2025年仁愛(ài)科普版高二數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁(yè)，總=sectionpages22頁(yè)第=page11頁(yè)，總=sectionpages11頁(yè)2025年仁愛(ài)科普版高二數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷117考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、若角α，β滿足則α-β的取值范圍是（）

A.（-π；π）

B.（-π；0）

C.

D.（0；π）

2、設(shè)是虛數(shù)單位，在復(fù)平面上，滿足的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.線段3、一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積為()A.B.C.D.4、【題文】在△ABC中，a＝3，b＝c＝2，那么B等于（）A.30°B.45°C.60°D.120°5、【題文】已知向量若與垂直，則的值為（）A.B.C.D.6、已知雙曲線的離心率則它的漸近線方程為()A.B.C.D.評(píng)卷人得分二、填空題(共5題，共10分)7、當(dāng)實(shí)數(shù)a的范圍為____時(shí)，三條直線l1：ax+y+1=0，l2：x+ay+1=0，l3：x+y+a=0能圍成三角形．8、某圓柱的底面直徑為高為則它最多能放入半徑為的球____個(gè)。9、【題文】根據(jù)如圖所示的算法流程，可知輸出的結(jié)果為____．10、拋物線x2=8y的準(zhǔn)線方程為____．11、如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A、B分別為長(zhǎng)軸和短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)FB⊥AB時(shí)，此類橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”；類比“優(yōu)美橢圓”，可推出“優(yōu)美雙曲線”的離心率為____．評(píng)卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)12、著名的“將軍飲馬”問(wèn)題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

13、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最?。ㄈ鐖D所示）14、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）15、著名的“將軍飲馬”問(wèn)題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最?。ㄈ鐖D所示）17、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）18、分別畫一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱臺(tái)．評(píng)卷人得分四、解答題(共2題，共18分)19、（本題滿分14分）已知橢圓的離心率為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點(diǎn)，平行于的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).判斷直線是否關(guān)于直線對(duì)稱，并說(shuō)明理由．20、為了對(duì)新產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)；對(duì)這類產(chǎn)品進(jìn)行了試銷試驗(yàn)，用以觀察需求量y（單位：千件）對(duì)于價(jià)格x（單位：千元）的反應(yīng)，得到數(shù)據(jù)如下：

。x5070804030909597y1008060120135555048（1）求變量y與x之間的相關(guān)系數(shù)r；并對(duì)變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；

（2）若y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系；求回歸直線方程．

評(píng)卷人得分五、計(jì)算題(共3題，共6分)21、如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在BC邊上，且CE=2，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC的最小值．22、如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，M是BC邊上的中點(diǎn)，P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PB+PM的最小值．23、求證：ac+bd≤?．評(píng)卷人得分六、綜合題(共3題，共6分)24、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過(guò)AB，C三點(diǎn)的拋物的對(duì)稱軸為直線l，D為對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）以點(diǎn)A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：____．25、已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S6=51，a5=13．26、已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，S3=0．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、B【分析】

∵

∴

∴

∴-π＜α-β＜0

故選B．

【解析】【答案】先根據(jù)條件求出α與β的取值范圍然后求出-β的范圍；最后利用不等式的加法進(jìn)行求解即可求出所求．

2、A【分析】【解析】試題分析：可看做復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于結(jié)合圓的定義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是圓考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的軌跡【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】

作輔助線D′E′，利用余弦定理12=12+|E′C′|2-2|E′C′|cos45°．可得|E′C′|=從而在圖（2）直角梯形ABCD中，AD=1，BC=1+AB=2，其面積為2+所求面積為2+選C【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】

試題分析：由余弦定理知：．

考點(diǎn)：用余弦定理解三角形【解析】【答案】C5、B【分析】【解析】

試題分析：因?yàn)榍遗c垂直，所以·（）=0；

即（1,3）·（-3,3+2m）=-3+3(3+2m)=0,m=-1,故選B。

考點(diǎn)：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；向量垂直的條件。

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，兩向量垂直，它們的數(shù)量積為0.【解析】【答案】B6、C【分析】【解答】由離心率即漸近線方程為所以故選C.二、填空題(共5題，共10分)7、略

【分析】

因?yàn)槿龡l直線l1：ax+y+1=0，l2：x+ay+1=0，l3：x+y+a=0能圍成三角形；

所以三條直線滿足兩兩相交；不過(guò)同一點(diǎn)；

因?yàn)閘3：x+y+a=0的斜率是-1，所以-a≠-1，-≠-1，且-a≠-解得a≠±1；

由解得（1，-1-a）不在直線l2：x+ay+1=0上；

所以1+a（-1-a）+1≠0；解得a≠-2．

綜上a≠±1；a≠-2．

故答案為：a≠±1；a≠-2．

【解析】【答案】三條直線能圍成三角形；滿足兩兩相交，不過(guò)同一點(diǎn)，將此關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程，求出a的范圍即可．

8、略

【分析】【解析】試題分析：圓柱形圓桶的直徑為4R，故第一層可以放入直徑為2R的球2個(gè)，由于相鄰兩層四個(gè)球的球心正好構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為2R的正四面體,故兩層球心的連線形成的兩條異面直線間距離為：設(shè)最多能裝進(jìn)N層，則由于圓柱形圓桶的高為42R，則（N-1）?+2R≤42R，N≤+1，故N的最大值為29，此時(shí)能裝入58個(gè)球。考點(diǎn)：圓柱；球的幾何特征?！窘馕觥俊敬鸢浮?89、略

【分析】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，才退出循環(huán)體輸出i的值，所以i=7.【解析】【答案】710、y=﹣2【分析】【解答】解：∵拋物線的方程為x2=8y；

∴拋物線開口向上，2p=8，可得=2．

因此拋物線的焦點(diǎn)為（0；2），準(zhǔn)線方程為y=﹣2．

故答案為：y=﹣2

【分析】根據(jù)拋物線的方程，可得拋物線開口向上且2p=8，由此算出=2，即可得到該拋物線的準(zhǔn)線方程．11、【分析】【解答】解：根據(jù)“優(yōu)美橢圓”的定義；可得“優(yōu)美雙曲線”的虛軸一端與左焦點(diǎn)的連線，垂直于該點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線．如圖，設(shè)A是雙曲線右頂點(diǎn)，B是虛軸上端點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)∵△ABF中，F(xiàn)B⊥AB，且AB⊥BF

∴OB2=OA×OF，即b2=ac

因此，c2﹣a2=ac，兩邊都除以a2并整理，得e2﹣e﹣1=0，解之得e=（舍負(fù)）

∴“優(yōu)美雙曲線”的離心率為

故答案為：

【分析】首先通過(guò)類比，得“優(yōu)美雙曲線”的虛軸一端與左焦點(diǎn)的連線，垂直于該點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線．作出示意圖，在RtABF中用射影定理，得b2=ac，結(jié)合雙曲線a、b、c的關(guān)系和離心率的定義解一元二次方程，即可得到“優(yōu)美雙曲線”的離心率．三、作圖題(共7題，共14分)12、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對(duì)稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對(duì)稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

13、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長(zhǎng)最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對(duì)稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對(duì)稱；A與A″關(guān)于ON對(duì)稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對(duì)稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對(duì)稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長(zhǎng)最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對(duì)稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對(duì)稱；A與A″關(guān)于ON對(duì)稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．18、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個(gè)三角形；

第二步：確定頂點(diǎn)﹣﹣在底面外任一點(diǎn)；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點(diǎn)與底面三角形各頂點(diǎn)．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個(gè)四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)；從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)面內(nèi)畫與底面對(duì)應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺(tái)都是需要先畫底面，再確定平面外一點(diǎn)連接這點(diǎn)與底面上的頂點(diǎn)，得到錐體，在畫四棱臺(tái)時(shí)，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)面內(nèi)畫與底面對(duì)應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共2題，共18分)19、略

【分析】試題分析：注意應(yīng)用橢圓的定義求橢圓的方程，對(duì)于第二問(wèn)，兩直線關(guān)于直線m對(duì)稱的條件，應(yīng)用兩直線的斜率之和等于零，來(lái)解決問(wèn)題即可.試題解析：（Ⅰ）由題意得1分由可得2分所以3分所以橢圓的方程為4分（Ⅱ）由題意可得點(diǎn)6分所以由題意可設(shè)直線7分設(shè)由得由題意可得即且8分9分因?yàn)?0分13所以直線關(guān)于直線對(duì)稱.14分考點(diǎn)：橢圓的方程，直線的關(guān)系.【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）所以直線關(guān)于直線對(duì)稱.20、略

【分析】

（1）由公式計(jì)算得r=-0.9931；

由n=8，n-2=6，查表得r0.05=0.632；

所以|r|＞r0.05；

∴需求量與價(jià)格兩者之間存在線性相關(guān)關(guān)系．

（2）計(jì)算得b=-1.2866；a=169.7724；

所以回歸直線方程是。

y=-1.2866x+169.7724．

【解析】【答案】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)利用最小二乘法．公式計(jì)算得r，由n=8，n-2=6，查表得r0.05=0.632；最后得出需求量與價(jià)格兩者之間存在線性相關(guān)關(guān)系．

（2）寫出線性回歸方程的系數(shù)和a的值；寫出線性回歸方程，注意運(yùn)算過(guò)程中不要出錯(cuò)．

五、計(jì)算題(共3題，共6分)21、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化PE，PC的值，從而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如圖；連接AE；

因?yàn)辄c(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A；

所以PE+PC=PE+AP；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．22、略

【分析】【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EP、EB、EM、EC，則PB+PM=PE+PM，因此EM的長(zhǎng)就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如圖；作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EP；EB、EM、EC；

則PB+PM=PE+PM；

因此EM的長(zhǎng)就是PB+PM的最小值．

從點(diǎn)M作MF⊥BE；垂足為F；

因?yàn)锽C=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因?yàn)椤螹BF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．23、證明：∵（a2+b2）?（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）?（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤?

∴ac+bd≤?【分析】【分析】作差（a2+b2）?（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可證明．六、綜合題(共3題，共6分)24、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的性質(zhì)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點(diǎn)；

設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）由（2）可知，當(dāng)AD+CD最短時(shí)，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段之間的長(zhǎng)度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長(zhǎng)定理知，另一點(diǎn)D與現(xiàn)在的點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，所以另一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點(diǎn)之間；線段最短”的原理可知：

此時(shí)AD+CD最??；點(diǎn)D的位置即為所求．（5分）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過(guò)點(diǎn)（3；0），（0，3）；

得

解這個(gè)方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對(duì)稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1；2）．（7分）

說(shuō)明：用相似三角形或三角函數(shù)求點(diǎn)D的坐標(biāo)也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)E．

由（2）知：當(dāng)AD+CD最小時(shí)；點(diǎn)D