2024-2025學(xué)年高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷（新題型：19題提高篇）含答案

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（提高篇）

【人教A版（2019）］

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填

寫在答題卡上；

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效；

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；

4.測試范圍：選擇性必修第一冊全冊、選擇性必修第二冊全冊；

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（23-24高二上.浙江寧波?期末）已知正四面體A8CD的棱長為2,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在4C上，且

AF=2FC,則荏?而=（）

525

A--3B--3COD.-

2.（5分）（23-24高二上.福建龍巖.期末）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線久-y+3=0上一動點(diǎn)，。是

圓C:（%-2）2+（y-=1上一動點(diǎn)，貝"OP|+|PQ|的最小值為（）

A.V17-1B.V17+1C.V29-1D.V29+1

3.（5分）（23-24高二上?山東青島?期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，

三三數(shù)之剩二（除以3余2）,五五數(shù)之剩三（除以5余3）,七七數(shù)之剩二（除以7余2）,問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)

相關(guān)的問題：已知正整數(shù)p滿足三三數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成數(shù)列記數(shù)列的前幾項(xiàng)和為立,則普上的最小值為（）

A.—B.—C.10D.11

22

4.（5分）（23-24高二上?河南開封?期末）設(shè)a=ln（1.2e）,b=e02,c=1.2,則a、b、c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c

5.（5分）（23-24高二上.山東青島?期末）已知橢圓C:9+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為直線y=x-日

與C交于4B兩點(diǎn)，則AFiAB的面積與AFzAB面積的比值為（）

A.3B.2C.V3D.V2

6.（5分）⑵-24高二上?江蘇南京?期末）設(shè)/（久）是定義在R上的奇函數(shù)，f⑵=0,當(dāng)％>0時(shí)，有獷'（x）-

/（%）<0恒成立，則不等式步（x）>0的解集為（）

A.（-2,0）U（0,+oo）B.（-2,0）U（0,2）

C.（-00,-2）U（2,+oo）D.（-00,-2）U（0,2）

7.（5分）（23-24高二上.貴州黔南.期末）已知點(diǎn)&,尸2分別為雙曲線C：9一《=1（b>0）的左、右

焦點(diǎn)，點(diǎn)尻到漸近線的距離為2,過點(diǎn)尸2的直線/與C的左、右兩支曲線分別交于48兩點(diǎn)，且

則下列說法正確的為（）

A.△4&尸2的面積為8

B.雙曲線C的離心率為2

C.麗?荷=10+4V3

D.上+工=生

\AF2\\BF2\2

8.（5分）（23-24高二上.北京順義.期末）如圖，在正方體4BCD—中，E是棱CD上的動點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.直線力E與B/1所成角的范圍是色小

B.直線與平面4。1口4所成角的最大值為g

C.二面角E—a/1一2的大小不確定

D.直線4E與平面不垂直

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（6分）（23-24高二上?江西九江?期末）已知正方體4BCD-&B1C1A的棱長為2,點(diǎn)E,F,G分別為棱

4￡）,48,816的中點(diǎn)，以下說法正確的是（）

A.三棱錐A-EFG的體積為］

B.直線&C_L平面EFG

C.異面直線EG與4cl所成的角的余弦值為當(dāng)

D.過點(diǎn)E,凡G作正方體的截面，所得截面的面積是2百

10.（6分）（23-24高二上?河北秦皇島?期末）已知函數(shù)/（久）=ex-ax（aER）,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)a=2時(shí),f（x）在（-8,ln2）上單調(diào)遞增

B.當(dāng)。=e時(shí)，/（x）>0在R上恒成立

C.存在a<0,使得在（-8,0）上不存在零點(diǎn)

D.對任意的a>0,f（x）有唯一的極小值

11.（6分）（23-24高二上?江蘇南通?期末）已知4（0,4）,B（-3,0）,點(diǎn)P的軌跡方程為，久2++6%+9—

+丫2—6x+9=4,貝（）

A.點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支B.直線x+y=0上存在滿足題意的點(diǎn)P

C.滿足|P4|=1的點(diǎn)P共有2個(gè)D.APAB的周長的取值范圍是［14,+8）

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（23-24高二上.四川眉山?期末）己知公差不為零的等差數(shù)列｛冊｝滿足as=10,且a3,CI9成

等比數(shù)列.設(shè)%為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)歹！J｛R｝的前n項(xiàng)和弓為.

13.（5分）（23-24高二上嚀夏銀川?期末）若函數(shù)〃>）=￡162工+9—2聲-刀有兩個(gè)零點(diǎn)，貝b的取值范

圍為.

14.（5分）（23-24高二上.北京西城.期末）如圖，在正方體ZBCD—Z/iCiDi中，48=2*為棱的中

點(diǎn)，F(xiàn)為棱CCi（含端點(diǎn)）上的一個(gè)動點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論:

①存在符合條件的點(diǎn)F,使得8/〃平面&ED；

②不存在符合條件的點(diǎn)尸，使得BF1DE；

③異面直線與EG所成角的余弦值為?；

④三棱錐尸-&DE的體積的取值范圍是［|,2］

其中所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（23-24高二下?內(nèi)蒙古赤峰?期末）已知點(diǎn)4圓心C坐標(biāo)為（1,0）,且過

點(diǎn)4的直線/被圓C截得的弦長為次.

（1）求圓C的方程;

（2）求直線［的方程.

16.（15分）（23-24高二上?江西南昌?期末）已知平行四邊形ABC。如圖甲，乙D=60。，。。=24。=2,

沿AC將△力DC折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)尸位置，且PC1BC,連接尸8得三棱錐P—4BC如圖乙.

（1）證明；P41平面ABC；

(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)使二面角"-AB-C的余弦值為答，若存在，求出黑的值；若不存在,

請說明理由.

17.(15分)(23-24高二上.河南漠河.期末)動點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，M到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)(1,0)的距離小1.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程;

(2)已知點(diǎn)P(2,0),過(1,0)的直線與E交于4B兩點(diǎn)，4P,BP分別與E交于點(diǎn)C,D.

①求證：直線CD過定點(diǎn)；

②求△PAB與△PCD面積之和的最小值.

18.(17分)(23-24高二上?浙江溫州?期末)設(shè)函數(shù)/(久)=(%-2)eax.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為y—3x+b=0,求a,b的值;

(2)若當(dāng)%>0時(shí)，恒有/(%)>-%-2,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑶設(shè)neN*時(shí)，求證：號+島+…+二七<InS+1).

19.（17分）（23-24高二上?上海?期末）已知數(shù)列｛cinXneN*）,若｛即+即+i｝為等比數(shù)列，則稱｛即｝具有

性質(zhì)P.

（1）若數(shù)列｛斷｝具有性質(zhì)P,且a】=a2=l,a3=3,求（14的值；

（2）若%=+（-1嚴(yán)，求證：數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)尸;

23

（3）設(shè)q++—cn—n+n,數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P,其中d】=1,d3-d2—c1,d2+d3=c2,若＞10,

求正整數(shù)m的取值范圍.

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（提高篇）

參考答案與試題解析

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（23-24高二上.浙江寧波?期末）已知正四面體4BCD的棱長為2,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在4c上，且

AF=2FC,則荏-OF=（）

525

A.--B.--C.0D.-

333

【解題思路】先將荏，罰分別用荏，而，而表示，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.

【解答過程】由正四面體4BCD,得乙84c=LBAD=/.CAD=60°,

則南?左=2.AB-AD2,AD-AC2,

由E是BC的中點(diǎn)，得荏=［（荏+照），

由衣=2FC,得衣=|前，

則罰=AF-AD=|尼-AD,

所以標(biāo)■DF=^（AB+AC＞）-（|ZC-AD）

=-AC-AB-AD+^AC2-AD-AC^

1

=-X--2+--20.

2,33)=

2.（5分）（23-24高二上?福建龍巖?期末）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是直線—y+3=0上一動點(diǎn)，。是

圓C:（久一2）2+（y-1）2=1上一動點(diǎn)，則|0P|+|PQ|的最小值為（）

A.V17-1B.V17+1C.V29-1D.V29+1

【解題思路】首先畫出圖形，找出點(diǎn)。關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求解.

設(shè)點(diǎn)T0n,n）與點(diǎn)。（0,0）關(guān)于直線—y+3=0對稱，

作。+3=0

則f『,解得小=-3,兀=3,即T（-3,3）,

-=-1

m

所以|OP|+\PQ\=\TP\+\PQ\>\TQ\>\TC\-r,

其中C（2,l）,r=1分別為圓C：（x-2產(chǎn)+（y-l）2=1的圓心和半徑，

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)P,Q分別與R,S重合，其中R,S分別為線段TC與直線［和圓C的交點(diǎn)，

綜上所述，|OP|+|PQ|的最小值為（|OP|+IPQDmin=\TC\-r=7（-3-2）2+（3-l）2-1=V29-1.

故選：C.

3.（5分）（23-24高二上.山東青島.期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，

三三數(shù)之剩二（除以3余2）,五五數(shù)之剩三（除以5余3）,七七數(shù)之剩二（除以7余2）,問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)

相關(guān)的問題：已知正整數(shù)p滿足三三數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成數(shù)列｛&J,記數(shù)列｛氏J的前幾項(xiàng)和為先,則過產(chǎn)的最小值為()

A.—B.—C.10D.11

22

【解題思路】由題意可分析出數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前71項(xiàng)和公式化

簡山1之，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可知最小值.

n

【解答過程】解：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為3的等差

數(shù)列｛aj

n(2+-1)

所以廝=2+3(n-1)=3n-l,Sn=^=

3n2+n,日”,r

所以包3=F+3X+7=.+Z+2,

nn22n

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：

函數(shù)f(x)=|x+T+=在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，又"為正整數(shù)，

所以最小值為|x2+""常

n2222

故選：B.

4.(5分)(23-24高二上?河南開封?期末)設(shè)a=ln(1.2e),b=e0,2,c=1.2,則a、b、c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c

【解題思路】利用函數(shù)/(%)=%—In%—1在(1,+8)上的單調(diào)性可得出Q、c的大小關(guān)系，利用函數(shù)g(%)=

眇-1-%在(1,+8)上的單調(diào)性可得出從c的大小關(guān)系，由此可得出a、b、c的大小關(guān)系.

【解答過程】令/(%)=x-Inx-1,則廣(%)=1-1=?，

當(dāng)?shù)?gt;1時(shí),尸(%)>0,則/(%)單調(diào)遞增，所以/(1.2)=1.2-lnl.2—1>f(1)=0,

即1.2>lnl.2+1=ln(1.2e),則a<c；

令g(%)=e*T_%,則g，(%)=e%T-1,當(dāng)％>1時(shí)，g'(x)>0,g(%)單調(diào)遞增,

所以g(1.2)=e0,2—1.2>g(l)=0,BPe0,2>1.2,即c<b.

綜上所述，a<c<b.

故選：A.

5.(5分)(23-24高二上?山東青島?期末)已知橢圓C:9+y2=i的左右焦點(diǎn)分別為見尸2,直線y=乂一當(dāng)

與C交于4,8兩點(diǎn)，則的面積與A&aB面積的比值為()

A.3B.2C.V3D.V2

【解題思路】將所求面積比轉(zhuǎn)化為四42的比，再利用點(diǎn)線距離公式即可得解.

【解答過程】根據(jù)題意可得a=V3,Z?=l,c=V2,.-.^(-72,0),F2(V2,0),

又直線y=x-日可化為3%—3y-V2=0,

設(shè)后,&到直線為3%-37-e=0的距離分別為

川，；-阿；一瓦一下W

z3V2

故選：B.

6.(5分)(23-24高二上?江蘇南京?期末)設(shè)/(乃是定義在R上的奇函數(shù)，/(2)=0,當(dāng)％>0時(shí)，有久尸(x)—

/(%)<0恒成立，則不等式叮(x)>0的解集為()

A.(-2,0)U(0,+oo)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-00,-2)U(2,+oo)D.(-00,-2)U(0,2)

【解題思路】設(shè)函數(shù)g(x)=竽，根據(jù)題意可知g(x)為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解不

等式即可.

【解答過程】設(shè)函數(shù)g(x)=竽可知g(x)的定義域?yàn)閧x|x豐0},

求導(dǎo)得“(久)=xf'W，

因?yàn)楫?dāng)％>0時(shí)，有x尸(x)一/(%)<0恒成立，則“(%)<0,

所以g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

且/(2)=0,可知g(2)=0,

當(dāng)%>2時(shí)，(%)<g(2)=0；當(dāng)0<%<2時(shí)，g(%)>g(2)=0；

又因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，

則9(一行="=岑=號=90),所以g(x)是偶函數(shù)，

可得：當(dāng)久<一2時(shí)，。(久)<0；當(dāng)一2<%<0時(shí)，g(%)>0；

所以不等式9(%)>0解集為(-2,0)U(0,2)；

注意到不等式燈O)>0等價(jià)于e>0,

所以不等式行0)>0解集為(—2,0)U(0,2).

故選：B.

22

7.(5分)(23-24高二上.貴州黔南.期末)已知點(diǎn)%F2分別為雙曲線C：菅一會=1(b>0)的左、右

焦點(diǎn)，點(diǎn)&到漸近線的距離為2,過點(diǎn)尸2的直線/與C的左、右兩支曲線分別交于A,B兩點(diǎn)，且

則下列說法正確的為()

A.△&6尸2的面積為8

B.雙曲線C的離心率為2

C.麗?荷=10+4舊

D上+工=四

■\AF2\\BF2\2

【解題思路】利用已知條件求出6的值，對于A：利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義求出△力的面積；對

于B：利用雙曲線的離心率公式運(yùn)算求解；對于C：先求|4&|,|461，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出出尸2|，代值計(jì)算即可.

【解答過程】設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0,因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，且a=2,

則其中一條漸近線方程為y=gx，即6久一2y=0,且F](-c,0),

則尻到漸近線的距離為儡=m=b=2,可得c=加+b2=2V2,

222

對于A：因?yàn)閨加引一|4鼻1=4且+\AF2\=\F±F2\=(2c)=32,

可得(MF2I-M&l)2+2\AFT\-\AF2\=16+2|4Fi|?\AF2\=32,解得?MF2I=8,

所以△叫尸2的面積為施&|?|伍1=4,故A錯(cuò)誤；

對于B：雙曲線C的離心率為e=￡=^=&,故B錯(cuò)誤；

a2

對于C：因?yàn)榛挢涡?；，可得產(chǎn)1￡一2，

(\AF\■\AF\=8+2

r2[\AF2\=2A/3

所以麗-BF\=F\A-F^B=F^A-(F}A+AB)=F^A2+F^A-AB=F\A2=16-8/，故C錯(cuò)誤；

對于D：設(shè)田61=小，貝!l|BFi|=m+4,|4B|=2百+2-巾，

222

因?yàn)樘锉莬2=+恒6『，gp(m+4)=(2V3+2-m)+(2V3-2),解得m=若包，

所以意+言=刀=+思亙=等'故口正確?

3

故選：D.

8.（5分）（23-24高二上?北京順義?期末）如圖，在正方體ABCD—44的。1中，￡是棱CD上的動點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.直線4E與劣劣所成角的范圍是弓弓）

B.直線￡>把與平面&D1ZM所成角的最大值為g

C.二面角E—A4-4的大小不確定

D.直線4E與平面BBiE不垂直

【解題思路】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對于A,由直線方向向量夾角余弦的范圍即可判斷；對于B,由

線面角正弦值的公式即可判斷；對于C,由兩平面的法向量夾角余弦即可判斷；對于D,由族?前=1+

a（a-1）=口2-a+l=（a—+|>0即可判斷.

【解答過程】以。為原點(diǎn)，。4。。,。。1分別為居％2軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

不妨設(shè)正方體棱長為1,E（O,a,0）,0<a<1,

對于A,71(1,0,0),E(0,a,0),B^l,1,1),(0,0,1),AE=(-l,a,0),瓦瓦=(1,1,0),

不妨設(shè)直線4E與Bi5所成角為仇

\AE-DB^\_1-a

所以cos。=\cos{AE,=r

國|瓦司—A/2(a2+l)

當(dāng)a增大時(shí)，l-a>0,，2(a2+l)>0分別減小,增大，所以cos。=彳4^關(guān)于a單調(diào)遞減,

V2(a2+1)

所以c°s”—e[。,用,所以oe圖,故A錯(cuò)誤；

對于B,由題意庠=(0,a,-1),且顯然平面A/的法向量為元=(0,1,0),

不妨設(shè)直線/E與平面所成角為a,

則sina=|cos(n,￡)iE)|怔,瓦同a白==/(a),(a中0)單調(diào)遞增，/(0)=0,

|科用Va2+1Jl+a

所以(sina)max=西餐=/，所以a=%故B錯(cuò)誤;

對于CE(0,a,0)4(1。。81cL,1,1),4(L0,0)，

所以;=(0,1,0),硬=(一1,%—1),取=(0,0,—1),

不妨設(shè)平面E//1與平面4/1/的法向量分別為4=底=(%2，y2，Z2)，

所以有1I7-0和1,令%1=1=%2,解得yi=O,Z1=—1,丫2=Z2=0,

(一久]十ciy1-Z]一u\~~^2——u

即取平面E4/1與平面的法向量分別為元=(1,0,—1),荻=(1,0,0),

二面角E-A/i為銳角，不妨設(shè)為名,

則cos。=|cos(E砌=需繇=美=爭

所以二面角后一久%一4的大小為%=；,故C錯(cuò)誤；

對于D,AE=(-l,a,0),BE=(-l,a-1,0),

2

所以4E,BE=1+a(a—1)=a?—a+1=(a—萬)+[>(),

所以力E與BE不垂直，所以直線4E與平面BBiE不垂直.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(23-24高二上?江西九江?期末)已知正方體力BCD的棱長為2,點(diǎn)E,F,G分別為棱

4￡),48,BiG的中點(diǎn)，以下說法正確的是()

3G

A.三棱錐A-EFG的體積為]

B.直線4C_L平面EFG

C.異面直線EG與AR所成的角的余弦值為苧

D.過點(diǎn)E,凡G作正方體的截面，所得截面的面積是28

【解題思路】A選項(xiàng)按照錐體體積計(jì)算即可；BC選項(xiàng)通過建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量判斷;

D選項(xiàng)先判斷出截面，再計(jì)算面積即可.

【解答過程】對于A,在正方體2BCD-4/前%中，易知BiCJ/BC,

所以G到底面力BCO的距離等價(jià)于反到底面4BCD的距離，即=2,

所以Kl-EFG=^G-AEF=弓"^AAEF'BB]=-X-XlXlX2=-,故A正確；

對于B,以D4為無軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,2,0),4式2,0,2),￡(1,0,0),F(2,l,0),G(l,2,2),4(2,0,0),

貝!］碇=(-2,2,-2),而=(1,1,0),EG=(0,2,2),

故碇?麗=0,中?方=0,則中是平面EFG的一個(gè)法向量,

則&C_L平面EFG,故B正確；

對于C,~EF=(1,1,0),AG=(-1,2,2),

則|c網(wǎng)甌祠|=睛=室=去故C錯(cuò)誤；

對于D,作GA中點(diǎn)N,BB1的中點(diǎn)M,DD1的中點(diǎn)T,連接GN,GM,FM,TN,ET,

則正六邊形EFMGNT為對應(yīng)截面面積，正六邊形邊長為企,

則截面面積為S=6XfX(V2)2=3V3,故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

10.(6分)(23-24高二上?河北秦皇島?期末)已知函數(shù)/(久)=ex-ax(aER),則下列說法正確的是()

A.當(dāng)a=2時(shí),/'(%)在(-8,ln2)上單調(diào)遞增

B.當(dāng)。=e時(shí)，/(x)>0在R上恒成立

C.存在a<0,使得在(-8,0)上不存在零點(diǎn)

D.對任意的a>0,f(x)有唯一的極小值

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理逐項(xiàng)判斷即得.

【解答過程】對于A,當(dāng)a=2時(shí)，/(%)=ex-2x,求導(dǎo)得尸(x)=e"-2,由f'(%)<0,

得x<ln2,則f(x)在(-8,ln2)上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)a=e時(shí),f(x)=ex—ex,求導(dǎo)得廣(x)=e*—e,由尸(x)<0,得久<1,

由廣(久)>0,得x>l,則/(x)在(一8,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，f(x)min=/(I)=0,B正確；

對于C,當(dāng)a<0時(shí)，/(%)=ex—ax,/'(x)=e*—a>0,/(x)在R上為單調(diào)遞增，

又f(0)=l,〃*=￡-1<0,則門>)在(-8,0)上一定存在零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)a>0時(shí)，/(%)=ex—ax,由尸(%)=ex—a>0,得%>Ina,/'(%)<0,得％<Ina,

則/(%)在(-8/na)上遞減，在(Ina,+8)上遞增，/(%)有唯一的極小值，D正確.

故選：BD.

11.(6分)(23-24高二上?江蘇南通?期末)已知4(0,4),8(-3,0),點(diǎn)P的軌跡方程為次存產(chǎn)不藐運(yùn)一

+y2—6%+9=4,貝1()

A.點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支B.直線X+y=0上存在滿足題意的點(diǎn)P

C.滿足|P4|=1的點(diǎn)P共有2個(gè)D.AP2B的周長的取值范圍是［14,+8)

【解題思路】由題意可得點(diǎn)P的軌跡方程為J(x+3)2+y2—收一3)2+產(chǎn)=4,設(shè)6(-3,0),F2(3,0),則

iPFil-\PF2\=4<IF/2I，再根據(jù)雙曲線的定義與性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡方程為+y2+6x+9—J-2+y2一+9=4,

即+3)2+y2__3)2+y2=4,

設(shè)Fl(―3,0)/2(3,0),

則|PFil-|P&I=4<|F/2］,

所以點(diǎn)P的軌跡是以&尸2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支，

所以2a=4,2c—6,故a—2,c—3,b2—5,

22

所以P的軌跡方程為=1(久22),故A正確；

45

聯(lián)立(45,解得％=2v5(%=—2西舍去)，

I%+y=0

所以直線久+y=0上存在滿足題意的點(diǎn)P,故B正確；

雙曲線?！猼=1022)的漸近線方程為y=土半x,

452

則點(diǎn)2(0,4)到漸近線y=小的距離d=

所以滿足IP*=《的點(diǎn)P共有0個(gè)，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?(-3,0)即左焦點(diǎn)尸2(-3,0),

而|4B|=V9+16=5,\AF2\=V9+16=5,

因?yàn)镮PFil-IPF2I=4,所以［PF/=\PF2\+4,

所以AP4以的周長為|2B|+\AP\+\PB\=5+\AP\+\PFr\

=5+\AP\+|PF2|+4>9+\AF2\=9+5=14,

當(dāng)且僅當(dāng)4P,Fz三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，

所以APAB的周長的取值范圍是［14,+8),故D正確.

故選：ABD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(23-24高二上.四川眉山?期末)已知公差不為零的等差數(shù)列｛%J滿足as=10,且的，。3,成

等比數(shù)列.設(shè)%為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，則數(shù)列,｝的前幾項(xiàng)和列為士.

【解題思路】設(shè)公差為d,由題意可得(由+2d尸=%(%+8d),&5=。1+4弓=10,解方程求出由,/由

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前幾項(xiàng)和求出即，Sn,再由裂項(xiàng)相消法求出

【解答過程】設(shè)公差為d,由他2=aia9,得(%+2d尸=的31+8d),

化簡得ci?=ard,因?yàn)閐W0,%=d,

又因?yàn)榈?%+4d=10,所以的=d=2

所以an=%+(ri—l)d=2+2(n-1)=2Tl.

所以2=二一=」一=i--,

2

Snn+nn(n+l)nn+1

所以數(shù)歹W2｝的前n項(xiàng)和%為：

n22334nn+1n+1n+l

故答案為：

n+1

13.(5分)(23-24高二上?寧夏銀川?期末)若函數(shù)/(%)=ae2x+(a-2)ex一％有兩個(gè)零點(diǎn)，貝b的取值范

圍為91).

【解題思路】求導(dǎo)，先根據(jù)函數(shù)不能使單調(diào)函數(shù)排除a<0,再當(dāng)a>0時(shí)，求出函數(shù)的極小值，令極小值小

于零即可求出a的取值范圍.

【解答過程】由/(%)=ae2x+(a-2)ex-%得

f'G)=2ae2x+(a-2)ex—1=(aex—l)(2ex+1),

當(dāng)a40時(shí)，/;(%)<0,/(%)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；

當(dāng)a>。時(shí)，當(dāng)尸(%)<0時(shí)，x<—Ina,當(dāng)廣(工)>0時(shí)，x>—Ina,

即/(%)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增,

則f(―Ina)=ae-21na+(a-2)e-lna+Ina<0,

整理得Ina—工+1<0,

a

設(shè)g(a)=Ina——+1,則g'(a)=%++>。，

故g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又g(a)<0=g(l),

所以0<a<1,

又f(-1)=ae-2+(a-2)e-1+1=―俗?*=a+e*-2)>。，

ezez

所以/(%)在(—L—lna)上有一個(gè)零點(diǎn)，

取久°>InQ—1^,

2Xxxxx

則f(%o)=CLG°+(a—2)e°—x0=e°(ae°+a—2)—x0>e°+a—2)—工。

x

=e°—x0>0,

因?yàn)镮n(：—1)>ln1=—Ina,

所以/(%)在blna,ln(|-1))上有一個(gè)零點(diǎn)，

即0VaV1時(shí)，函數(shù)f(%)=ae2x+(a—2)ex—久有兩個(gè)零點(diǎn).

下面補(bǔ)充證明：ex—%>0,

設(shè)g(%)=ex—%>0,則g'(%)=ex—1,

當(dāng)久>0時(shí)"(%)>0,g(%)單調(diào)遞增，當(dāng)％<0時(shí)“(%)V0,g(%)單調(diào)遞減，

所以9(%)min=g(o)=1>o,

所以e%—%>0.

故答案為：(0,1).

14.(5分)(23-24高二上?北京西城?期末)如圖，在正方體ZBCD—Z/iCiDi中，A8=2*為棱的中

點(diǎn)，產(chǎn)為棱CC1(含端點(diǎn))上的一個(gè)動點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在符合條件的點(diǎn)F,使得8/〃平面4ED；

②不存在符合條件的點(diǎn)F,使得BF1DE；

③異面直線與EG所成角的余弦值為g；

④三棱錐尸-&DE的體積的取值范圍是[|,21.

其中所有正確結(jié)論的序號是①②④.

【解題思路】利用線面平行的判定定理可知當(dāng)尸與C點(diǎn)重合時(shí)，能滿足當(dāng)F〃平面&ED,即①正確；建立空

間坐標(biāo)系，假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)F(2,2")并利用垂直的向量表示可得t=4,不滿足題意，即②正確；利用

空間向量可求得異面直線&。與EQ所成角的余弦值為答，即③錯(cuò)誤；易知44?！甑拿娣e為4&g=3,由

空間向量求出點(diǎn)尸到平面&DE的距離為de[|,2],即可得④正確.

【解答過程】對于①，易知B1C7/4。，^母仁平面4初)，41。＜=平面4止。，

所以可得BiC〃平面&ED,

又尸為棱CQ(含端點(diǎn))上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)，能滿足&F〃平面&ED,即①正確；

對于②，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,0,0),0(0,2,0),E(2,0,1),假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)F(2,2,t),te[0,2]滿足8尸1DE；

則易知麗=(0,2,t),DE=(2,-2,1),

由BF1DE可得麗?癥=-4+t=0,解得t=4,不滿足題意，舍去；

所以不存在符合條件的點(diǎn)F,使得即②正確；

對于③，易知4(0,0,2),G(2,2,2),可得卡=(0,2,—2),鬲=(0,2,1),

所以cos(硒,=察，

即異面直線4D與EC1所成角的余弦值為察，即③錯(cuò)誤;

對于④，易知&D=2y[2,ArE=?DE=3,

由余弦定理可得cosNE你=煮氤=魯sin?］。=*

所以Aa/E的面積為S-mE=1X2>/2XV5X=3,

設(shè)平面&DE的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

由尻=(2,-2,1),項(xiàng)=(。2—2)可得［吧;2x-2y+z=。，

令y=2,則久=l,z=2,即記=(1,2,2)；

又9=(2,0,t),所以點(diǎn)F到平面&DE的距離為d=寄=厘=等,

由te［0,2］可得d=告^e［|,2］

可得三棱錐F-&DE的體積U=況&DE-d=［x3xd=d,

因此可得三棱錐尸-&DE的體積的取值范圍是［|,2］,即④正確.

故答案為：①②④.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(23-24高二下.內(nèi)蒙古赤峰?期末)己知點(diǎn)力&寺為圓C上的一點(diǎn)，圓心C坐標(biāo)為(1,0),且過

點(diǎn)a的直線1被圓c截得的弦長為舊.

(D求圓c的方程；

(2)求直線［的方程.

【解題思路】(1)根據(jù)題意求出r=￡川，從而可求出圓的方程；

(2)根據(jù)已知條件求出圓心C到直線［的距離，然后分直線2的斜率不存在和直線I的斜率存在兩種情況討論

求解即可.

【解答過程】(1)設(shè)圓C的半徑為r,則「=的-1)2+住-o'=1，

則圓C的方程為：(x-l)2+y2=l；

(2)因?yàn)閳AC的半徑為1,

所以當(dāng)直線/與圓相交所得的弦長為舊時(shí)，圓心C到直線1的距離為J12一('=5

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，直線1:久=點(diǎn)此時(shí)圓心C到直線/的距離為%滿足題意

當(dāng)直線Z的斜率存在時(shí)，設(shè)直線±y—k(x—|),即2kc—2y+B—k=0①.

12/c+O+V^—之|1V3

則―解得％=-

V(2fc)2+(-2)223

代入①得：%+V3y-2=0

綜上，直線2的方程為x=2或x+V^y-2=0.

16.（15分）（23-24高二上?江西南昌?期末）已知平行四邊形ABC。如圖甲，z￡>=60°,DC=2AD=2,

沿AC將△4DC折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸位置，且PC1BC,連接P8得二棱錐P-4BC如圖乙.

（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使二面角M-AB-C的余弦值為譽(yù)，若存在，求出翳的值；若不存在，

請說明理由.

【解題思路】（1）推導(dǎo)出P414C,證明出BC_L平面P4B,可得出P41BC,利用線面垂直的判定定理可

證得結(jié)論成立；

（2）以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，品、AC,通的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)由=XPC,

其中0V2VL利用空間向量法可得出關(guān)于4的等式，結(jié)合0W4W1求出4的值，即可得出結(jié)論.

【解答過程】（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅?8CD為平行四邊形，ND=60。，則NB=60。，

因?yàn)镈C=2AD=2,貝U4B=DC=2,BC=AD=1,

由余弦定理可得AC?=AB2+BC2_2AB,BCCOSLB=4+l-2x2xlx|=3,

所以，AC2+BC2=AB2,貝UBC14C,同理可證力DIAC,

翻折后，則有BC14C,PA].AC,

因?yàn)镻C18C,ACCtPC=C,AC,PCu平面PAC,

所以，BC_L平面P4C,

因?yàn)镻Au平面P4C,則PA1BC,

因?yàn)榱nBC=C,AC,BCu平面ABC,所以，P41平面ABC,

(2)因?yàn)?4,平面ABC,BC1AC,以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，

BC.AC.Q的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0)、尸(0,0,1)、C(0,V3,0)>5(-1,V3,0),

設(shè)兩=XPC=Z(0,A/3,-1)=(0,V32,-A),其中0W2W1,

則前=AP+PM=(0,0,1)+(0,V3A,-A)=(0,V3A,1-A),AB=(-l,V3,0),

設(shè)平面力BM的法向量為記=(x,y,z),

則(受屈二r+By=。,取廣"1,貝反=百九X=V3(1-A),

(m-AM^gy+(1-2)z=0

所以，in=(73(2-1),2-1,732),

易知平面4BC的一個(gè)法向量為元=(0,0,1),

則Icos保㈤|=禺=同黑』=膏，整理可得9於=("1產(chǎn)

因?yàn)?SAW1,解得4=工，

4

因此，線段PC上存在點(diǎn)M,使二面角M-48-C的余弦值為魯，且儲=：.

17.(15分)(23-24高二上?河南瀑河?期末)動點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，"到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)(1,0)的距離小1.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；

⑵已知點(diǎn)尸(2,0),過(1,0)的直線與E交于4B兩點(diǎn)，AP,BP分別與E交于點(diǎn)C,D.

①求證：直線CD過定點(diǎn)；

②求△248與4PCD面積之和的最小值.

【解題思路】(1)利用幾何意義轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，即可得拋物線方程；

(2)①利用直線過x軸上的已知點(diǎn)，與拋物線聯(lián)立方程組的兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，再假設(shè)直線CD方

程，再利用兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，得到定點(diǎn)坐標(biāo)；

②求這兩個(gè)三角形的面積時(shí)，都只需要用到它們的縱坐標(biāo)，然后都轉(zhuǎn)化到4B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)上來，再利用韋

達(dá)定理把面積轉(zhuǎn)化到關(guān)于系數(shù)巾的函數(shù)上來求解最值即可.

【解答過程】(1)設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),

由動點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，M到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)(1,0)的距離小1,

可得：X--I)2+y2-1,移項(xiàng)平方得：(X+1)2=(X-1)2+y2,

整理得：y2=4x,

所以動點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4%；

①設(shè)過點(diǎn)F(l,0)的直線為my=x-1,與拋物線y2=4x聯(lián)立方程組，

消x得：y2-4my-4=0,再設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)401,%),8(>2,'2)，則為為=一4,

設(shè)過點(diǎn)P(2,0)的直線4P為ty=x-2,與拋物線y2=4x聯(lián)立方程組，

消x得：y2-4ty-8=0,再設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)a(%i，yi),。(%3，%)，則月乃=一8,

設(shè)過點(diǎn)P(2,0)的直線BP為sy=x-2,與拋物線y2=4x聯(lián)立方程組，

消x得：y2-4sy-8=0,再設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)B(久2，%)，。(/，媽)，則，2"=-8,

設(shè)直線CD為ay=x-b,與拋物線y?=4萬聯(lián)立方程組，

消萬得：y2-4ay-46=0,由交點(diǎn)坐標(biāo)C(>3，y3)，D(X4，y4)，則y3y4=-4b,

而y3y4="2"=出3=一16,即—46=-16,解得b=4,

所以直線CO為ay=第一4,即直線CO過定點(diǎn)(4,0)；

尸28與4尸CD面積之和為：x1,|月一月1+[X2,|、3—yj=—丫21+2,白一

2

=|lyi-y2l(1+16-|^|)=|V16m+16(l+10,

當(dāng)m=0時(shí)，即4B垂直于x軸時(shí)，面積之和取到最小值10.

18.(17分)(23-24高二上?浙江溫州?期末)設(shè)函數(shù)/O)=(久—2)eax.

(1)若曲線y=/O)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為y-3久+b=0,求a,6的值；

(2)若當(dāng)x>0時(shí)，恒有/0)>一萬一2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)設(shè)?N*時(shí)，求證：是+舟+…+高看<ln(7i+l)-

【解題思路】(1)求導(dǎo)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解；

(2)構(gòu)建g(%)=/(%)+%+2,由題意可知：當(dāng)％>0時(shí)，恒有g(shù)(%)>0,且g(0)=0,結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)分析

求解；

(3)由(2)可知：當(dāng)a<l,x>0時(shí)，(%—2)eax+%+2>0,令a=1,t=可得^~7<Int,再令力=匕,

l+tzn

可得<ln(n+1)—Inn,利用累加法分析證明?

nz+(n4-l)z

【解答過程】(1)因?yàn)?(%)=(%—2)e”,則尸(%)=