定義開方得到x-l=±4,從