2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）331拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（五大題型）

3．3．1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 1題型一：拋物線的定義 1題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2題型三：軌跡方程—拋物線 4題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題 7題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用 9【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 12【高考真題】 24【題型歸納】題型一：拋物線的定義1．（2024·高二·吉林·期末）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題意得F1,0，設(shè)，因?yàn)?，所以，故，由拋物線焦半徑公式得，故.故選：C2．（2024·高二·黑龍江·期末）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程的為，由拋物線的定義可得，解得.故選：C3．（2024·高二·遼寧沈陽(yáng)·期末）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，則“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”是“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】根據(jù)題意可知“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”可得，拋物線方程可以為或或或，因此充分性不成立；若“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”可得，即可得拋物線“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”，即必要性成立；所以“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”是“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”的必要不充分條件.故選：B4．（2024·高二·甘肅·期末）已知為拋物線C：的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C．10 D．11【答案】A【解析】設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，由題，，所以，代入拋物線方程得，所以，的周長(zhǎng)為.故選：A.題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程5．（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，頂點(diǎn)為橢圓的中心，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．6．（2024·高二·上海浦東新·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)是圓的圓心，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】．【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．7．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A、B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】或【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以拋物線的方程是或.故答案為：或.8．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；(3)焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.【解析】（1）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，可知拋物線焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)-3,2，則拋物線焦點(diǎn)可能在軸正半軸或軸負(fù)半軸上，則設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，分別將-3,2代入，有，，求得，，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（3）由題意拋物線焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)在拋物線上，有拋物線焦點(diǎn)在軸正半軸上，又因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線定義有，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，故，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.題型三：軌跡方程—拋物線9．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，對(duì)稱軸作平行移動(dòng)，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)移到點(diǎn)時(shí)，拋物線方程為．【答案】【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在直線上滑動(dòng)，令，得所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以拋物線方程為又因?yàn)槠揭坪蟮慕裹c(diǎn)在上，代入解得，平移后的焦點(diǎn)坐標(biāo)為平移向量為所以平移后的拋物線方程為10．（2024·高二·上?！ふn堂例題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓M與圓N：相內(nèi)切，且與直線相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C．求曲線C的方程．【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心Mx,y，半徑為r，依題意，MN=r-12消去r，得x2化簡(jiǎn)得，所以曲線C的方程為．11．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程.【解析】設(shè)，則，所以，化簡(jiǎn)得，故的方程為.12．（2024·浙江·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，，是的中點(diǎn)，當(dāng)在軸上移動(dòng)時(shí)，與滿足的關(guān)系式為；點(diǎn)的軌跡的方程為．【答案】【解析】由題意得,即；設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，從而點(diǎn)的軌跡的方程為.故答案為：；13．（2024·高二·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，，，則，，，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，則，即，可得，即．故點(diǎn)的軌跡方程是．故答案為：.14．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)A，C在拋物線上，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為．【答案】【解析】如圖，設(shè)Ax1,y1依題意，四邊形為矩形，則，即，所以，即，則，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為，故答案為:．題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題15．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上，動(dòng)圓與圓內(nèi)切并與直線相切，圓心為，則PC的最小值為.【答案】/【解析】如圖，設(shè)圓的半徑為，則；又到的距離為，則到的距離為.所以C的軌跡是以O(shè)為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，頂點(diǎn)為，則16．（2024·高二·河南南陽(yáng)·期中）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為.【答案】【解析】設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為A，連接，由題知，焦點(diǎn)，，．因?yàn)橹本€的斜率為，所以為正三角形，所以，，所以．記關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，所以周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：17．（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)距離的最小值為．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，設(shè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離分別為，，則的最小值為．【答案】/【解析】由橢圓E:x2a且橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)距離的最小值為，得，所以，故，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，所以，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，則，點(diǎn)到直線的距離，則，當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.18．（2024·高二·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，記拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為．【答案】【解析】由拋物線的定義知，，所以所以，當(dāng)點(diǎn)位于射線與拋物線交點(diǎn)時(shí)，取最大值.故答案為：題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用19．（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車(chē)輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車(chē)道總寬度，那么車(chē)輛通過(guò)隧道的限制高度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如上圖，取拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線方程，將點(diǎn)代入拋物線方程解得：，∴拋物線方程為，∵行車(chē)道總寬度，∴將代入拋物線方程，解得：，∴車(chē)輛通過(guò)隧道的限制高度為，故選：C.20．（2024·高二·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門(mén)是一拋物線形水泥建筑物，若將校門(mén)輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為．校門(mén)最高點(diǎn)到地面距離約為18.2米，則校門(mén)位于地面寬度最大約為（

）A．18米 B．21米 C．24米 D．27米【答案】C【解析】依題意知，拋物線，即，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，所以拋物線方程為，令，則，解得，所以校門(mén)位于地面寬度最大約為米.故選：C.21．（2024·河北石家莊·一模）截至2023年2月，“中國(guó)天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上．被稱為“中國(guó)天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1）．觀測(cè)時(shí)它可以通過(guò)4450塊三角形面板及2225個(gè)觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時(shí)軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個(gè)FAST模型，觀測(cè)時(shí)呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)拋物線的方程為，由題可得拋物線上一點(diǎn)，代入拋物線方程可得，所以，即拋物線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：A.22．（2024·高三·遼寧營(yíng)口·期末）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得：，解得，由于，得或（舍）又，化為：，解得或（舍）.故選：C.【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·四川宜賓·期末）已知拋物線C：，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn)，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為12，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】如圖，直線l：中，令，可得，令，可得，所以，，由拋物線C：y2=2pxp>0所以，所以，解得.故選：A2．（2024·高二·江蘇常州·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)作的垂線，垂足為.若，則到的距離為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，，又，為正三角形，，又，在中，即，解得或（舍去），所以到的距離為.故選：A.3．（2024·高二·江蘇南京·期末）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解析：由題意知，，設(shè)，由拋物線定義可得，，，所以，因?yàn)椋?，則，所以．故選：C．4．（2024·高二·吉林長(zhǎng)春·期末）已知拋物線，直線，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€，即，過(guò)定點(diǎn)，記作點(diǎn)A，因?yàn)?，垂足為，所以，又，故點(diǎn)P的軌跡為以為直徑的圓，半徑，圓心為，記作點(diǎn)B，又因?yàn)镼在拋物線上，其準(zhǔn)線為，所以等于Q到準(zhǔn)線的距離，過(guò)點(diǎn)Q做準(zhǔn)線的垂線，垂足為R，要使取到最小，即最小，此時(shí)，三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線后直線過(guò)圓心B，如圖所示，此時(shí).5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若為拋物線內(nèi)部一點(diǎn)，且周長(zhǎng)的最小值為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如圖，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，所以周長(zhǎng)為，故當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且，則周長(zhǎng)的最小值為，解得，此時(shí)拋物線C的準(zhǔn)線方程為.故選：B6．（2024·高二·福建莆田·階段練習(xí)）若拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，由題意可得：，所以，所以，故D正確.故選：D.7．（2024·高二·陜西西安·期中）拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3，則此拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線與直線的距離為，故，解得，故此拋物線的方程為.故選：B.8．（2024·高二·重慶·期中）已知拋物線C：上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（

）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】B【解析】由題意知拋物線C：上一點(diǎn)，則，又，故在拋物線C：的外部，則，因?yàn)閽佄锞€C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則，故，由于，當(dāng)三點(diǎn)共線（P在之間）時(shí)，取到最小值,則的最小值為，故選：B9．（多選題）（2024·高二·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的值可能是（

）.A．1 B．3 C．4 D．5【答案】CD【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，圓的圓心為，半徑為1，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)點(diǎn)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，點(diǎn)位于之間時(shí)等號(hào)成立，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，AB不可能，CD可能.故選：CD10．（多選題）（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·期末）直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．，B．直線的斜率為1時(shí)，C．的最小值為6D．以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切【答案】AD【解析】依題意可知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F1,0,且直線的方程可設(shè)為,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得，因?yàn)椋裕?所以,，故A正確；,當(dāng)時(shí),AB有最小值4，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，則，故，故B錯(cuò)誤；設(shè)線段的中點(diǎn)為，則,所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,所以以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切,故D正確.故選:AD.11．（多選題）（2024·高二·山東煙臺(tái)·期末）已知定圓，點(diǎn)A是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的中垂線交直線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【答案】ABD【解析】因?yàn)槭蔷€段的中垂線上的點(diǎn)，，若在圓內(nèi)部，且不為圓心，則，，所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，故A正確；若在圓外部，則，，所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，故B正確；若在圓上，則的中垂線恒過(guò)圓心，即的軌跡為點(diǎn)．若為圓的圓心，即與重合時(shí)，為半徑的中點(diǎn)，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，故D正確，不存在軌跡為拋物線的可能，故C錯(cuò)誤，故選：ABD12．（2024·高二·河南商丘·期末）已知點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線與到直線的距離之和的最小值是．【答案】/【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可得點(diǎn)到直線的距離等于PF，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，所以點(diǎn)到直線與到直線的距離之和等于，由兩點(diǎn)之間線段最短可得，過(guò)作直線的垂線，垂足為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．故答案為：.13．（2024·高二·河北保定·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓，圓心是拋物線上一點(diǎn)，直線，圓與線段相交于點(diǎn)，與直線交于，兩點(diǎn)，且，若，則拋物線方程為.【答案】【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，由圖知①，由可得，②，又點(diǎn)在拋物線上，可得，，即③，把①式代入②式，，解得，，回代入①可得，，代入③式整理得，，解得，或（舍去），故拋物線方程為：.故答案為：.14．（2024·江蘇南通·二模）已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的焦點(diǎn)．若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則．【答案】【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，解得，即，又由，可得軸，因?yàn)椋傻?，所以直線的傾斜角為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，則，整理得且，解得，即，解得或（舍去）.故答案為：.15．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．(1)求拋物線的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，若以線段為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．【解析】（1）準(zhǔn)線為，，拋物線的方程為；（2）設(shè)Px1,y1，Q，得，則，，所以以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即，則，或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，又，綜上，的值為．16．（2024·高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，為直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程．【解析】設(shè)Px,y，，，又，則，，，，由，得，且易知點(diǎn)均不在軸上，故，且，由，得，即，由，得，即，所以，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：.17．（2024·高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.求曲線的方程.【解析】解法一：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，依題意，點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.解法二：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則，依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以，所以，化簡(jiǎn)得，曲線的方程為.18．（2024·高二·河南駐馬店·期末）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，.(1)求的取值范圍；(2)若為直角三角形，且，求的值.【解析】（1）由題意可知：拋物線的方程為，直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，消去得，要使直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，則，即，解得或，所以們?nèi)≈捣秶鸀榛?（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2,y則，，解法一：因?yàn)椋瑒t，即，可得，解得或，結(jié)合（1）中的取值范圍可知：.解法二：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，解得，此時(shí)滿足（1）中的取值范圍，所以.【高考真題】1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故