高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)新定義壓軸匯編01不動(dòng)點(diǎn)問題及應(yīng)用

高一上期期末新定義壓軸匯編1.不動(dòng)點(diǎn)問題及應(yīng)用一．基本原理1.不動(dòng)點(diǎn):已知函數(shù),若存在,使得，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).不動(dòng)點(diǎn)實(shí)際上是方程組的解的橫坐標(biāo)，或兩者圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.穩(wěn)定點(diǎn):已知函數(shù),若存在，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).顯然,若為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則必為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).3.關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)，有下面兩個(gè)結(jié)論：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則.證明:不妨設(shè),則由題知,則,故,所以,所以性質(zhì)1得證;設(shè),則,因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增,所以存在唯一,使,若,則,得到,與矛盾;若,則,得到,與矛盾,故必有,所以,即,又由性質(zhì)（1）知,所以,當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增,,故性質(zhì)2得證.二．典例分析例1．對(duì)于定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)使，那么叫做函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：要使函數(shù)存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，只需直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可.當(dāng)時(shí)，顯然與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，需使與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如示意圖，則需的圖象最多向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上則可以任意平移，所以，即.故選：C.例2．設(shè)區(qū)間是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，例如的“不動(dòng)點(diǎn)”滿足，即的“不動(dòng)點(diǎn)”是.設(shè)函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)在上存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）由“不動(dòng)點(diǎn)”定義知：當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或（舍去），所以，且所以函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)為.（2）根據(jù)已知，得在上有解，所以在上有解，令，，所以，即在上有解，所以在上有解，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，故，所以，可得，又在上恒成立，所以在上恒成立，則，則，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例3．對(duì)于函數(shù)，，若存在，使得，則稱函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，其中是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱函數(shù)為“次不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，其中是的一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)．（1）判斷函數(shù)是否為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解析：（1）假設(shè)為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，則，使得，令，易知函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間0,+∞上存在唯一的零點(diǎn)，所以為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)．（2）函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，則，令，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.要使與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，則．又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上有唯一解，則，，令，在單調(diào)遞增要使，與在上有1個(gè)交點(diǎn)，則．所以經(jīng)檢驗(yàn)滿足在區(qū)間上恒成立，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為．例3．對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，實(shí)數(shù)為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（1）證明：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（2）已知函數(shù)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)；（Ⅱ）若存在，使函數(shù)有三個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求的值和實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）證明：若實(shí)數(shù)是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則，所以，故函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（2）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∴，解得：或，所以函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為1和；又∴，解得：或，或或所以函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為1和；.解法2：所以函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為1和；由得，即，由（Ⅰ）可知函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)1和一定是穩(wěn)定點(diǎn)，故可令，從而由待定系數(shù)法可求得，，所以，解得或，或或，所以函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為1和；（Ⅱ）若存在，使函數(shù)有三個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，由，可化為，關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，令，，由于非負(fù)數(shù)，如果有兩個(gè)不同正根，方程必有四個(gè)解即四個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；如果有且只有一個(gè)正根，只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；所以必有一根為正根和一個(gè)零根，即或，則，因?yàn)?，得：，則.故實(shí)數(shù)的取值范圍是，.例4．布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動(dòng)點(diǎn).（1）求函數(shù)的次不動(dòng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）設(shè)函數(shù)的次不動(dòng)點(diǎn)為，則，即，將等式兩邊平方整理得：或，均符合題意，故函數(shù)的次不動(dòng)點(diǎn)為和.（2）設(shè)函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)和次不動(dòng)點(diǎn)分別為和.則由可得：，即：，化簡(jiǎn)得：，，因在時(shí)為增函數(shù)，故，即；再由可得：，即：，化簡(jiǎn)得：，，因在時(shí)為增函數(shù)，故，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.例5．對(duì)于函數(shù)，若，則稱實(shí)數(shù)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：（1）當(dāng)時(shí)，方程可化為，解得或；所以，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為0和1．（2）方程，即，可化為．令，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，且．由題意，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．由于對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．所以，．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）不等式可化為．易知，函數(shù)在?1,0上最大值為，最小值為；由題意，，，即．上述不等式可化為．令，則當(dāng)時(shí)，．由題意，，不等式恒成立．函數(shù)在上單調(diào)遞增，最大值為；函數(shù)在上單調(diào)遞減，最小值為．所以，，即．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．例6．布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)實(shí)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)"函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動(dòng)點(diǎn)．（1）判斷函數(shù)是否是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，若是，求出其不動(dòng)點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由（2）已知函數(shù)，若是的次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值：（3）若函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）依題意，設(shè)為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即，于是得，解得或，所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，不動(dòng)點(diǎn)是2和.（2）因是“次不