2024-2025學年九年級數(shù)學上學期第三次月考卷（滬教版九年級上冊全部）

2024-2025學年九年級數(shù)學上學期第三次月考卷（滬

教版）

（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：滬教版，第14章相似三角形40%、第15章銳角的三角比20%、第16章二次函數(shù)

40%□

5.難度系數(shù):0.69o

第一部分（選擇題共24分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求的）

1.如果一幅地圖的比例尺為1:50000,那么實際距離是3千米的兩地在地圖上的圖距是（）

A.6厘米B.15厘米C.60厘米D.150厘米

【答案】A

【詳解】解：???比例尺為1:50000,實際距離是3千米，

...圖上距離=300000x（1:50000）=6cm,

故選：A.

2.如圖，在△4BC中，ZC=90°,48=13,BC=5,貝！JsinN的值是（）

B

512

C.—D.

1313

【答案】C

【詳解】解：.??48=13,BC=5,

故答案為：c.

二次函數(shù)y=2-(x+l)2圖象的頂點坐標是(

A.(2,1)B.(2,-1)。，2)D.(-1,2)

【答案】D

【詳解】解：,??拋物線的解析式為y=2-(x+l『=_(尤+巾+2,

???二次函數(shù)圖象的頂點為(T，2).

故選：D.

4.將二次函數(shù)y=(x+l)2-2的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度得到的二次函數(shù)解析

式是()

2

A.y=(久—1)2—5B.y=(x-l)+1

22

C.y=(x+3)+lD.y=(x+3)-5

【答案】D

【詳解】解：二次函數(shù)y=(x+l)2-2的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度得到的二次

函數(shù)解析式是y=(x+l+2)2-2-3,即y=(x+3)2-5,

故選D

5.已知3=-23,那么下列判斷錯誤的是()

A.問=2同B.2a+b=0C.b//aD.b

【答案】B

【詳解】解：A.v[)=—2a>

.?2與3是方向相反的向量，且向量B的長度為向量N長度的2倍，

.胴=2同，故該選項判斷正確，不符合題意；

B.由石=-23得到則2@+B=6,故該選項判斷錯誤，符合題意；

C.由3=-23得到分〃I，故該選項判斷正確，不符合題意；

D.由否=一2,得到卜|=2同，則3片。故該選項判斷正確，不符合題意;

故選:B.

6.如圖，在A48C中，AD18C,點。為垂足，為了證明N8/C=90。，以下添加的等積式中，正確的有（）

①AD?=BD.CD?AB?CD=AC,AD?AC2=BC?CD@AB2=AC'BD

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】解：@--ADLBC,

山DC=UDB=90°,

-■AD2=BD?CD,

...-A-D=--C-D,

BDAD

：.AADC~ABDA,

??2DAC二乙4BD,

???^ABD+乙BAD=乙DAC+乙BAD=90°,

即乙%090°,

故①符合題意；

ABAD

,獲一而‘

??,乙1DB=/LADC=9O°,

：,AABD?ACAD,

???乙4BD=乙CAD,

-.^BAD+^CAD=90°f

.-.Z^C=90°,

故②符合題意；

③,??AC?=BC?CD,

ACCD

?,瓦一工'

??,乙ACD=乙BCA,

：.AACD-ABCA,

；.UDC=LBAC=90°,

故③符合題意；

④由48?=/C?AD不能證明△N8C與相似,

故④不符合題意；

故選：C.

第二部分（非選擇題共126分）

二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，滿分48分）

7.若》=（加-2）物+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則加=.

【答案】-2

【詳解】解：???函數(shù)y=（功-2）1+1是二次函數(shù),

jm-2^0

"||m|=2'

解得：m=—2,

故答案為：-2.

8.二次函數(shù)夕=2/+5》-1的圖像與y軸的交點坐標為

【答案】（0,：）

【詳解】解：,?,>=2x?+5x-l,當x=0時，y=-l,

.?.二次函數(shù)7=2/+5》-1的圖象與y軸交點坐標是（0,⑴.

故答案為：（0,-1）.

9.已知在△ABC中，M是中線，G是重心，如果GD=3cm,那么NG=cm.

【答案】6

ADoAD9

【詳解】解：由題意可知==,，即一二=:,

GD131

???AD=6cm.

故答案為：6.

10.在RtZ^48C中，ZC=90°,/B=a,AB=2,那么8C=.（結(jié)果用々的銳角三角函數(shù)表示）

【答案】2cosa

【詳解】解：在RtAi/BC中，ZC=90°,/B=a,AB=2,

：.BC=AB?cosB=2cosa,

故答案為：2cosa.

11.如圖，正五角星中包含了許多黃金三角形，許多線段之間構(gòu)成了黃金比，如點C是線段3的黃金分割

點（月C>CD）.已知3c=（后-1）厘米，那么/C=____厘米.

【詳解】解：：五角星是正五角星，

；.CD=8C=（石-1）厘米，

???C是線段AD的黃金分割點（/C>CD）,

,CDVS—1ynA/5_1_\/5-1

"~AC~2AC~2,

解得/C=2厘米.

故答案為：2.

12.如圖，已知，M是△ABC的中線，E是40的中點，則力尸:尸C=

【答案】1：2

【詳解】解：過點D作DH〃B尸交4c于H,

A

F

BDC

nlCDCHAFAE

DBHFFHED

?.?ND是△NBC的中線，E是40的中點,

BD=DC,AE=ED,

CH=HF,AF=FH

:.AF:FC=1:2.

故答案為：1:2.

13.如圖，在△4BC中，點。為48上的點，AD=3,AB=5,CD=25NACD=NB,則BC=

【詳解】解：???ND4c=/CAB,ZACD=NB,

.-.AACD^AABC

ACADCD

???AD=3,AB=5,CD=273,

,AC32A/3

"~~^4C~^C

???AC=A，BC=l45,

故答案為：2Vs.

14.如圖，E是平行四邊形48co的邊胡延長線上的一點，CE交出于點尸，交加于點G,

AE\AB=\\2,設(shè)初=",BC=b.用向量2、B分別表示向量函=.

E

FD

y/i

3-7-

【答案]

【詳解】解：r/EdBul：2,BA=a>

一3-

BE=—a,

2

^JC+CE=BE^BC=b,

—?3--

.*.CE=—ci—b,

2

,??四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,

???CD//EB,

???ABEGS^DCG,

.?.EG:CG=EB:CD=3:2,

GC:EC=2:5,

：.CG=-CE=-（-a-b]=-a--b

55（2J55

15.已知點4（孫必）和名）是拋物線尸2（x—3『+5上的兩點，如果再>々>4,那么必y2.（填

〃>〃、〃=〃或〃<〃）

【答案】〉

【詳解】解：?.?0=2（工-3）2+5,

a=2>0,

拋物線開口向上，

???拋物線產(chǎn)2（%-3）2+5對稱軸為直線工=3,

???xt>x2>4,

答案為：＞

16.如圖，矩形DE/G的一邊G廠在A43C的邊BC上，D、E分別在帥、AC±,AHLBC交DE于M,

DG：DE=1:2,BC=12cm,AH=8cm,則DE的長cm.

?.?四邊形。EFG是矩形，

DEIIBC,

△ADEsAABC,

?：4HLBC交DE于M,

二四邊形是矩形，

:.DG=MH=x,

,/AH-Scm,

/.AM=AH-MH=S-x,

vAM,4打分另|J是△ADE,△ABC的對應(yīng)高，

.DEAM

一~BC~AH"

.2x_8-x

??一，

128

24

解得：x=—f

48

二.DE=2x=——cm.

7

48

故答案為

17.如圖，邊長分別為5,3,2的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上，則圖中陰影部分的

面積為

【答案吟

【詳解】解：如圖,

根據(jù)題意，￡77=2,EF=CE=CG=GF=3,AB=BC=5,

NTEH=ZKCH=ZABH=ZF=ZFGC=90°,CG//EF,

???陰影部分是直角梯形，

又“/THE=4KHe=ZAHB,

^THE^AHB,LKHC^LAHB,

TEEHCKCH

"AB一麗’~AB~~BH，

TE2CK2+3

n即n一=---------，一=----------，

52+3+552+3+5

解得ZE=1,CK=-,

2

：.GK=CG~CK=,FT=EF-TE=3—\=2,

22

e1(1e)e15

=X+23=，

???S陰影2[2JXT

故答案為：—.

4

18.二次函數(shù)>=依2+樂+。的圖象如圖所示，頂點坐標(1,2),且關(guān)于x的一元二次方程"=0

沒有實數(shù)根，有下列結(jié)論：①4ac<〃；@abc>0；③〃?>2；④點尸(也〃)是拋物線上任意一點，則

m(am+b)<a+b,其中，正確的結(jié)論是

【答案】①③④

【詳解】解：???拋物線與X軸有兩個交點，則△=〃-4ac>0,

??.4ac</故①正確；

根據(jù)題意可得：a<0,。>0,

??,頂點坐標(1,2),

._±=1

2a'

??.b=-2a>0,

.?.而c<0故②錯誤；

由關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數(shù)根，可知，

???拋物線>=如2+法+。圖象與>=機的圖象沒有交點，則加>2,故③正確；

???頂點坐標(1,2),

二當％=1是，，有最大值y=axl?+6xl+c=。+6+c,

點P(m,n)是拋物線y=+法+(?上任意一點，

???am2+bm+c<a+b+c，

m(am+b)<a+b,故④正確.

故答案為：①③④.

三、解答題(本大題共7小題，滿分78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(10分)計算：^(l-cotSO0)--2sin45°+(cos450)+

tan600-V2

【詳解］解：J(l-cot30°)2-2sin45o+(cos45o)°+--------

tan60c，-亞

=J(1-V3)2-2x^+1+1

...................................2分

'2V3-V2

=(V3-1)-V2+1+V3+V2

=V3-1-V2+1+V3+V2...................................6分

=26...................................10分

20.(10分)如圖，在A/BC中，AC=45,BC=^3,cosA=—,點。在8C邊上，且CD=2AD,

5

DEIAB,垂足為E,聯(lián)結(jié)CE.

⑴求線段N3的長；

⑵求/CEZ的正切值.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作CFL/8于點尸,

5AC

AF=1

???CF=dAC?-AF?=2

在RtABCF中，F(xiàn)B=sJCB2-CF2=V13-4=3>

.-.AB=AF+FB^l+3=4,...................................5分

(2)-:CD=2BD,5C=V13,

：-BD^-CB=—

33

■:FB=3,CB=5

?EBFB33V13

???cosB=-----==—j==-------

DBCBV1313

BE=DB,cosB=叵義坦=1,

313

:.EF=2

又?.?C尸=2,CFVAB

tanZ.CEA=tanZCEF==1...................................10分

EF

21.(10分)如圖，在平行四邊形4BC。中，對角線/C、3。相交于點O,E為邊4B上一點，且

BE=2AE.設(shè)方=扇屈=3.

(1)填空：用向量的式子表示向量瓦=；

(2)如果點尸是線段。c的中點，那么用向量的線性組合表示向量而=,并在圖中畫出向量而在

向量運和而方向上的分向量.

【詳解】(1)解：BE=2AE,

AE=-AB,

3

???14B=a，

AE=—3,

3

??,屈=B，

:.DE=DA+AE=-b+^a9...................................5分

(2)解：,?,四邊形ZBCO是平行四邊形，對角線/C、5。相交于點。，點尸是線段OC的中點，

113

/.AF=AO+OF=-AC+-AC=-AC,

244

\-AC=AB+BC=a+b，

—-3--3(—\33f

/.AF=-AC=-[a+b\=-a+-b,

44V/44

—?—?―?133-53—

:.EF=EA+AF=一一a+-a+-b=—a+-b,

344124

如圖，過E作/。的平行線，過尸作W〃/3交與過E作/￡)的平行線交于點過F作FN〃EM交AB

于N,

二向量正在向量篇和力方向上的分向量分別為：EM>EN>如圖所示：

..................10分

22.(10分)某數(shù)學興趣小組在暑假開展社會實踐活動，銷售某品牌書包，平均每天可以銷售20個，每個

盈利12元，為了擴大銷售，增加盈利，該小組決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每個書包每降

價1元，平均每天可以多賣5個.

⑴若每個書包降價x元，則可多賣個，每個盈利元；

(2)若該興趣小組同學想要一天盈利300元，每個書包應(yīng)降價多少元；

⑶該興趣小組同學想要一天盈利最大，應(yīng)降價多少元，所得最大利潤是多少元？

【詳解】(1)解：若每個書包降價x元，則可多賣5x個，每個盈利(12-x)元；

故答案為：5x,(12-x)；..................2分

(2)設(shè)每個書包降價x元，可盈利300元，

貝！J(12-x)(20+5x)=300,

解得：再=2(舍去)，%2=6,

,每個書包降價6元；.................4分

(3)設(shè)每個書包降價x元，最大利潤為了元，

貝[]y=(12-x)(20+5x)

=—5x"+40x+240，

=-5(x2-8x+16-16)+240

=-5(X-4)2+320,

二當x=4時，了有最大值，最大值為320；

答：當降價4元時利潤最大，最大利潤為320元..................4分

23.(12分)已知：如圖，在梯形4BCD中，AD//BC,點M在邊3c上，且ZMDB=ZADB,

BD2=ADBC.

(1)求證：BM=CM；

⑵作5￡，0以，垂足為點￡,并交⑺于點?求證：2ADDM=DFDC.

【詳解】(1)證明：ABLBC,ZMDB=AADB.

ZADB=ZDBC=ZMDB,ZA=90°f

BM=DM,

-口口ADBD

又,/BD9=AD?BC，即——————，

BDBC

AADB^ADBC,

/./BDC=NA=90。,

/.ZC=ZMDC=90°-ZDBC,

DM=CM,

/.BM=CM,...................................6分

(2)證明：如圖，

ZMDC+ZDFB=90°

/DFB=ZDBC,

二.Rt八DFBsRt八DBC,

.BDDC

'~DF~~BD'

DF-DC=BD2

■：BD2=AD-BC=AD，(2DM)=2AD-DM,

2AD>DM=DF>DC....................................12分

24.（12分）如圖，已知拋物線y=f2-2x+3與x軸交于/、3兩點（點/在點2的左側(cè)），與y軸交于點

（1）求點/、B,C的坐標；

⑵拋物線的對稱軸/與x軸的交點為。，連接4C,在拋物線上是否存在點￡、F（點、E、/關(guān)于直線/對稱,

且E在點尸左側(cè)），使得以「、￡、尸為頂點的三角形與△/0C相似，若存在，求出點E的坐標，若不存在,

請說明理由.

2

【詳解】（]）解：在>=---2》+3中，令y=0,-x-2x+3=0,

解得占=-3,x2=1,

點/的坐標為（-3,0）,點8的坐標為。,0）,

在y=-Y-2x+3中，令x=0,y=3,

???點C的坐標為（0,3）；...................................4分

（2）解；存在，由了=-/_2工+3=-（》+1）2+4知拋物線的對稱軸/為直線》=-1,

.?.點。的坐標為

?.?/（一3,0）,C（0,3）,

OA=OC=3,

：.△NOC是以NC為斜邊的等腰直角三角形，

/CMC=45°,

如圖，設(shè)好交/于點G,

?:點、E,尸關(guān)于直線/對稱，

DF=DE,

"：AEDF~AAOC,

則NEZW=90°,/DEF=45°,

/.DG=FG....................................8分

分兩種情況討論：

當點E在x軸上方時，設(shè)?的橫坐標為〃（“<-1）,

則E[G]=—1—”,Z）G]=E[G]=—1—〃，E]（—1—,

將其代入y=-x°-2x+3中，得-1-〃=-/-2〃+3,

解得〃土姮，Z1+V17（舍去），

122

—1—Jl7—1+J17

耳

2-，-2

當點￡在％軸下方時，設(shè)石2的橫坐標為〃5<T），則與G2=-l-〃，DG2=E2G2=-l-n,

：.4(%1+〃)，

將其代入>=-工2-2x+3中，得1+〃=-/-2〃+3,

解得〃土姮，巧=上姮(舍去)，

122

.F(-3_后-1-M1

■■\-2-'-2-y

綜上所述，在拋物線上存在點E、F（.點、E、/關(guān)于直線/對稱，且E在點尸左側(cè)），使得以。、E、尸為頂

點的三角形與A/OC相似，

...點E的坐標為回

12分

25.（14分）已知矩形Z8CD中，AB=6,BC=8,尸是邊3上一點，將A/8尸沿直線AP翻折，使點A落

在點E處，連接。E,直線。E與射線CB交于點尸.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當點尸在邊8C上，若PD=8尸時，求北的長;

(2)若射線/E交5C的延長線于點。，設(shè)/尸=x,QC=y,求歹與x的函數(shù)解析式，并寫出x定義域;

(3)①如圖2,直線DE與邊交于點G,若與ABEG相似，求//EG的正切值；

②如圖3,當直線DE與AP的延長線交于點若AAPE和面積相等，請直接寫出?！ǖ拈L.

【詳解】([)解：如圖，?.?在矩形/3CO中，AD//BC,且PD=BF,

二四邊形BFDP為平行四邊形，

PB//DF,

Zl=Z3,-2=)4,

由翻折知，Zl=Z2,AP=PE,

：./3=/4,

PE=PD,

...PE=PD=AP=L