高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修一）第02講112集合的基本關(guān)系

1.1.2集合的基本關(guān)系TOC\o"13"\h\u題型1集合間關(guān)系的判斷 ④A的非空真子集的個(gè)數(shù)有(2n－2)(n≥1)個(gè)．2．求給定集合的子集的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)按子集中元素個(gè)數(shù)的多少，以一定的順序來寫．(2)在寫子集時(shí)要注意不要忘記空集和集合本身．提醒：真子集個(gè)數(shù)是在子集的基礎(chǔ)上去掉集合本身，做題時(shí)看清是真子集還是子集．◆類型1子集真子集個(gè)數(shù)問題【例題21】寫出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少個(gè)？【答案】子集有：{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，?共8個(gè)．真子集有：{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，?共7個(gè)．【變式21】1.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合A=A．2 B．4C．6 D．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.【詳解】含有元素0的A的子集有0，0,1，0,2，0,3，0,1,2，0,1,3，0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A的子集個(gè)數(shù)為8.故選：D.【變式21】2.（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考期中）已知集合M?{2，3，5}，且M中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合M共有（）A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】B【分析】利用集合子集的概念及題意一一列舉即可.【詳解】若M有一個(gè)元素，則3、若M有兩個(gè)元素，則2，3、若M有三個(gè)元素，則2，3，5∴滿足題意的集合M的個(gè)數(shù)為6個(gè).故選：B.【變式21】3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）集合A=A．4 B．7 C．8 D．16【答案】C【分析】解出集合A，再計(jì)算集合的子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)锳=所以該集合的子集的個(gè)數(shù)為23故選：C．【變式21】4.（2022秋·西藏拉薩·高一?？计谥校┮阎螾=x|3【答案】?,{?【分析】根據(jù)子集概念求解即可?！驹斀狻恳?yàn)镻=所以P的子集為?,{?1故答案為：?,{?1◆類型2根據(jù)條件求集合【例題22】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合M滿足2,3?A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來即可.【詳解】因?yàn)?,3?所以集合M可以為：2,3,1,2,3,4,故選：C.【變式22】1.（2020秋·江西九江·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A=xx?3≤0,xA．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)集合A，B，再根據(jù)A?【詳解】因?yàn)榧螦=B=xx所以C=故選：B.【變式22】2.（2022秋·廣西桂林·高一桂林市第一中學(xué)校考期中）如果集合A滿足0，2?A?【答案】7【分析】根據(jù)子集和真子集的定義即可寫出所有滿足條件的集合A，從而求出滿足題意的集合A的個(gè)數(shù)．【詳解】由題意知集合A中必須包含0，2兩個(gè)元素，但集合A≠∴滿足條件的集合A為：0,2，0,2,?1，0,2,10,2,4,∴滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為7．故答案為：7．【變式22】3.（2022秋·西藏拉薩·高一?？计谥校┮阎螦=1，集合B=x∈Nx<3【答案】1，0,1，1,2，0,1,2,【分析】根據(jù)子集概念求解即可,【詳解】因?yàn)锽=x∈N所以集合P為1，0,1，1,2，0,1,2,故答案為：1，0,1，1,2，0,1,2題型3集合關(guān)系與參數(shù)問題◆類型1參數(shù)取值問題【例題31】（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合A=0,?a，B=1,A．2 B．1 C．23 D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a?2=0和2【詳解】因?yàn)锳?若a?2=0，解得a=2，此時(shí)A=若2a?2=0，解得a=1，此時(shí)A綜上所述：a=1故選：B.【變式31】1.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合A={1,3,a},B={1,1?2【答案】?1或13【分析】由B?A，得到1?2a=3或1?2a【詳解】由B?A，可得1?2a=3或1?2a當(dāng)a=?1時(shí)，A={1,3,?1},B當(dāng)a=13時(shí)，A所以實(shí)數(shù)a的值為?1或13故答案為：?1或13【變式31】2.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若A=1,2，B=【答案】a=0或a=1或【分析】根據(jù)題意可得B=?或B=1【詳解】∵集合A=1,2，B=∴B=?或B=1當(dāng)B=?時(shí)，a當(dāng)B=1時(shí)，a?2=0當(dāng)B=2時(shí)，2a∴a=0或a=1或【變式31】3.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合A={1},B=【答案】3【分析】根據(jù)A?B得出x=1是方程x2+2【詳解】因?yàn)锳=1，B=所以x=1是方程x即12+2×1+a經(jīng)檢驗(yàn)，a=?3符合題意，所以a故答案為：?3.【變式31】4.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知A={1,2},B=A．a(chǎn)=1,b=?2 B．a(chǎn)=2,b=?2【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的特性，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由于B=x∣而x2由于A={1,2},A?故由韋達(dá)定理可得1+2=?a故選：C則所求實(shí)數(shù)對(duì)為(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．◆類型2與不等式有關(guān)的取值范圍問題【例題32】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合A={x|?3≤【答案】(?∞,4].【分析】根據(jù)集合間的包含關(guān)系，分m≤1和m【詳解】由集合B={若m≤1時(shí)，可得B=?，此時(shí)滿足若m>1時(shí)，要是得到B?A，則滿足m綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?∞,4].故答案為：(?∞,4].【變式32】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合A=xy=xA．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≤0【答案】A【分析】先根據(jù)定義域求出A=xx【詳解】由題意得x?2≥0，解得x≥2，故因?yàn)锳?B，所以故選：A【變式32】2.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合A={(1)若B?A，求實(shí)數(shù)(2)若A?B，求實(shí)數(shù)【答案】(1){(2)不存在【分析】（1）根據(jù)題意，分B=?和B（2）根據(jù)題意，結(jié)合A?【詳解】（1）解：①當(dāng)B=?時(shí)，即m+1>2m?1，解得②當(dāng)B≠?時(shí)，要使得B則滿足m+1≥?22m綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m（2）解：由題意，要使得A?B，則滿足所以實(shí)數(shù)m不存在，即不存在實(shí)數(shù)m使得A?【變式32】3.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合A=(1)若A=(2)若A?(3)若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?【答案】(1)a(2)a(3)a【分析】利用集合相等的性質(zhì)及集合的包含關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榧螦=x|所以a=1（2）因?yàn)锳?

由圖可知a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a（3）因?yàn)锽?A，如圖，

由圖可知a<1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a◆類型3與二次方程有關(guān)的取值范圍問題【例題33】（2023·高一單元測(cè)試）已知M=xx2?2【答案】{【分析】求得集合M=?1,3，根據(jù)N?M，分【詳解】由題意，集合M=當(dāng)N=?時(shí)，即Δ=a2?4<0，解得當(dāng)N≠?時(shí)，要使得NM，則?1∈N或當(dāng)?1∈N時(shí)，可得(?1)2?a+1=0，即a當(dāng)3∈N時(shí)，可得32+3a+1=0，即a綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a故答案為：{a【變式33】1.（2023·高一單元測(cè)試）已知集合A=(1)若集合B=a+1，a2(2)若集合C=xax2?x【答案】(1)5(2)a【分析】（1）利用集合相等的條件求a的值；（2）由A與C有包含關(guān)系得C?【詳解】（1）因?yàn)锳=2,6，且所以a+1=2a2解得a=1a=±故a=5（2）因?yàn)锳與C有包含關(guān)系，A=2,6，所以C?當(dāng)a=0時(shí)，C當(dāng)a≠0當(dāng)C=?時(shí)，Δ=1?4a×6<0當(dāng)C=2時(shí)，Δ=1?4a當(dāng)C=6時(shí)，Δ=1?4a當(dāng)C=2,6時(shí)，Δ=1?4a綜上，a的取值范圍為aa【變式33】2.（2023春·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎狝=(1)若A?(2)若B?【答案】(1)?2(2)a≥4或a<?4或【分析】（1）先求出集合A，再利用條件A?B，根據(jù)集合與集合間的包含關(guān)系，即可求出（2）對(duì)集合B進(jìn)行分類討論：B=?和B≠?，再利用集合與集合間的包含關(guān)系，即可求出【詳解】（1）由方程x2?2x?8=0所以A=?2,4，又A?所以B=?2,4，即方程x2+ax利用韋達(dá)定理得到：?2+4=?a，即a（2）由已知得A=?2,4，又所以B=?時(shí)，則Δ=a2?4(a2?12)<0當(dāng)B≠?若B中僅有一個(gè)元素，則Δ=a2?4(a2當(dāng)a=4時(shí)，B=?2，滿足條件；當(dāng)a若B中有兩個(gè)元素，則B=A，利用韋達(dá)定理得到，?2+4=?a綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥4或a<?4或題型4集合相等【例題4】（2022·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合A={a,b,1},A．1 B．12 C．?1 D．1或【答案】A【分析】根據(jù)A=B求得a,【詳解】由于A=所以對(duì)于集合B有a2=1,a若a=?1，則b=2，此時(shí)A=若a=1，則集合A所以ab的值為1故選：A【變式41】1.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知M=2,a,b【答案】34【分析】根據(jù)集合相等得到方程組，求出a,【詳解】因?yàn)镸=N，所以a=2解①得a=0b=1或a解②得a=0b=0或a所以a+b=1故答案為：34【變式41】2.2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A=a,ba,1，【答案】?1【分析】結(jié)合A=B，尋找元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，a=0顯然不成立，故只能b=0，化簡(jiǎn)集合A,【詳解】因?yàn)锳=B，集合B中有一元素為0，a=0顯然不成立，故只能b=0，此時(shí)A=a,0,1，B=a【變式41】3.（2021·高一單元測(cè)試）已知關(guān)于x的方程3a?x=x【答案】1．【分析】把x=2代入方程求得a值，再代入a【詳解】由題意3a?2=2所以(?a故答案為：1【變式41】4.（2021秋·浙江臺(tái)州·高一臺(tái)州市書生中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若xx2+A．?3 B．3 C．?1 D．7【答案】C【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得P，q的值，由此可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閤x所以1+3=?p1×3=q所以p+故選：C.【變式41】5.（2022秋·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）設(shè)x1,x2,x3【答案】3【分析】根據(jù)集合相等得到x1【詳解】因?yàn)閤i?=?18,?3,?1,?所以x1所以x=?18×?3故答案為：3題型5符號(hào)辨析問題【方法總結(jié)】1．元素與集合、集合與集合的關(guān)系．“∈”是“元素”與“集合”之間的從屬關(guān)系，如a∈{a}．“?或?”是兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系．2．0、{0}、?、{?}的關(guān)系(1)區(qū)別：0不是一個(gè)集合，而是一個(gè)元素，而{0}，?，{?}都為集合，其中{0}是包含一個(gè)元素0的集合；?為不含任何元素的集合；{?}為含有一個(gè)元素?的集合，此時(shí)?作為集合{?}的一個(gè)元素．(2)聯(lián)系：0∈{0},0??，0?{?}，??{0}，??{0}，??{?}，??{?}．【例題5】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中學(xué)校考期末）有下列關(guān)系式：①a,b=b,a；②a,b?b,A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的定義、子集的定義、空集的性質(zhì)，結(jié)合元素與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)①：因?yàn)榧显鼐哂袩o序性，顯然①正確；對(duì)②：因?yàn)榧蟖,b=對(duì)③：空集?是一個(gè)集合，而集合?是以?為元素的一個(gè)集合，因此?≠?對(duì)④：0是一個(gè)集合，僅有一個(gè)元素0，但是空集不含任何元素，于是0≠?對(duì)⑤：由④可知，0非空，于是有?0，因此⑤正確；對(duì)⑥：顯然0∈0綜上，本題不正確的有③④，故選：D【變式51】1.（2022秋·上海寶山·高一?？计谥校┮阎鶄€(gè)關(guān)系式（1）?∈{?}（2）??≠{?}（3）{0}?≠?（4）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)集合的基本概念逐一判斷即可.【詳解】{?}是以?為元素的集合，則?∈{?}，故①正確；?是任何非空集合的真子集，則??≠{?}?是不含任何元素的集合，則0??，故④正確；?是不含任何元素的集合，{0}是以0為元素的集合，則?≠{0}，故⑤錯(cuò)誤；?是不含任何元素的集合，{?}是以?為元素的集合，則?≠{?}，故⑥正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本概念，考查空集的概念，元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【變式51】2.（2021秋·河南商丘·高一永城高中?？计谥校┫旅嫖鍌€(gè)關(guān)系式：π∈xx>3，???，1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及空集的定義判斷可得；【詳解】解：因?yàn)棣小蕏x>3，???，1故選：C．【變式51】3．（多選）（2021秋·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）給出的下列選項(xiàng)，其中正確的是（

）A．?∈? B．??? C．?∈?【答案】BC【分析】根據(jù)集合與空集的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，?不是?的元素，故不正確；對(duì)于B，?是任何集合的子集，所以?是?的子集，故正確；對(duì)于C，?是?的元素，故正確；對(duì)于D，?是?的元素，故不正確；.故選：BC【變式51】4.（2021秋·廣西賀州·高一校考階段練習(xí)）以下四個(gè)寫法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②??｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④0∈e；正確的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】①中兩個(gè)集合之間關(guān)系應(yīng)用包含關(guān)系表示；②中?是任何集合的子集；③集合中元素是無序的；④中兩個(gè)元素之間關(guān)系不能用∈表示.【詳解】在①中，｛0｝與｛0，1，2｝均為集合，兩個(gè)集合之間的關(guān)系要用包含關(guān)系而不是屬于關(guān)系表示，故①錯(cuò)誤；②中?是任何集合的子集，是正確的；③中由集合元素的無序性知是正確的；④中兩個(gè)元素之間關(guān)系不能用∈表示.所以正確的有②③.故選：C題型6新定義題型【例題6】（2022秋·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)?？计谥校┒x集合A⊙B=xx=a2+A．2 B．6 C．14 D．15【答案】B【分析】根據(jù)集合的新定義運(yùn)算，再由集合有3個(gè)元素確定出n的取值集合，求解即可.【詳解】因?yàn)锳⊙B=xx所以x=3,當(dāng)2=2+n2時(shí)，即當(dāng)2=1+n2時(shí)，即n=1當(dāng)3=1+n2時(shí)，即當(dāng)3=2+n2時(shí)，即n=1綜上，n∈{0,2,?故選：B【變式61】1.（2022秋·陜西安康·高一陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）規(guī)定：在整數(shù)集Z中，被7除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“家族”，記為[k]，即k={7①2021∈5②?3∈[3]；③若整數(shù)a，b屬于同一“家族”，則a?④若a?b∈[0]，則整數(shù)a【答案】①③④【分析】根據(jù)“家族”的定義逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng)．【詳解】解：①因?yàn)?021=288×7+5，所以2021∈5②?3=7×?1+4，所以③根據(jù)“家族”定義可知當(dāng)a，b屬于同一“家族”時(shí)，不妨設(shè)a∈k，b∈則a=7k1+k所以則有a?④當(dāng)a?b∈[0]不妨設(shè)b∈k，k=0則a=7所以整數(shù)a，b屬于同一“家族”，故正確．所以正確的有①③④．故答案為：①③④．【變式61】2.（2022·高一單元測(cè)試）定義A?B＝{z|z＝xy+x(1)求集合A?B的所有元素之和．(2)寫出集合A?B的所有真子集．【答案】(1)9(2)?，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}【分析】（1）分別將A，B中的