高考數(shù)學中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應用課件知識分享

空間向量在立體幾何中的應用5前段時間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點面距離、線面距離和面面距離)今天我來研究如何利用空間向量來解決立體幾何中的有關證明及計算問題。

一、用空間向量處理“平行”問題DBCAA1QPNMD1C1B1法（２）作PP1⊥AB于P1，作MM1⊥AB于M1，連結QP1，作NN1⊥QP1于N1，連結M1N1N1M1P1NN1∥PP1MM1∥AA1又NN1、MM1均等于邊長的一半故MM1N1N是平行四邊形，故MN∥M1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz設正方形邊長為2，又A1P=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量為(0,0,1)，∴∴又M不在平面AC內，所以MN∥平面ACDCBAD1C1B1A1例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面A1BD∥平面CB1D1(1)平行四邊形A1BCD1

A1B∥D1C平行四邊形DBB1D1

B1D1∥BD于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx(2)證明：建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz設正方形邊長為1，則向量設平面BDA1的法向量為則有x+z=0x+y=0令x=1,則得方程組的解為x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量為同理可得平面CB1D1的法向量為則顯然有即得兩平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1∥CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyxDCBAD1C1B1A1FGHE例3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點.求證：平面AEH∥平面BDGFAD∥GF，AD=GF又EH∥B1D1，GF∥B1D1EH∥GF平行四邊形ADGEAE∥DG故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證：建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz則求得平面AEF的法向量為求得平面BDGH的法向量為顯然有故平面AEH∥平面BDGF

二、用空間向量處理“垂直”問題

二、用空間向量處理“垂直”問題↑DACBBCDAFEXYZ例4練習1證明:

分別以為坐標向量建立空間直角坐標系例6：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分別是BB1、CC1上的點，且BE=a，CF=2a。求證:面AEF

面ACF。AFEC1B1A1CBxzy不防設a=2，則A（0，0，0），B（3，1，0）C（0，2，0），E（3，1，2）F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因為，x軸面ACF所以可取面ACF的法向量為m=（1，0，0），設n=（x,y,z)是面AEF的法向量，則AFEC1B1A1CBzyx{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0

{x=0y=-2z

令z=1得,n=（0，-2，1）顯然有mn=0，即，mn面AEF面ACF證明：如圖，建立空間直角坐標系A-xyz，ADCB求證：平面MNC⊥平面PBC；已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝，M、N分別是AD、PB的中點。PMN練習2小結：

利用向量的有關知識解決一些立體幾何的問題，是近年來很“熱”的話題，其原因是它把有關的“證明”轉化為“程序化的計算”。本課時講的內容是立體幾何中的證明“線面平行、垂直”的一些例子，結合我們以前講述立體幾何的其他問題(如：求角、求距離等)，大家從中可以進一步看出基中一些解題的“套路”。