2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：解答題壓軸題二十二大題型專練（范圍：第一、二、三章）（含答案）

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十二大題型專練

（范圍：第一、二、三章）

【人教A版（2019）］

向量共線、共面的判定及應(yīng)用

1.（23-24高二.全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示，在正方體力BCD中，點(diǎn)E在久久上，且亭=2而2,

點(diǎn)F在體對(duì)角線4C上，且^:=|而.求證：E,F,B三點(diǎn)共線.

2.（23-24高二?湖南?課后作業(yè)）已知向量落b,[不共面，AB=4a+5b+3c,AC=2a+3b+c,AD=

6a+7b+5c.求證：B,C,。三點(diǎn)共線.

3.（23-24高三上.四川成都.開學(xué)考試）在四棱柱力BCD—A/iGDi中，D^E=kD^A,D^F=kD^B,D^G=

kDQD]H=kD]D.

（1）當(dāng)k時(shí)，試用屈，而，近表示衣;

⑵證明:E,F,G,H四點(diǎn)共面;

4.（23-24高二?江蘇?課后作業(yè)）已知4B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面4BC外的任意一點(diǎn)。，分別根據(jù)下列

條件，判斷點(diǎn)M是否與點(diǎn)A,B,C共面：

-11、

⑴。M=-OA+-OB+-0C；

236

（2兩=30A-OB-0C.

題型24空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

5.（24-25高二上?湖北宜昌?期中）如圖，在三棱柱ABC-4/iQ中，AB=a,AC^b,京=落點(diǎn)。滿

B

(1)用乙Ml表示瓦方;

(2)若三棱錐&-ABC的所有棱長(zhǎng)均為2,求|瓦團(tuán)及碇?瓦萬(wàn)

6.(24-25高二上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，在六棱柱4BCDEF-&當(dāng)&。送1a中，底面4BCDEF是正六

邊形，設(shè)力B=a,AF=b,AA1=c.

(2)若COSNBTMI=COSNFAA[==2,AA1=4,求:

(i)中?布；

(ii)|M|.

7.(24-25高二上?四川廣安?階段練習(xí))AB=AD=1,AA1=2,/.BAD==Z.DAA1=

(1)用向量屈，前，初表示向量珂，并求|西|；

（2）求cos（麗,尼）.

8.（23-24高二下?廣東中山?開學(xué)考試）如圖，在平行六面體4BCD-a/CDi中，AB=5,AD=3,AA1=4,

^DAB=90°,zBXXi=^DAA1=60°,E是CC1的中點(diǎn)，設(shè)屈=2,AD^b,AA^=c.

⑴求4E的長(zhǎng)；

⑵求族和前夾角的余弦值.

空間向量基本定理及其應(yīng)用。|

9.(23-24高二下?上海?開學(xué)考試)如圖，在正方體4BCD中，E為棱CQ的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段

上，且3DF=2F8「

(1)用瓦?，DC,西表示取，庠及*;

(2)求證：A,E,F四點(diǎn)共面.

10.(24-25高二上?貴州遵義?期中)在四棱柱ABCD-a/iGA中,4D〃BC,AB1AD,乙41AB=^AD=|,

BBi=AD=2AB=2BC=2,點(diǎn)E滿足庠=2FD.

(1)若荏=%近+y彳否+z而，求x+y+z的值;

(2)求|福.

11.(24-25高二上?重慶?階段練習(xí))如圖，在四面體P-2BC中，P4_L平面PBC,BC1平面P4B,。為PC的

中點(diǎn)，BE=2EA.

(1)設(shè)pa=d,PB=b,BC=c,用a,b,3表示DE；

(2)若|西=\PB\=|BC|=1

(i)求|函

(ii)求I??瓦.

12.(2024高二上.全國(guó).專題練習(xí))如圖，在底面4BCD為菱形的平行六面體力BCD中，M,N分

11

別在棱CCi上，且=3A4「CN=jCC1；S.AA±AD=^A1AB=ADAB=60°.

⑴用向量就，AD,說(shuō)表示向量而；

(2)求證：D,M,Bi，N共面；

(3)當(dāng)簽為何值時(shí)，ACrLArB.

題型4、利用空間向量證明線、面的位置關(guān)系

13.(24-25高二上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，正四棱柱ABCD-4/16%的底面邊長(zhǎng)為2,E為棱CD的中

點(diǎn)，M=3CF,且四棱錐E-BCFBi的體積為平.

6

(2)證明：平面BCD]_L平面/EF.

14.(24-25高二上?福建福州?期中)在四棱錐P—ABC。中，平面PAD1平面力BCD,PA1PD,PA=PD,

AB1AD,AB=1,AD=2,AC=CD=V5.

⑴求證:PD1平面P4B；

(2)在棱P2上是否存在點(diǎn)M,使得〃平面PCD?若存在，求出胃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè))如圖所示，四邊形ABCD為矩形，241平面ABC。，PA^AD,M,N,

Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面/MD；

(2)求證：平面MNQ〃平面P4D.

16.(24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè))如圖，在正三棱柱ABC-2/16中，BC=CQ,M,N,P分別是

(1)求證：平面NPC〃平面ABiM.

(2)在線段8名上是否存在一點(diǎn)Q,使ABi1平面&MQ?若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理

由.

利用空間向量研究點(diǎn)、線、面的距離問(wèn)題。|

17.(24-25高二上?廣東廣州?期中)如圖，在四棱錐?！狝BC。中，底面48CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，。4，底

面48CD,0A=2,M為。4的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，解答以下問(wèn)題：

(1)證明：直線MN||平面。CD；

⑵求點(diǎn)N到平面OCD的距離.

18.(23-24高二上?山東淄博?階段練習(xí))在棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-a/iG%中，E為線段44的中點(diǎn),

產(chǎn)為線段的中點(diǎn).

(1)求直線EC與AC1所成角的余弦值;

(2)求直線FC到平面AEG的距離.

19.(2024高二.全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)正方體4BCD的棱長(zhǎng)為2,求:

(1)求直線4C到平面&BD的距離；

(2)求平面&BD與平面/CDi間的距離.

20.(24-25高二上?福建福州?期中)如圖，在長(zhǎng)方體4BCD中，AB=3,AD=AAX=2,點(diǎn)E在

AB±,且AE=1.

Dy_____________Cx

(1)求直線BQ與平面4EC所成角的正弦值;

(2)若點(diǎn)P在側(cè)面4力BBi上，且點(diǎn)P到直線BB］和CD的距離相等，求點(diǎn)P到直線AD1距離的最小值.

題型6人利用空間向量求空間角

21.(24-25高二上?四川樂山?階段練習(xí))如圖所示，在正方體4BCD—4/165中，已知M是BD的中點(diǎn).

⑴求4M與所成角的余弦值;

(2)求平面4BD與平面&QD夾角的余弦值.

22.(24-25高三上?湖北宜昌?階段練習(xí))如圖，四邊形4BCD與BDEF均為菱形，且凡4=FC,乙DAB=KDBF

60°

⑴求證：平面2BCD1平面BDEF

(2)求直線AD與平面所成角的正弦值.

23.(24-25高二上?遼寧沈陽(yáng)?期中)如圖所示，直三棱柱28。一4/16中，力C1BC,點(diǎn)M在線段4B上,

AC-BC=CCr=3,AM=V2.

⑴求證：ABr15C1；

(2)求二面角a-CB1-"的正弦值.

24.(24-25高二上?山西大同?期中)如圖，在多面體4BCDEF中，平面力BCD1平面4DEF,四邊形2DEF為

平行四邊形，AB//CD,AD1CD,/.FAD=AF=2四,AB=AD=-CD=2,P為EC的中點(diǎn).

42

1/

AB

(1)求證：DF1BC；

⑵求點(diǎn)P到平面ABF的距離；

(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)H,使得平面DHP與平面BEF的夾角的余弦值為半？若存在，求瞿的值；若不

14BC

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

立體幾何中的探索性問(wèn)題

25.(24-25高二上?廣西玉林?期中)如圖，在四棱錐P—4BCD中，平面P/WL^ABCD,PA1PD,ABLAD,

C

(1)求證：PD1平面P4B；

(2)求直線P4與平面PCD所成角的余弦值;

(3)在棱P8上是否存在點(diǎn)M,使得力M〃平面PCD?若存在，求出詈的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.(23-24高二上?吉林?階段練習(xí))如圖，在四棱錐S-4BCD中，四邊形4BCD是矩形，ASa。是正三角形,

且平面$4。，平面力BCD,AB=1,P為棱力。的中點(diǎn)，四棱錐S—A8CD的體積為竽.

(1)若E為棱BS的中點(diǎn)，求證：PE〃平面SCD；

(2)在棱S4上是否存在點(diǎn)M,使得平面PBM與平面S4D的夾角的余弦值為手？若存在，指出點(diǎn)M的位置并給

以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.（24-25高二上?福建廈門?階段練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，PD垂直于梯形2BCD所在的平面，^ADC=

Z-BAD=p尸為24的中點(diǎn)，PD=4。=1,四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N.（用

向量坐標(biāo)法）

（1）求點(diǎn)N到平面PAB的距離；

（2）在線段EF上是否存在一點(diǎn)Q,使得直線BQ與平面BCP所成角的大小為乎若存在，求出FQ的長(zhǎng)；若不存

6

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.（24-25高二上?北京?期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A/iGDi中，AD=1,AB=AA1=2,H,F,M分

別是棱GA，BBi，BiG的中點(diǎn).

(1)判斷直線與平面Bi"F的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)求直線HF與平面4MD所成角的正弦值；

(3)在線段HF上是否存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q到平面&BCD1的距離是應(yīng)，若存在，求出瞿的值；若不存在，說(shuō)

Hr

明理由.

直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍。I

29.(24-25高二上?陜西安康?階段練習(xí))已知直線1過(guò)點(diǎn)P(2,2),且與以4(-1,—1)和B(3,2—遍)為端點(diǎn)的

線段相交.

(1)求直線1的斜率上的取值范圍；

(2)求直線［的傾斜角a的取值范圍.

30.(23-24高二上.全國(guó)?課后作業(yè))已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)2(—2,—4),B(2,0),C(—1,1).

(1)求直線的斜率和傾斜角；

(2)若是線段4C上一動(dòng)點(diǎn)，求」，的取值范圍.

31.(23-24高二上?四川巴中?階段練習(xí))已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)4(—1,1),B(l,l),C(2,V3+1).

(1)求直線AC的傾斜角；

(2)若。為AABC的AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的傾斜角的取值范圍.

32.(23-24高二上?河南?階段練習(xí))已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)力(-2,-4),B(2,0),C(-l,l).

(1)求直線4B的斜率和傾斜角；

(2)若A,可以構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)。在第一象限，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若E(m,元)是線段4c上一動(dòng)點(diǎn)，求」，的取值范圍.

直線方程的求解。|

33.(24-25高二上?廣東深圳?期中)已知△28C的三個(gè)頂點(diǎn)是力(1,—3),8(2,1),C(-1,4).

(1)求BC邊上的高所在直線匕的方程；

(2)若直線已過(guò)點(diǎn)C,且點(diǎn)A,2到直線"的距離相等，求直線"的方程.

34.(24-25高二上?重慶?期中)已知△A8C的三個(gè)頂點(diǎn)分別是力(5,1)，8(7,—3),C(-9,5).

(1)求42邊上的高所在的直線方程；

(2)求4B邊上的中線所在的直線方程；

(3)求乙WC角平分線所在的直線方程.

35.(24-25高二上?廣東佛山?階段練習(xí))已知A4BC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是4(5,1),5(7,-3),C(-8,2).

(1)求BC邊上的高所在的直線方程；

(2)若直線2過(guò)點(diǎn)4且與直線x+y+l=O平行，求直線Z的方程;

(3)求BC邊上的中線所在的直線方程.

36.(24-25高二上?江蘇蘇州?期中)已知ANBC的三個(gè)頂點(diǎn)是4(l,5),8(—5,—7),C(3,—3),求:

(1)邊BC上的中線所在直線的方程；

(2)邊BC上的高所在直線的方程；

(3)乙48c的角平分線所在直線的方程.

題型10、距離問(wèn)題

37.(24-25高二上?吉林?階段練習(xí))已知直線%:ax-2y+2=0,直線G：久一(a-l)y-2=0.

(1)若人〃"，求3"之間的距離；

(2)若kl。，求4，G及無(wú)軸圍成的三角形的面積.

38.(24-25高二上?山東青島?階段練習(xí))已知直線I:(2m+2)x+(1-4m)y-2m-7=0

(1)證明：無(wú)論機(jī)為何值，直線/與直線x-2y-1=0總相交；

⑵求點(diǎn)Q(2,4)到直線/距離的最大值；

(3)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與無(wú)，y軸的正半軸分別交于A,8兩點(diǎn)，求AAOB面積的最小值.

39.(23-24高二上?天津河西?階段練習(xí))已知直線)ri:(a—l)x+(2a+3)y—a+6=0,n:x—2y+3=0.

⑴若坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線機(jī)的距離為遮，求〃的值；

⑵當(dāng)a=0時(shí)，直線/過(guò)小與〃的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線/的方程.

40.(24-25高二上?廣東深圳?期中)已知直線2%-y—3=0,%：—(租+l)y+1=0，其中血為實(shí)數(shù).

(D當(dāng)，1〃，2時(shí)，求直線之間的距離；

(2)當(dāng)771=2時(shí)，求過(guò)直線的交點(diǎn)，且平行于直線2%+y+4=0的直線方程.

題型nN點(diǎn)、線間的對(duì)稱問(wèn)題

41.(24-25高二上?福建龍巖?階段練習(xí))已知直線l:x+2y-2=0,試求：

(1)點(diǎn)P(—2,-1)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

(2)直線中y=x—2關(guān)于直線/對(duì)稱的直線"的方程.

(3)直線/關(guān)于點(diǎn)4(1,1)對(duì)稱的直線方程.

42.(24-25高二上?湖北?期中)已知△ABC的頂點(diǎn)4(2,1),邊AB的中線CM所在直線方程為x-y+1=0,

邊AC的高8H所在直線方程為x-2y+2=0.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,1),被直線CM反射，反射光線過(guò)點(diǎn)N(4,2),求反射光線所在的直線方程.

43.（24-25高二上?上海?隨堂練習(xí)）如圖，已知4（6,6遮），8（0,0）,。（12,0）,直線（（k+8）％-y-2k=0.

（1）求直線1經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵若P（2,2b）,李老師站在點(diǎn)P用激光筆照出一束光線，依次由BC（反射點(diǎn)為K）、AC（反射點(diǎn)為/）反射

后，光斑落在P點(diǎn)，求入射光線PK的直線方程.

44.（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）直線I過(guò)點(diǎn)P（-2,0）,點(diǎn)Q（1,W）到直線/的距離為2百，直線「與

直線/關(guān)于點(diǎn)Q對(duì)稱.

⑴求直線/'的方程；

（2）記原點(diǎn)為0,直線，上有一動(dòng)點(diǎn)M,則當(dāng)|OM|+|MQ|最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

題型124圓的切線長(zhǎng)及切線方程問(wèn)題

45.（24-25高二上?江西贛州?階段練習(xí)）已知圓C過(guò)4（2,-4）,B（-2,-2）兩點(diǎn),且圓心C在直線x+4y-6=0

上.

(1)求圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(7,-1)作圓C的切線，求切線方程.

46.(24-25高二上?安徽蕪湖?期中)已知圓M的方程為/一8x+V-8y—4=0.

(1)過(guò)點(diǎn)(0,-4)的直線機(jī)截圓M所得弦長(zhǎng)為4?,求直線小的方程；

(2)過(guò)直線Lx+y+4=0上任意一點(diǎn)P向圓M引切線，切點(diǎn)為Q,求|PQ|的最小值.

47.(24-25高二上?寧夏銀川?期中)己知。(7:/+3/2+。久+63/-12=0關(guān)于直線尤+2)7-4=0對(duì)稱,

且圓心在y軸上.

(1)求OC的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在直線y=久-5上，過(guò)點(diǎn)M引0C的切線M4,求|M川的最小值.

48.(23-24高二上?福建福州?期末)已知圓0:/+y2=1,直線:%+(m—3)y—m=0(m€R).

(1)若直線/與圓。相切，求相的值；

(2)當(dāng)爪=4時(shí)，已知尸為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)切線長(zhǎng)最短時(shí),

求弦力B所在直線的方程.

題型13N直線與圓有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題OI

49.(2024高三.全國(guó).專題練習(xí))已知點(diǎn)P(x,y)是圓(x+2>+y2=1上任意一點(diǎn).

(1)求尸點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值.

(2)求x-2y的最大值和最小值.

(3)求中的最大值和最小值

50.(23-24高二上?山西呂梁?期末)已知圓C:一+必—2%—+4=0.

(1)求小的取值范圍；

(2)當(dāng)小取最小正整數(shù)時(shí)，若點(diǎn)P為直線4x-3y+12=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為力，求線

段24的最小值.

51.(23-24高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí))已知圓C：x2+y2+2%-4y+3=0

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；

(2)從圓C外一點(diǎn)PQ,y)向圓引切線PM,M為切點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|PM|=|PO|,求|PO|的最小值

52.(23-24高二上?江蘇泰州?期中)已知M(x,y),5(1,2),B(-2,-1),且|M川=V^|MB|,點(diǎn)Q(—2,2).

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求匕|的最大值和最小值;

x—2

(3)求y-％的最大值和最小值.

題型14K直線與圓有關(guān)的面積問(wèn)題

53.(24-25高二上?重慶?期中)已知圓C:久2+丫2-gy+g=0,4是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P(2,2),M是線段4P

的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求直線PM的方程及△POM的面積.

54.(24-25高二上?上海?期中)已知直線2:ax—y+&-a=0(a6R),H]0:x2+y2=4

(1)求證：無(wú)論。取何值，直線/均與圓。相交；

(2)已知AC、8。是圓。的兩條相互兩直的弦，且垂足為求四邊形ABC。的面積的最大值.

55.(24-25高二上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)P(3,0)的距離是它與原點(diǎn)。的距離的2倍.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)求x-y的最小值；

(3)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的兩條互相垂直的直線分別與軌跡E相交于4B兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn)，求四邊形AC8。的面積S的

最大值.

56.(23-24高二上?浙江湖州?期末)已知圓。：x2+y2=4,直線上y=/o:+4.

(1)若直線/與圓。交于不同的兩點(diǎn)A,B,當(dāng)NAOB=90。時(shí)，求人的值；

⑵若k=泄，點(diǎn)尸為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓0的兩條切線PC,PD,切點(diǎn)分別為C,D,求四邊形。CPD

的面積的最小值.

圓錐曲線的離心率問(wèn)題

22

57.(24-25高三上.云南普洱?階段練習(xí))已知橢圓。++左=l(a>b〉0)的右焦點(diǎn)為(2,0),點(diǎn)(2,便)在

C上.

(1)求C的離心率;

(2)設(shè)恒過(guò)點(diǎn)。的直線kx—y+2k+l=0交C于A,B兩點(diǎn)，且。為AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.

58.(24-25高三上?安徽?開學(xué)考試)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，&,尸2分別是雙曲線后：5一，=1(￡1>0,6>0)的

左、右焦點(diǎn)，直線=1%與E交于A,8兩點(diǎn)，0-0=0.

(1)求E的離心率；

(2)M為E上一點(diǎn)(不在x軸上)，過(guò)尸2作乙&"尸2平分線的垂線，垂足為N,若［0N|=1,求△AF/2的面積?

__22

59.(24-25高二上.北京.期中)已知P(0,a)和Q(VX1)為橢圓C曝+琶=l(a>b>0)上的兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)設(shè)直線=依+1與橢圓C交于A、8兩點(diǎn)，求三角形AO8面積的取值范圍.

60.(23-24高二上.山東濰坊.期末)已知雙曲線l(a>0">0),點(diǎn)&(一1,0),&(魚，百)都在

雙曲線C上，且C的右焦點(diǎn)為F.

(1)求C的離心率及其漸近線方程；

⑵設(shè)點(diǎn)P(久o，yo)(久o42)是雙曲線C右支上的任意一點(diǎn)，記直線PF和P&的斜率分別為七、修證明：

圓錐曲線的弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問(wèn)題

61.(24-25高二上?山東青島?期中)己知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),

長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2企.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)M(L0)且斜率為1的直線/與橢圓C交于4B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|4B|；

(3)若直線/與橢圓相交于C,D兩點(diǎn)求直線/的方程.

62.(24-25高二上?浙江紹興?期中)已知橢圓C:、+^=l(a>6>0),其中離心率為孑，且過(guò)點(diǎn)(今1)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線/被橢圓c截得的弦長(zhǎng)為|VL求直線，的方程.

63.(23-24高二上?山東煙臺(tái)?期末)己知雙曲線C與橢圓。+y2=1有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為y=七噂x.

42

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線y=x+m與雙曲線C交于A,8兩點(diǎn)，且|4B|=4位,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

64.(24-25高二上?山東?期中)已知拋物線C：必=6%的焦點(diǎn)為尸.

(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)尸的直線/與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，若|MF|=￡,求線段MN的長(zhǎng).

題型17、圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題

65.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))己知橢圓G：5+冒=1(a>6>0)與拋物線C2：/=2py(p〉0)有相同的

焦點(diǎn)尸(0,1),且橢圓G過(guò)點(diǎn)(1,—乎).

(1)求橢圓G與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓G上一點(diǎn)P在無(wú)軸下方，過(guò)點(diǎn)P作拋物線。2的切線，切點(diǎn)分別為4B,求APAB的面積的最大值.

66.（23-24高三下?山西?開學(xué)考試）如圖，已知拋物線E：必=2%與點(diǎn)尸（久。,%）,過(guò)點(diǎn)P作E的兩條切線,

切點(diǎn)分別為4B.

（1）若4（2,—2）,求切線24的方程;

（2）若&-y0+2=0,求證：直線2B恒過(guò)定點(diǎn).

67.（23-24高二下?廣東?階段練習(xí)）已知線段力B是拋物線產(chǎn)=4%的弦，且過(guò)拋物線焦點(diǎn)F.

（1）過(guò)點(diǎn)8作直線與拋物線對(duì)稱軸平行，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)E,求證：4、0、E三點(diǎn)共線（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）;

（2）設(shè)M是拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)M作拋物線的切線，切點(diǎn)為

求證：（i）兩切線互相垂直；

（ii）直線過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

68.（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線C的方程為/=4y,過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分

別為4B.

（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,-1）,求切線P4PB的方程；

（2）若點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線P4和互相垂直.

圓錐曲線中的面積問(wèn)題o?

69.(24-25高三上?北京?階段練習(xí))設(shè)橢圓/+"=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,々，右焦點(diǎn)尸(1,0)，

\A2F\-1.

(1)求橢圓方程及其離心率；

(2)已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與頂點(diǎn)重合),直線42P交y軸于點(diǎn)Q，若A&PQ的面積是A&FP面積的2倍,

求直線42P的方程.

70.(24-25高三上?湖南?階段練習(xí))已知雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為手，點(diǎn)(3,a)在雙曲線E上，

點(diǎn)尻,尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).

⑴求E的方程；

(2)過(guò)戶2作兩條相互垂直的直線。和12，與雙曲線的右支分別交于4C兩點(diǎn)和8,。兩點(diǎn)，求四邊形28CD面積

的最小值.

71.(24-25高二上?安徽?期中)已知橢圓E:日+y2=1,圓C過(guò)橢圓E的左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線［經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F,與圓C交于4B兩點(diǎn).

(i)若伊B|=g,求直線/的方程；

(ii)直線ni經(jīng)過(guò)點(diǎn)F與圓C交于P,Q,且直線m與直線I相互垂直，求四邊形4P8Q面積的最大值.

72.(24-25高三上?山東青島?期中)已知過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與拋物線E:/=2p;c(p>0)交于4B兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線4B垂直于無(wú)軸時(shí)，AAOB的面積為四.

(1)求拋物線E的方程；

(2)過(guò)曲線E上一點(diǎn)PG，y0)(y0>0)作兩條互相垂直的直線，分別交曲線E于S,T(異于點(diǎn)P)兩點(diǎn)，求證：

直線sr恒過(guò)定點(diǎn)；

(3)若。為△力BC的重心，直線2C,BC分別交y軸于點(diǎn)M,N,記△MCN,A40B的面積分別為S^S，求*的取值

范圍.

題型19』圓錐曲線中的參數(shù)范圍及最值問(wèn)題

22

73.(24-25高二上.浙江杭州?期中)已知橢圓C:^+琶=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FL，離心率為

Y，設(shè)PQo，yo)是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，PF1、PF2的延長(zhǎng)線分別交橢圓C于點(diǎn)4B,連接0P,4B,4F2，

若A4PF2的周長(zhǎng)為4V1

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)PF21久軸，求^P4F2的面積；

(3)若分別記。PMB的斜率分別為七,k2,求；-；的最大值.

忙2億1

74.(23-24高二下.重慶九龍坡?期中)己知雙曲線C和橢圓?+y2=1有公共焦點(diǎn)，且離心率0=彳.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P(2,l)作兩條相互垂直的直線PM,PN分別交雙曲線C于不同于點(diǎn)P的M、N兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線MN距

離的最大值.

75.(23-24IWJ二下?江蘇鹽城?期末)在平面直角坐標(biāo)系久oy中，已知橢圓E：a+￡■=l(a>6〉0)的曷心

率為|,右焦點(diǎn)尸到橢圓E上任意一點(diǎn)的最小距離為1.

⑴求橢圓E的方程；

⑵設(shè)A,8為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線/交橢圓E于C,。兩點(diǎn)，C與A,8不重合)，連接4C,

BD交于點(diǎn)Q.

①求證：點(diǎn)。在定直線上：

②設(shè)而=%而，BQ=A2BD,求福+白的最大值.

42

76.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)拋物線C:/=2py(p>0),直線x-y+1=0與C交于4,B兩點(diǎn)，且|4B|=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點(diǎn)P為尤2+(y+i)2=1上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PD,PE,設(shè)切點(diǎn)分別為D,E,試求直

線PD,PE斜率之積的最小值.

題型20i\圓錐曲線中的向量問(wèn)題

22

77.(24-25高二上?天津北辰?期中)己知橢圓臺(tái)+9=1的左焦點(diǎn)尸為圓/+?2+2%=。的圓心，且橢圓上

的點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離的最小值為&-1.

(1)求橢圓的短軸長(zhǎng)；

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,8,點(diǎn)M(-表0),求拓？?麗的值.

78.(23-24高二下?上海?階段練習(xí))設(shè)點(diǎn)F「a分別是橢圓+5=1(t>0)的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C

上的點(diǎn)到點(diǎn)尸2的距離的最小值為2&-2.點(diǎn)M,N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn),且向量物與向量取

平行.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)居R?瓦R=0時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)|Ol-iWl=遍時(shí)，求直線&N的方程.

79.(2024.湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)雙曲線￡1：5—5=l(a>03>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4B,左、右焦

點(diǎn)分別為F2,\FrF2\=2V5,且E的漸近線方程為y=±得K，直線/交雙曲線E于P,Q兩點(diǎn).

(1)求雙曲線E的方程；

⑵當(dāng)直線2過(guò)點(diǎn)(4,0)時(shí)，求族?慈的取值范圍.

80.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知拋物線=2Px(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),直線/與拋物線「有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)4B,直線P4交y軸于M,直線PB交y軸于N.

(1)若直線I過(guò)點(diǎn)Q(0,l),求直線I的斜率k的取值范圍；

(2)若直線I過(guò)拋物線T的焦點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)D,瓦？=京？,而=〃麗，求2+〃的值；

⑶若直線1過(guò)點(diǎn)Q(0,l),設(shè)。(0,0),西=4而，麗=〃而，求］+加值.

題型21』圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

22

81.(24-25高二上?北京?期中)如圖，已知橢圓(7:a+a=1(a>6>0)過(guò)點(diǎn)2(3,1)，焦距為4企；斜率為

的直線/與橢圓C相交于異于點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn)，且直線PM,PN均不與久軸垂直.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若|MN|=VTU,求MN的方程；

(3)記直線的斜率為后，直線PN的斜率為心，證明：燈的為定值.

82.(24-25高二上?江蘇鹽城?期中)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3,亨)，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線=my+l與雙曲線C的右支交于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)4關(guān)于x軸對(duì)稱，求證：直線BE過(guò)定點(diǎn),

并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

83.(23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí))已知雙曲線—《=l(a>0,6>0)的焦點(diǎn)為F(2,0),且過(guò)點(diǎn)

⑴求雙曲線E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作斜率分別為七,七的直線匕12,直線人交雙曲線E于4B兩點(diǎn)，直線G交雙曲線E于C,D兩點(diǎn)，點(diǎn)M,N

分別是48,CD的中點(diǎn)，若［11%，試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

84.(23-24高二下?福建廈門?期中)已知橢圓C:?+《=l(a>6>0)的離心率為f，點(diǎn)(0,3)在C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知?jiǎng)又本€/過(guò)曲線C的左焦點(diǎn)F,且與橢圓C分別交于P,Q兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)R,使得正?而

為定值？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型22a圓錐曲線中的定直線問(wèn)題。?

22

85.(24-25高二上?河北石家莊?期中)已知F(l,0)為橢圓C*+色=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)，4B分別為橢

圓C的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過(guò)點(diǎn)7(|,—竽).

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P作直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)(不同于4B),設(shè)直線2M與直線BN交于點(diǎn)。，證明：點(diǎn)。在定

直線上.

86.(23-24高二下?廣西貴港?期中)已知雙曲線C:《一條=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)尸(VTU,0)到C的一條漸

近線的距離為傷.

⑴求C的方程.

(2)設(shè)C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2,過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率不為。的直線/與C相交于M,N兩點(diǎn)，直線與直線

4N相交于點(diǎn)P.試問(wèn)點(diǎn)P是否在定直線上？若是，求出定直線的方程；若不是，說(shuō)明理由.

87.(2024?湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))過(guò)拋物線/=2py(p>0)內(nèi)部一點(diǎn)P(?n,7i)作任意兩條直線AB,CD,如圖

所示，連接4C,BD延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q,當(dāng)P為焦點(diǎn)并且4B1CD時(shí)，四邊形力CBD面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程;

(2)若點(diǎn)證明Q在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出定直線方程.

22

88.(24-25高二上?山東青島?期中)已知過(guò)點(diǎn)4(0,1)且焦距為2的橢圓E曝+琶=l(a>b>0),過(guò)點(diǎn)

B(0,-3且斜率存在的直線交橢圓E于尸，。兩點(diǎn).

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線AP,A。的斜率之積是否為值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線/與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)(點(diǎn)C在無(wú)軸上方)，橢圓E的左頂點(diǎn)為右頂點(diǎn)為42,

求證：直線與直線42c的交點(diǎn)G在一條定直線上.

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十二大題型專練

(范圍：第一、二、三章)

【人教A版(2019)]

向量共線、共面的判定及應(yīng)用

1.(23-24高二.全國(guó)?課后作業(yè))如圖所示，在正方體力BCD中，點(diǎn)E在&Di上，且硬=2兩,

點(diǎn)F在體對(duì)角線4C上，且WF=|后.求證：E,F,8三點(diǎn)共線.

【解題思路】把麗麗用基底灰瓦,不2,4X表示后證明它們共線，再由共頂點(diǎn)F可得三點(diǎn)共線.

【解答過(guò)程】連接EF,FB,

9

：EF=ArF-ArE=^ArC

2__>_>_>2___>

——(4遇+AB+BC)—-

2___>___>__>2___>

=g(4/1+/也+-§4也

2----*2---*4-----*

=-5114—5A-1iA----1-5A-t1Di1,

-->---->--->---->--->o/---->----->--->、

FB=ArB-ArF=//i+4遇一式A/1+4也+ArA)

3----*3*2----*

=豺/1+114十]01，

-->9?-->?

：.EF-fFB-J.EF//FB,

又EFCFB=F,：.E,F,B三點(diǎn)共線.

2.(23-24高二?湖南?課后作業(yè))已知向量出b,3不共面，AB=4a+5b+3c,AC=2d3b+c,AD=

6a+7b+5c.求證：B,C,。三點(diǎn)共線.

【解題思路】將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問(wèn)題求證即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)檐?4a+5b+3c,AC=2a+3b+c,AD=6a+7b+5c,

所以就=AC-AB=2a+3b+c-{4a+5b+3c)=-2a-2b-2c,

BD=AD-AB=6a+7b+5c-+5b+3c)2d+2b+2c,

所以阮=-BD,

所以說(shuō)〃麗，又B為公共點(diǎn)，

所以B,C,。三點(diǎn)共線.

3.(23-24高三上?四川成都?開學(xué)考試)在四棱柱力BCD中，D^E=kDrA,DrF=kD]B，D[G=

kDCD]H=kD1D.

A

(1)當(dāng)k=:時(shí)，試用屈，而,M表示刀;

⑵證明:E,F,G,H四點(diǎn)共面；

【解題思路】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算進(jìn)行求解；

（2）設(shè)前=4荏+伙而（尢〃不為0）,推導(dǎo)出說(shuō)=4而+〃麗，進(jìn)而證明出四點(diǎn)共面.

【解答過(guò)程】（1）四棱柱力BCD-①當(dāng)?shù)木弥?，ADi=AAl+AD,

因?yàn)閗=p

4

所以而=荏+而=工河+方了一庠=三麗+三瓦至—三q=工河+三南

444444

=-AA^+-AD+-AB；

4144

（2）設(shè)就=4同+〃而（九〃不為0）,

EG=D]G—D[E=kD]C—kDrA=kAC=k{X,AB+p.AD'）=kA.AB+k/iAD

=kA（D^B-?。?4k（取-?。?4（印-兩+4co-庠）=海+〃麗，

則麗,EG,而共面且有公共點(diǎn)E,則E,F,G,H四點(diǎn)共面.

4.（23-24高二.江蘇?課后作業(yè)）已知4B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面力外的任意一點(diǎn)。，分別根據(jù)下列

條件，判斷點(diǎn)M是否與點(diǎn)A,B,C共面：

（1）OM=±。4+±。8+±0C；

236

（2）0M=30X-0B-0C.

【解題思路】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算以及空間共面向量定理的即可判斷；

（2）利用空間向量的線性運(yùn)算以及空間共面向量定理的即可判斷.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榈?工6？+工赤+工而，

236

所以南一工市一工麗一三方=6,

236

所以三麗一物+工麗-工赤+工麗-工赤=6,

223366

可得工詢+工麗+工麗=6,所以而=-3宿—2麗，

236

所以點(diǎn)M與點(diǎn)4B,C共面.

（2）由麗=30A-0B-擊可得痂-301+OB+OC=0,

所以南-0A+0B-0A+0C-OA-O,

所以彳而+荏+前=6,所以雨=屈+前，

所以點(diǎn)M與點(diǎn)a,B,C共面.

題型2卜空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

5.(24-25高二上?湖北宜昌?期中)如圖，在三棱柱ABC—4遇1的中，AB=a,AC=b,AAr=c,點(diǎn)。滿

足葭=2DC.

⑴用2,3,1表示瓦萬(wàn)；

(2)若三棱錐&-48C的所有棱長(zhǎng)均為2,求|可磯及布?瓦萬(wàn)

【解題思路】(1)根據(jù)藍(lán)=|Z7乙瓦方=瓦B+ZT方可表示出瓦方；

(2)先確定的模長(zhǎng)以及兩兩之間的夾角，然后根據(jù)|瓦司=卜如京玉/計(jì)算出|瓦方

再根據(jù)北?瓦方=(3—0?(—2+3—10展開計(jì)算求得結(jié)果.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)镃iD=2DC,所以位=：水，

所以布=^77+亭=瓦+|京--AB+AC-^AAl=-a+b-|c.

(2)因?yàn)槿忮F4-ABC的所有棱長(zhǎng)均為2,

所以悶=同=|c|=2,所以值㈤=(b,c)=(a.,c)=p

所以d-fo=S-c=d-c=2x2x|=2,

2

2T44488

TT22T22TTTT444

-a+---a+b+-ca-c+-ac-++16--1+-

所以|瓦叫=3933933

2月

3

所以力傳?B]D=（b—c）■（一五+b—|cj=b2+|c2—a-b—j^-c+a-c=4+^—2—^+2=^.

6.（24-25高二上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，在六棱柱4底面4BCDEF是正六

邊形，設(shè)4B=a,AF=b,AA-,=c.

(1)用2,b,^分別表示魂A^C.

(2)若COSNB力A1=cosZ-FAA]^==2,AA1—4,求：

(i)中?初；

(ii)函

【解題思路】(1)連接4。，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算以2,3,5為基底表示向量即可；

(2)確定空間基底向量之9,3的模長(zhǎng)與數(shù)量積，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)分別求解中?初，|碣|(zhì)

即可得結(jié)論.

【解答過(guò)程】(1)如圖，連接4。，

BC

因?yàn)榱呅?BCDEF為正六邊形,

所以荏+而=[而，則赤=22+2及

所以=AD-AAr=2a+2b—c,ArC=ArD+DC=A1D—AF=2a+b—c；

(2)因?yàn)榱呅?BCDEF為正六邊形，所以NB4F=T，

又COSNBAA]=cosz.FAA1=^,AB=2,AA1=4,

所以=|b|=2,|c|=4,d-b=\a\■|3|cosg=—2,a-c=b-c=|d|-|c|Xi=2,

222

⑴A±C'ArD=（2a+—c）-（2a+—c）=4a+2b+c+6d-b—3b-c—4a-c

=16+8+16-12-6-8=14

（ii）因?yàn)楦?AD+~DE+JE^=AD-AB+AA^=2d+2b-d+c=d+2b+c,

2

所以|鬲|=J（a+2b+c）=后+4京+c2+4a-b+4b-c+2a-c

=<4+16+16-8+8+4=2V10.

7.（24-25高二上.四川廣安