2023年高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及礎(chǔ)題型復(fù)習(xí)：立體幾何模塊之直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)

第四節(jié)直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)15】直線(xiàn)與平面垂直的判定

1.直線(xiàn)與平面垂直的定義

如果直線(xiàn)/與平面a內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)1與平面a互

定義

相垂直

記法l-La

直線(xiàn)/叫做平面a的垂線(xiàn)，平面a叫做直線(xiàn)/的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)尸

有關(guān)概念

叫做垂足

圖示k

畫(huà)法畫(huà)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，通常把直線(xiàn)畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

2.直線(xiàn)和平面垂直的判定定理

文字

一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直

語(yǔ)言

符號(hào)

/_La,IVb,aUa,bUa,aA

語(yǔ)言

圖形

語(yǔ)言

典型例題：

【例1】（概念的理解）下列命題中，正確的序號(hào)是.

①若直線(xiàn)/與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，貝

②若直線(xiàn)/與平面a內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直，則/，a；

③若直線(xiàn)/不垂直于平面a,則a內(nèi)沒(méi)有與/垂直的直線(xiàn)；

④若直線(xiàn)I不垂直于平面a,則a內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與/垂直；

⑤過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線(xiàn)有且只有一條.

【反思】（1）對(duì)于線(xiàn)面垂直的定義要注意“直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的所有直線(xiàn)”說(shuō)法與“直線(xiàn)

垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”不是一回事，后者說(shuō)法是不正確的，它可以使直線(xiàn)與平面斜交.

（2）判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線(xiàn).

【變式1】（1）若三條直線(xiàn)CM,OB,OC兩兩垂直，則直線(xiàn)CM垂直于（）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面O2CD.平面ABC

（2）如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；

④正五邊形的兩邊.能保證該直線(xiàn)與平面垂直的是.（填序號(hào)）

【變式2】已知根和"是兩條不同的直線(xiàn)，a和4是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條

件中，一定能推出心，夕的是（）

A.a//日,且mUaB.m//n,且〃_1_夕C.加_1_〃，且尸D.〃?_!_〃，且"〃"

【變式3】下列說(shuō)法中，正確的有（）

①如果一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直；

②過(guò)直線(xiàn)/外一點(diǎn)尸，有且僅有一個(gè)平面與/垂直；

③如果三條共點(diǎn)直線(xiàn)兩兩垂直，那么其中一條直線(xiàn)垂直于另兩條直線(xiàn)確定的平面；

④垂直于角的兩邊的直線(xiàn)必垂直角所在的平面；

⑤過(guò)點(diǎn)4垂直于直線(xiàn)a的所有直線(xiàn)都在過(guò)點(diǎn)A垂直于。的平面內(nèi).

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

例2（線(xiàn)面垂直的判定）如圖，在三棱錐S—/8C中，ZABC=90°,。是NC的中點(diǎn)，且&4=

SB=SC.

（1）求證：平面/8C；

（2）若AB=BC,求證：8。，平面&4。

【反思】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明線(xiàn)面垂直的步驟

①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線(xiàn)，使它們和這條直線(xiàn)垂直;

②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)是相交的直線(xiàn);

③根據(jù)判定定理得出結(jié)論.

(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：

①a〃6,a_l_a=>6J_a;@a//P，

【變式1】如圖，正方體/BCD—的棱長(zhǎng)為2.求證：AC±B1D；

【變式2】如圖所示，直三棱柱NBC—4紇4的底面N8C為等腰直角三角形，ZACB=

90°,C點(diǎn)到的距離為CE,。為的中點(diǎn).

求證：(1)CD_L必;

(2)/8]_L平面CED.

【練習(xí)3】如圖，在四棱錐尸一/BCD中，底面N8CD是矩形，網(wǎng)_L平面/BCD,AP=AB

2,BC=2串,E,尸分別是尸C的中點(diǎn).證明：尸C,平面BEE

知識(shí)點(diǎn)

【能力提升思考】

已知HBAC在平面a內(nèi),PDa,DPAB=DPAC.求證：點(diǎn)P在平面a內(nèi)的射影在EIBAC的平

分線(xiàn)上.

【變式1】如圖所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，ZBAC=90°,BC11AC,C1H1

AB,證明：點(diǎn)H是Cl在平面ABC內(nèi)的射影.

【反思】(1)求直線(xiàn)和平面所成角的步驟

①尋找過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)；

②連結(jié)垂足和斜足得到斜線(xiàn)在平面上的射影，斜線(xiàn)與其射影所成的銳角或直角即為所求的

角；

③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角.

(2)在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的

特征是找射影的依據(jù)，圖形中的特殊點(diǎn)是突破口.

【知識(shí)點(diǎn)16】直線(xiàn)與平面所成的角

有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形

與平面a相交，但不和平面a垂

斜線(xiàn)

直，圖中直線(xiàn)必

斜足斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)/,_____2/

過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面

/0L/

引垂線(xiàn)，過(guò)垂足和斜足的直線(xiàn)叫

射影

做斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的射影，圖

中斜線(xiàn)PA在平面a上的射影為

直線(xiàn)NO

定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角，圖中

ZPAO

直線(xiàn)與平面所成的角

規(guī)定：一條直線(xiàn)垂直于平面，它們所成的角是90。；一條直線(xiàn)和

平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0。

取值范圍設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為仇0OW6W90。

典例講解:

【例1】(直線(xiàn)與平面所成的角)如圖，在正方體/8CD—中,

⑴求//與平面AAXDXD所成的角；

(2)求AR與平面BBRD所成的角.

【反思】求直線(xiàn)與平面所成角的步驟：

(1)尋找過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn).

(2)連接垂足和斜足得到斜線(xiàn)在平面上的射影，斜線(xiàn)與其射影所成的銳角或直角即為所求的

角.

(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角.

【變式1】如圖所示，/8是圓柱的母線(xiàn)，即是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，

且/3=3C=2,/CBD=45。,求直線(xiàn)2D與平面/CD所成角的大小.

【變式2】如圖，已知OBOC在平面a內(nèi)，CM是平面a的斜線(xiàn)，且□ZOB=1/OC=60。,

OA=OB=OC=1,BC=yj2,求。/與平面a所成的角的大小.

【思考1】把正方形/BCD沿對(duì)角線(xiàn)NC折起，當(dāng)以4,B,C,。四點(diǎn)為頂點(diǎn)棱錐體積最大

時(shí)，直線(xiàn)8。和平面4BC所成的角的大小為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【變式1】如圖所示，四棱錐S一/BCD的底面為正方形，50,底面4BCD,則下列結(jié)論中

不正確的是（）

s

A.ACLSB

B./2〃平面SCO

C.“與平面SAD所成的角等于SC與平面SAD所成的角

D.與SC所成的角等于DC與山所成的角

【例4】(綜合應(yīng)用)如圖，h，矩形4BCD所在的平面，M,N分別是48,PC的中點(diǎn).

(1)求證：ACV〃平面總。；

(2)若PD與平面4BCD所成的角為45。，求證:MN_L平面PCD.

【方法小結(jié)】

1.直線(xiàn)和平面垂直的判定方法：

(1)利用線(xiàn)面垂直的定義.

(2)利用線(xiàn)面垂直的判定定理.

(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：

①若q〃6,q_La,則6_La;②若a〃￡,a_La,則a_LQ.

2.線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定方法：

(1)異面直線(xiàn)所成的角是90。.

(2)線(xiàn)面垂直，則線(xiàn)線(xiàn)垂直.

3.求線(xiàn)面角的常用方法：

⑴直接法(一作(或找)二證(或說(shuō))三計(jì)算).

(2)轉(zhuǎn)移法(找過(guò)點(diǎn)與面平行的線(xiàn)或面).

(3)等積法(三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法).

【知識(shí)點(diǎn)17】距離問(wèn)題

L概念：

點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)引平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.

直線(xiàn)和平面的距離：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線(xiàn)和這

個(gè)平面的距離.

2.方法：

□定義法：根據(jù)距離定義，直接作出表示距離的線(xiàn)段，再通過(guò)解三角形來(lái)求得距離.

□等積法：用定義法求距離比較困難時(shí)，可以用等積法間接求得距離.等積法又有等面積法和等體積法，其

中等面積法可以求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，而等體積法則可以求點(diǎn)到面的距離.

典型例題：

【例1】如圖，已知AB是圓0的直徑，C為圓上一點(diǎn)，AB=2,AC=1,P為口。所在平面

外一點(diǎn)，且PA垂直于圓0所在平面，PB與平面ABC所成的角為45。.

(1)求證：BC□平面PAC；

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

【變式1】已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別是5,12,13,點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)的距離都等于7,

則點(diǎn)P到平面ABC的距離為—

【例2】如圖，四棱錐P—A5CD中，底面A6CD為矩形，上4,平面ABCD，石是

的中點(diǎn).

(1)證明：P3//平面AEC；

(2)設(shè)"=1,AD=木三棱錐P—A8D的體積V=乎，求A到平面PBC

的距離.

【反思】求點(diǎn)到平面距離的方法總結(jié):

(1)過(guò)已知點(diǎn)作出平面的垂線(xiàn)段是關(guān)鍵.作垂線(xiàn)段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直

性質(zhì)定理作出平面的垂線(xiàn).

(2)作出垂線(xiàn)段后，通常利用等面積法求得距離.

【變式1】如圖，直四棱柱ABC。—ABC。中，AB//CD,AD1AB,AB=2,

1111

AD=^2,AA=3,E為CD上一點(diǎn)，DE=1,EC=3

1,

(1)證明：班，平面班CC；

11

(2)求點(diǎn)8到平面EAC的距離.

111

【反思】求點(diǎn)到平面距離的方法總結(jié)：

(1)當(dāng)直接作出垂線(xiàn)段比較困難時(shí)，可以考慮利用等體積法求距離.

(2)用等體積法求距離，一般用三棱錐體積相等來(lái)求解.

(3)可以用線(xiàn)面平行關(guān)系，轉(zhuǎn)化到一個(gè)更容易求解的三棱錐去求距離；也可以利用比例關(guān)

系，化為其他點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解.

【例題3】如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—ABC。中，AB=2,AD=1,AA=1.

iiii?

(1)證明：直線(xiàn)平行于平面。AC；

11

(2)求直線(xiàn)BC到平面。AC的距離.

11

【反思】求直線(xiàn)到平面距離的方法總結(jié)：

(1)求線(xiàn)面距離，根據(jù)直線(xiàn)上的點(diǎn)到平面距離相等，所以可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來(lái)求解.

(2)在轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距的時(shí)候，選擇合適的點(diǎn)會(huì)對(duì)解題有促進(jìn)作用.

【變式1】在直三棱柱ABC-ABC中，ZABC=90°AB=BC=1,BB=2,求:

iii'i

(1)異面直線(xiàn)3c與AC所成角的余弦值；

111

(2)直線(xiàn)到平面A3C的距離.

111

【思考】已知在直三棱柱ABC—ABC中，AB=4,AC=BC=3,。為AB的中點(diǎn).

?11

求異面直線(xiàn)CC和的距離;

c

B1

B

D

【感悟】求兩條異面直線(xiàn)距離的方法總結(jié)：

(1)利用圖形關(guān)系作出兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)，是求兩異面直線(xiàn)距離的基本方法，但難度

較大.

(2)過(guò)兩條異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)作另一條直線(xiàn)的平行線(xiàn)，構(gòu)造線(xiàn)面平行，將異面直線(xiàn)距

離化為線(xiàn)面距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，是求異面直線(xiàn)距離的常用方法.

(3)如果兩條異面直線(xiàn)分別在兩個(gè)互相平行的平面內(nèi)，可以轉(zhuǎn)化為求兩平行平面的距離，

再化為點(diǎn)面距離.

【知識(shí)點(diǎn)18】二面角的概念

(1)定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.

⑵相關(guān)概念：①這條直線(xiàn)叫做二面角的擅，②兩個(gè)半平面叫做二面角的畫(huà)

(3)畫(huà)法：

(4)記法：二面角a—1—B或a—AB-6或尸一/一0或P~AB-Q.

(5)二面角的平面角：若有①。￡/；②。4三a,OB。；@OAU,OB±l,則二面角a一/

一6的平面角是//OR

【例1】(概念的理解)有下列結(jié)論：

①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫作二面角；

②異面直線(xiàn)a,6分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則。，6所成的角與這個(gè)二面角的平面角

相等或互補(bǔ)；

③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線(xiàn)所成的角；

④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系.其中正確的是()

A.①③B.②④C.③④D.①②

【例2】如圖，已知RtZ\4BC,斜邊8CUa,點(diǎn)AO±a,。為垂足，ZABO=30°,

//CO=45。，求二面角/一8。一0的大小.

【反思】(1)定義法：在二面角的棱上找一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)分別作垂直于棱的射

線(xiàn).

(2)垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面形成交線(xiàn)，這兩條

射線(xiàn)(交線(xiàn))所成的角，即為二面角的平面角.

(3)垂線(xiàn)法：利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)來(lái)尋找二面角的平面角，這是最常用也是最有效的一種方

法.

【變式1】如圖，是。。的直徑，以垂直于。。所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且為

=AC,求二面角P—BC—A的大小.

【變式2】在正方體NBCD—中，截面/遂。與底面N88所成二面角4一80一/

的正切值為（）

A.乎B.￥C.艱D.小

【思考1】已知在直三棱柱ABC—ABC中，AB=4,AC=BC=3,。為AB的中

111

點(diǎn).

（I）求異面直線(xiàn)CC和AB的距離；

1

⑵若"Y。，求二面角4一°-色的平面角的余弦直

c,

B1

B

D

【變式1】如圖，在長(zhǎng)方體/BCD—//1CQi中，AD=AA=1,AB=2,點(diǎn)E在棱上移

動(dòng).

(1)證明：。盧，4￡＞；

(2)求4E為何值時(shí)，二面角D-EC-D的大小為45。?

【方法小結(jié)】

1.求二面角大小的步驟

簡(jiǎn)稱(chēng)為“一4乍二證三求

【知識(shí)點(diǎn)19】平面與平面垂直

（1）平面與平面垂直

①定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

②畫(huà)法：

P%

③記作：

（2）判定定理

文字語(yǔ)言一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直

P~i

圖形語(yǔ)言

y

符號(hào)語(yǔ)言l±a,luga邛

【例1】（概念理解）下列不能確定兩個(gè)平面垂直的是（）

A.兩個(gè)平面相交，所成二面角是直二面角B.一個(gè)平面垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的一條

直線(xiàn)

C.一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)D.平面a內(nèi)的直線(xiàn)。垂直于平面￡內(nèi)的

直線(xiàn)6

【例2】已知直線(xiàn)加，〃與平面a,P，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①若"?〃a,則機(jī)〃〃；②若機(jī)〃a,則機(jī)J_〃；③若m///3,貝!J

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【變式1】過(guò)兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一個(gè)B.有無(wú)數(shù)個(gè)

C.有且只有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)D.可能不存在

【變式2】a,￡是兩個(gè)不同的平面，加，"是平面a及￡之外的兩條不同直線(xiàn)，給出四個(gè)論

斷：

①機(jī)_1_〃；②a_l_夕；③"_1_夕；?mXa.

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題.

【例2】(證明面面垂直)如圖，在四棱錐尸一/BCD中，PA1.CD,AD//BC,ZADC=ZPAB

=90°,BC=CD=\:AD.

⑴在平面刃。內(nèi)找一點(diǎn)跖使得直線(xiàn)CM〃平面并說(shuō)明理由.

(2)證明：平面R13_L平面尸3D

【延申變式1】如圖，在四棱錐尸一ABCD中，為垂直于矩形42CD所在的平面，試證明:

平面尸C〃J_平面PAD.

【延申變式2】如圖，在四棱錐尸一/BCD中，為，平面4BCZ),底面4BCZ)是菱形，PB=

BC,M是PC中點(diǎn)，試證明：平面跖?Z)_L平面尸CD

【反思】證明面面垂直常用的方法

(1)定義法：即說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角.

(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂

直.

(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三■個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.

【變式1】如圖，在三棱柱4BC—4卦［中，側(cè)棱垂直于底面，ZACB=90°,AC=^AAy,

。是棱//的中點(diǎn).

證明：平面BDC］，平面

【變式2】如圖，四棱錐尸一N8CD的底面4BCD為正方形，底面48CD,AC,BD交

于點(diǎn)E,尸是尸8的中點(diǎn).求證：⑴斯〃平面PCA(2)平面P3D平面/MC.

【思考3］如圖所示，在正三棱柱ABC—AiB￡中,E為AB1的中點(diǎn)，求證：截面

側(cè)面/CC4.

【方法小結(jié)】

平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路

(1)本質(zhì)：通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線(xiàn)面垂直=＞面面垂直.

(2)證題思路：處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題

來(lái)解決.

【能力提升】垂直問(wèn)題難點(diǎn)突破專(zhuān)題

【例1】(空間位置關(guān)系相關(guān)定理)如圖，PA1平面aBC￡UD//BC,2￡)=2BC,AB1BC,點(diǎn)

E為P。中點(diǎn).

(1)求證：AB1PD；

(2)求證：CE〃平面P4B.

D

B

【變式1】如圖，在三棱柱ABC—ABC中，平面AACC_L平面ABC,AB=BC=

iiiii

2,^ACB=30°

A4=3,BC，AC,E為AC的中點(diǎn).

1ii

求證：AC_L平面CM；

ii

求二面角A-AB-C的余弦值.

i

【例2】(數(shù)量關(guān)系)如圖，三棱錐P—A5C中，形，底面ABC,PB=5C=,AC=1,

AB<,E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)廠(chǎng)在上，且22尸=￡4.

(1)求證：平面平面BEF；

p

【變式2】已知多面體中,四