2024-2025學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：線段和差問題的2種處理方法（解析版）

專題08線段和差問題的2種處理方法

目錄

解題知識(shí)必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................3

類型一、等量代換法..............................................................3

類型二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法..............................................................8

壓軸能力測(cè)評(píng)...................................................................16

“解題知識(shí)必備”

I用SSS判定兩個(gè)三角形全等的方法

方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對(duì)應(yīng)邊分別相等，即可證明！

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成"邊邊邊"或"SSS"）.

備注：如圖，如果A'B=AB,AC=AC,=BC,則AABSAA'B'O

2用SAS判定兩個(gè)三角形全等的方法

方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個(gè)角必須是兩對(duì)應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA,

SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。

（1）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成"邊角邊"或"SAS"）.

A

備注：如圖，如果AB=AE，NA=N4，AC=4。，則^ABC學(xué)48'。?注意：這里

的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.

(2)有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖，AABC與AABD中，AB=AB,AC=AD,NB=NB,但AABC與AABD不完全重合，故不

全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

3用ASA或AAS判定兩個(gè)三角形全等的方法

方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個(gè)邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對(duì)邊或鄰邊!

兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成"角邊角"或"ASA").

備注：如圖，如果NA=N4,AB=A'B',zB=zB',則MBC學(xué)A'3'C'.

(1)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成"角角邊"或"AAS")

備注：由三角形的內(nèi)角和等于180。可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由"角邊角"判定兩

個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.

(2)三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖,在AABC和AADE中,如果DEllBC,那么NADE=zB,zAED=zC,又NA=zA，但^ABC和△

ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

4用HL判定兩個(gè)直角三角形全等的方法

方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。

(1)由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相

等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS","ASA"或"SAS"判定定理.

(2)判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理

在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成"斜邊、直

角邊"或"HL"）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.

備注：

1）"HL"從順序上講是"邊邊角"對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小

就確定了.

2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首

先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.

3）應(yīng)用"斜邊、直角邊"判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩

個(gè)三角形前加上"Rt".

??壓軸題型講練??

類型一、等量代換法

通過用圖中相等的一條線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，通過全等

得到線段等，直接代換，將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問題。

例.如圖，在13ABe中，NACB=90。，AC=3C,直線肱V經(jīng)過點(diǎn)C,且于D,BELMN于E.

（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，

①求證：0ADC00CEB.

②求證：DE=AD+BE.

⑵當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷AADC和ACE8的關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）EADCEECEB；理由見解析

【分析】（1）①要證EIADCEHCEB,已知一直角I3ADC=EICEB=9O。和一邊AC=CB對(duì)應(yīng)相等，由題意根據(jù)同角的

余角相等，可得另一內(nèi)角團(tuán)ECBWDAC,再由AAS即可判定；

②由①得出AD=CE,BE=CD,而DE=CD+CE，故DE=AD+BE；

(2)同理，根據(jù)上一小題的解題思路，易得EIADCEHCEB.

【詳解】(1)①EBACB=90°

E0DCA+0ECB=9O-

X0AD0MN

ffl0DCA+0DAC=9O°

E0ECB=0DAC

又［SADISMN,BEEIMN

EBADC=EICEB=90°

在回ADC和I3CEB中

ZECB=ZDAC

<ZADC=ZCEB

AC=CB

auADcaacEB(AAS)

②E0ADCE0CEB

0AD=CE,BE=CD

又團(tuán)DE=CD+CE

0DE=AD+BE

(2)0ADC00CEB；

HBACB=90°

E0DCA+0ECB=9O°

又回ADIBMN

E0DCA+0DAC=9O°

E0ECB=0DAC

又回ADISMN,BEEMN

00ADC=0CEB=9O-

在I3ADC和I3CEB中

ZECB=ZDAC

<ZADC=ZCEB

AC=CB

H3ADCH3CEB(AAS)

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握，即可解題.

【變式訓(xùn)練1】.如圖，在RZSABC中，fflC=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

(點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)點(diǎn)P),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至APU43時(shí)，點(diǎn)、B、P、P恰好在同一直線上，此時(shí)作戶￡HAC于點(diǎn)E.

(1)求證：ECBP=EL4BP；

(2)求證：AE=CP；

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=A尸，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得NAPP=NAP'P，再根據(jù)等角的

余角相等證明即可；

（2）過尸點(diǎn)作尸。財(cái)3于點(diǎn)。，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出

NPAD=ZAP'E，利用"角角邊"AAPDMAP'AE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證.

【詳解】證明：（1）回4尸'是由AP旋轉(zhuǎn)得到，

SAP^AP1,

團(tuán)ZAPP'=ZAP'P，

aaC=90°,AP'^AB

0NCBP+ZBPC=90",ZABP+ZAPP=90°

又國(guó)NBPC=ZAPP'

^ZCBP=ZABP

（2）如圖，過P點(diǎn)作PD0A2于點(diǎn)D,

EZCBP=ZABP,ZC=90°

QCP=DP,

SP,ELAC

回Nfi4P'+NAP'E=90"

ZPAD+ZEAP'=90°

^ZPAD=ZAPE

在△APD和APAE中，

ZPAD=ZAP'E

<ZADP=ZP'EA=90°

AP=AP'

^^APD=^PAE(AAS)

^AE=DP

EAE=CP

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性

質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2].已知，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且BP=3,PC=4,將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至BP，的位置.

(1)試判斷回BPP，的形狀，并說明理由；

(2)若回BPC=150°,求PA的長(zhǎng)度.

【答案】(1)等邊三角形，理由見解析；(2)5

【分析】由已知3尸繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至3尸，運(yùn)用/4BC是等邊三角形聯(lián)想：A3繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

至2C,問題轉(zhuǎn)化為將AABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題.

【詳解】解：(1)AfiPP'是等邊三角形.

理由：3尸繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至

:.BP=BP,ZPBP=60°；

r.AB尸產(chǎn)是等邊三角形.

(2)?.?ABP戶是等邊三角形，

:.NBPP=60°,PP=BP=3,Z.PPC=Z.BPC-Z.BPP=150-60°=90°；

在氏AP/C中，由勾股定理得PC=JP產(chǎn)+=5,

EZABC=ZBPP=60°,

^S\ABP=SCBP',

在AABP和ACBP'中，

AB=BC

</ABP=NCBP',

BP=BP'

(SAS)

.-.PA=P'C=5.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)--旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.

【變式訓(xùn)練3].如圖，口ABCD中，AB0AC,AB=1,BC=6.對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，將直線AC繞點(diǎn)

0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC,AD于點(diǎn)E,F.

,D

0

---卞---

(1)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AC繞點(diǎn)0

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

【答案】(1)AF=EC.(2)AC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。時(shí)，四邊形BEDF為菱形.

【詳解】試題分析：(1)證明EIAOFEHCOE即可；

(2)EFEIBD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，可根據(jù)勾股定理求得AC=2,0OA=1=AB,又ABEIAC,aSAOB=45°.

試題解析：(1)證明：當(dāng)EIAOF=90。時(shí)，

E0BAO=EIAOF=9OO,

0AB0EF,

又ElAFEiBE,

回四邊形ABEF為平行四邊形.

在13AoF和團(tuán)COE中

ZFAO=ZECO

{AO=CO

ZAOF=ZCOE

EHAOFEHCOE(ASA).

0AF=EC.

(2)解：四邊形BEDF可以是菱形.

理由：如圖，連接BF,DE

EIEF與BD互相平分.

團(tuán)當(dāng)EFEIBD時(shí)，四邊形BEDF為菱形.

在Rt回ABC中，AC=^(^5)2-1=75^1=2,

團(tuán)OA=1=AB,

又I3AB回AC,

EBAOB=45°,

00AOF=45°,

回AC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。時(shí)，四邊形BEDF為菱形.

考點(diǎn)：1.菱形的判定；2.平行四邊形的判定與性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

類型二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法

和宜并之差宜貼，短則補(bǔ)之長(zhǎng)則截。

截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段；或者將短線段直接

延長(zhǎng)至等于長(zhǎng)線段。

無(wú)論截長(zhǎng)還是補(bǔ)短都需要將幾條線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過全等實(shí)現(xiàn)。

例.已知：如圖，在VABC中，NB=60。，D、E分別為AB、3C上的點(diǎn)，且AE、CD交于點(diǎn)?若A￡、CD

為VABC的角平分線.

(1)求ZAFC的度數(shù)；

(2)若AD=6,CE=4,求AC的長(zhǎng).

【答案】⑴120度

(2)10

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題.

(1)由題意/54C+ZBC4=120。，=180°-ZFAC-ZFCAF=180°-1(ZBAC+ZBCA),即可解

決問題；

(2)在AC上截取AG=AD=6,連接/G.只要證明△ADb2△AGb,推出

ZAFD=ZAFG=6O°,NGFC=NCFE=60。,再證明ACGF絲△CEF,推出CG=CE=4,由此即可解決問

題.

【詳解】(1)解：回AE、8為VABC的角平分線,

團(tuán)/FAC=|ABAC,ZFCA=|NBCA

0ZB=6O°,

0ZBAC+ZBG4=12O°,

團(tuán)ZAFC=180°-NE4C-ZFCA=180°-1(ZBAC+ZBCA)=120°

(2)解：在AC上截取AG=AD=6,連接/G.

團(tuán)AE、CD為VABC的角平分線.

^\ZFAC=ZFAD,ZFCA=ZFCE,

團(tuán)NAFC=120。，

回NAFD=NC五E=60。，

^\AD=AG,AF=AF

SAADF^AAGF,

^\ZAFD=ZAFG=60°,

?NGFC=NCFE=6。。,

又回CF=CF,

SACGF^ACEF

團(tuán)CG=CE=4,

團(tuán)AC=AG+GC=10.

【變式訓(xùn)練1】.安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究:

【探究證明】

(1)如圖1,VABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交30延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，求證：ZAFB=60°；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在正三角形紙片VA3C的BC邊上取一點(diǎn)￡),作NADE=60。交/4C3外角平分線于點(diǎn)E,探

究CE,DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

【思維提升】

(3)如圖3,AABC和AOCE均為正三角形，當(dāng)8,C,E三點(diǎn)共線時(shí)，連接尸C,若BC=3CE,直接寫

出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：

小AP-3PD

①

小AP+PC+2PD

②--------------

BD-PC+PE

AP-^PD4p_|_p(^7PD

【答案】(1)見解析；(2)AC=CE+DC,證明見解析；(3)是定值，①一②=1.

【分析】(1)證明△ACEMZXBCZXSAS),推出NG4E=NCBD,再根據(jù)角度的和差可得結(jié)論；

(2)如圖2,在AB上取一點(diǎn)G,使得BG=BD,證明ABDG是等邊三角形，然后證明AA￡>GWSEC(ASA),

可得DG=CE,利用線段的和差即可解決問題；

(3)如圖3,在AE上取一點(diǎn)尸，使得BF=PD,證明△CEF=Z\CDP(SAS),CF=CP,ZECF=ZDCP,證

明APCF是等邊三角形，所以PC=尸尸=CF,過點(diǎn)C作CWLBD,CN1AE,垂足分別為M,N,根據(jù)

AACE=ABCD,可得△ACE的面積=ABCD的面積，根據(jù)鈣二血，可得a/=ov,根據(jù)3c=3CE,可得

BP=3PE=3PC+3PD,^^AE=BD=BP+PD=3PC+4PD,AP=AE-PE=2PC+3PD,進(jìn)而可以解決問

題.

【詳解】(1)證明：如圖1,設(shè)AC與5F交于點(diǎn)G,

VAABC,△OCE都是等邊三角形，

:.CA^CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

:.ZBCD=60°-ZACD=ZACE,

在“。石和ABCD中，

AC=BC

<NACE=ZBCD,

CE=CD

:.AACE=ABCD(SAS),

:.ZCAE=ZCBD,

ZAGF=ZBGC,

.-.ZAFB=ZBCG=60°；

(2)解：AC=CE+DC,理由如下：

如圖2,在AB上取一點(diǎn)G,使得BG=BD,

A

BDC

圖2

???△ABC是等邊三角形，

ZB=ZACB=6009AB=BC,

「.△BOG是等邊三角形，

.\ZBGD=60°f

/.ZAGD=120°,AG=DC,

?.?C石是-4C3外角平分線，

.?.ZACE=60°,

ZDCE=60。+60。=120°,

:.ZAGD=ZDCE,

vZADE=60°,ZBDG=60°,

ZADG+ZCDE=180。—60?！?0。=60。，

???ZADG+ZDAG=60。，

.\ZDAG=ZEDCf

:.AADG=A￡)EC(ASA),

/.DG—CE,

；.AC=BC=BD+CD=DG+CD=CE+CD,

AC=CE+CD；

(3)解：①絲泮=2,②啜受+2累=1都是定值,證明如下:

PCBD-PC+PE

如圖3,在AE■上取一點(diǎn)使得EF=PD,

A

?.?△ABC和△DCE均為正三角形，B,C,E三點(diǎn)共線，

:.CE=CD,ZECD=60。，

由(1)知：AACE=ABCD(SAS),

.\ZCEA=ZCDB,

:./\CEF工△CDP(SAS),

:.CF=CP,ZECF=ZDCP,

.?.ZPCF=ZDCP+ZDCF=ZECF+ZDCF=ZDCE=60°,

.?.△PCF是等邊三角形,

：.PC=PF=CF,

過點(diǎn)。作CMLBD,CN1AE,垂足分別為N,

AACE=^BCD,

:.AACE的面積"BCD的面積，

?.?AE=BD,

:.CM=CN,

?;BC=3CE,

BP=3PE=3(PF+EF)=3(PC+PD)=3PC+3PD,

.\AE=BD=BP+PD=3PC+4PD,

:.AP=AE-PE=3PC+4PD-(PC+PD)=2PC+3PD,

小AP-3PD_2PC+3PD-3PD_

??①一正=o2;

②???AP+PC+2PD=2PC+3PD+PC+2PD=3PC+5PD,

BD-PC+PE=3PC+4PD-PC+PC+PD=3PC-^-5PD,

:.AP+PC+2PD=BD—PC+PE,

AP+PC+2PD1

--------------二I.

BD-PC+PE

L匚ZTXAP—3PDz-xAP+PC+2PZ)p/t

綜上所述：①———=2,②77r^^浮:1都是定值.

rCDU—rC十rtL

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正

確的作出圖形尋找全等三角形.

【變式訓(xùn)練2].如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE,C4平分/BCD,ZCAD=^ZBAE.

（1）求證：CD=BC+DE；

⑵若/3=75。，求—E的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）105°

【分析】（1）在C。上截取CF=CB,連接AF,證明ABC4g△Pl（SAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

AB=AF,ZBAC=ZFAC,進(jìn)而證明AAZ?名AADE（SAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出￡見=，進(jìn)而

即可求解；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得/B+/E=/CE4+NAED=180。，即可求解.

【詳解】（1）解：在CD上截取CF=CB,連接AF.

0ABC4^AFC4（SAS）

SAB=AF,ZBAC=ZFAC.

又；AB=AE,

SAF=AE.

又：ZCAD=-ZBAE,

2

ZBAC+ZEAD=ZFAC+ZFAD,

^ZFAD^ZEAD.

AF^AE

在△ADE和VADE中，＜NFA。=ZEAD,

AD=DF

S^ADF^ADE(SAS)

0DE=DF.

@CD=CF+FD=BC+DE.

(2)團(tuán)△BC49△FC4,

SZB=ZCFA.

SVADF^ADE,

^\ZE=ZAFD.

團(tuán)/B+/E=/CE4+NATO=180。.

0Z￡=18O°-ZB=18O°-75°=105°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.數(shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個(gè)問題：

如圖1,在等腰Rt/VLBC中，ABAC^90°,AB^AC,AD=AE,求證NABE=NACD；在此問題的基礎(chǔ)

上，老師補(bǔ)充：過點(diǎn)A作AFXBE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,過F作FP_LCD交BE于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)H,

試探究線段BP,FP,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.小白通過研究發(fā)現(xiàn)，/4/中與ZHFC有某種數(shù)量

關(guān)系：小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長(zhǎng)補(bǔ)短，再通過進(jìn)一步推理，可

以得出結(jié)論.閱讀上面材料，請(qǐng)回答下面問題：

圖1圖2

(1)求證NABE-NACD；

(2)猜想/中與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑶探究線段BP,FP,A尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴見解析

⑵相等，見解析

(3)BP=AF+PF,見解析

【分析】(1)根據(jù)“邊角邊"判定AABE和AACE＞全等即可求證；

(2)VABC是等腰直角三角形，設(shè)NABE=NACD=x,根據(jù)用含彳的式子表示/BFG,根據(jù)

FPLCD,用含x的式子表示NHFC,由此即可求解;

(3)過點(diǎn)C作CM_LAC交所延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)FP交AC于點(diǎn)N,可證△ABE絲△CW(ASA),可得

BE=AM,根據(jù)(2)的結(jié)論，可證△NFC絲AMFC(ASA),可得FM=FN,再根據(jù)NM=ZFNC=ZBEA

可得是等腰三角形，可找出8￡,,,五加,/皿記狐連的關(guān)系，由此求解.

【詳解】(1)解：團(tuán)在AABE和AACD中，

ZA=ZA,AE=AD,

0AABE絲AAC￡>(SAS),

SZABE=ZACD.

(2)解：回VABC是等腰直角三角形，ABAC^90°,AB=AC,

EZABC=ZACB=45°,

由(1)可知，ZABE=ZACD,設(shè)NABE=NACD=x,

^\AF±BE,

BZBAF=90°-x,且/FBG=45°-x,

團(tuán)在ABFG中，NBFG=90°-NFBG=90°-(45°一尤)=45°+尤，

團(tuán)ZACD=x,

團(tuán)N〃CF=45f,

^FPVCD,

0ZHFC=9Oo-(45o-x)=45°+x,

回/HFC=/BFA.

(3)解：過點(diǎn)。作CMLAC交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)EP交AC于點(diǎn)N,

ZBAF+ZFAC=90°.ZBAF+ZABG=90°f

^ZFAC=ZABGf

在△ABE1和VCW中，

^ZBAE=ZACM=90°,AB=AC,ZABE^ZCAM,

0AABE^AC4M(ASA),

^\BE=AM,ZM二/BEA,

由(2)可知，/HFC=/BFA,

^\ZBFA=ZMFC.

⑦/BFA=ZMFC=ZNFC,

0CM±AC,NACB=45。，

0ZBCM=45°,

⑦ZBFA=ZMFC=ZNFC,FC=FC,ZACB=ZBCM=45°,

國(guó)△NF(WAMFC(ASA),

出FM=FN,ZM=ZFNC,

⑦/FNC=/BEA,則△"花是等腰三角形，

國(guó)PN=PE,

?BP=BE-PE=AM—PE=AF+FM—PE=AF+FN—PN=AF+PF,

國(guó)BP=AF+PF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的和差計(jì)算的綜合，掌握

以上知識(shí)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

”壓軸能力測(cè)評(píng)8

1.如圖，在四邊形ABCD中，^DAB=SBCD=90°,AB=AD,若這個(gè)四邊形的面積是4,則BC+CD等于()

A.2B.4C.2拒D.4&

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,使BE=OC,連接AE,AC,可以證明△AOOBfflABE,可得4c是等腰直角三角

形，再根據(jù)AE4C的面積等于四邊形的面積是4,可得EC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,使BE=DC,連接AE,AC,

EHZMB=EIBCZ)=90°,

00￡>+EL4BC=18Oo,

EHABE+0ABe=180°,

aao=a48E,

在me和△ABE中，

AD=AB

/D=/ABE,

DC=BE

mADC^iABE（SAS）,

^\AC=AEf^\DAC=^\BAE,S〉A(chǔ)EC=S四邊形ABCD,

團(tuán)團(tuán)>￡AC+團(tuán)CA3=90°,

^\BAE^CAB=90°,

團(tuán)團(tuán)E4C=90°,

豳E4C是等腰直角三角形，

1,

^S^AEC=SABCD=4=-AE~-

回AE=2V2，

MC=4,

BBC+CD=BC+BE=EC=4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、面積及等積變換、三角形面積公式、勾股定理，解題的關(guān)

鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí).

2.如圖，I3A8C中，回8=2她，EL4cB的平分線C￡>交于點(diǎn)。，已知AC=16,BC=9,則8。的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】如圖，在C4上截取CN=CB,連接。N,證明ACBD絲ACND,利用全等三角形的性質(zhì)證明3O=N￡>,

求解CN=9,AN=7,再證明￡W=4V,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，在C4上截取CN=CB,連接DN,

?.?CD平分ZACB,

:.ZBCD=ZNCD,

-.CD=CD,

:.ACBD/CND（SAS）,

BD=ND,NB=NCND,CB=CN,

c

.\CN=9,AN=AC-CN=7,

???/CND=/NDA+ZA,

:.ZB=ZNDA+ZA,

???ZB=2ZA,

:.ZA=ZNDA,

:.ND=NA,

:.BD=AN=7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在必△ABC中，ZACB=90°,AC=3fBC=4fAD平分/C4B交于。點(diǎn)，E,廠分別是4D,

AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）

51512

A.-B.—C.3D.——

225

【答案】D

【分析】利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線段長(zhǎng)度.

【詳解】在AB上取一點(diǎn)G,使AG=AF.

團(tuán)在RtZkABC中，0ACB=9O°,AC=3,BC=4

團(tuán)AB=5,

團(tuán)團(tuán)CAD=IUBAD,AE=AE,

釀AEF釀AEG(SAS)

回FE=GE,

回要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值,

故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求，

此時(shí)，作CH國(guó)AB于H點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)即為CE+EG的最小值,

此時(shí)，AC?BC^AB-CH,

ACAB12

0CH=

BCy

即：CE+EF的最小值為彳,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問題，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在VABC中，AD平分NA4C,ZB=2ZADB,AB=5,CD=6,則AC的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】在AC上截取AE=AB,連接DE,證明△ABDEEAED,得到EIB=EIAED,AB=AE,再證明CD=CE,進(jìn)而代

入數(shù)值解答即可.

【詳解】在AC上截取AE=AB,連接DE,

0AD平分I3BAC,

EBBAD=EIDAC,

在AABD和AAED中,

AE=AB

ZBAD=ADAC,

AD=AD

釀ABD團(tuán)團(tuán)AED(SAS),

團(tuán)團(tuán)B二團(tuán)AED,團(tuán)ADB二回ADE,AB=AE,

又團(tuán)B=2團(tuán)ADB

團(tuán)回AED=2回ADB,團(tuán)BDE=2回ADB,

回團(tuán)AED二團(tuán)C+團(tuán)EDC=2回ADB,回BDE二團(tuán)C+團(tuán)DEC=2回ADB,

配1DEC二團(tuán)EDC,

團(tuán)CD=CE,

團(tuán)AB=5,CD=6,

團(tuán)AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；利用了全等三角形中常用輔助線-截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形，

然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握.

5.如圖，四邊形A5CD中，ZBCD=90°,3。平分/ABC,AB=8,BD=13,BC=12f則四邊形A6CD

的面積為()

【答案】c

【分析】由題意在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=BA,并連接DE,證得^ABD=JLBD(SAS)進(jìn)而求出SACED和S^EBD

即可求出四邊形ABCD的面積.

【詳解】解：由題意在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=BA,并連接DE,

0/ABD=NEBD,

BE=BA

^\AABD=AEBD,

BD=BD

團(tuán)MBDv正BD(SAS),S."S.EBD，

團(tuán)N5CD=90。，AB=8,BD=13,BC=12,

^CD=^BD2-BC2=V132-122=5/

0SAC￡D=1.CE.CD=1X(12-8)X5=1O,

》

S△EPtRSLJ=SI^CDRLr)—SCFr)=—2xl2x5-10=20,'

國(guó)四邊形ABCD的面積為：2S.EBD+SAC￡D=2x20+10=50；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和角平分線性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

6.如圖，已知四邊形ABCD中，AD0BC,若I3DAB的平分線AE交CD于E,連接BE,且BE恰好平分EIABC,

則AB的長(zhǎng)與AD+BC的大小關(guān)系是（）

A.AB>AD+BCB.AB<AD+BCC.AB=AD+BCD.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】在AB上截取AF=AD,連接EF,易得國(guó)AEB=90°和回ADEEBAFE,再證明IBBCEHaBFE,利用全等三角形

對(duì)應(yīng)邊相等即可得出三條線段之間的關(guān)系.

【詳解】解：如圖所示，在AB上截取AF=AD,連接EF,

fflABC+EDAB=180°,

又國(guó)BE平分團(tuán)ABC,AE平分團(tuán)DAB

EHABE+EIEAB=；(ZABC+NDAB)=90°,

EBAEB=90°即國(guó)2+回4=90°,

在IBADE和團(tuán)AFE中，

AD=AF

<ZDAE=ZFAE

AE=AE

EBADEHSAFE(SAS),

所以團(tuán)1=團(tuán)2,

又回2+回4=90°,01+E3=9O°,

所以m3=回4,

在國(guó)BCE和回BFE中，

2CBE=/FBE

<BE=BE

Z3=Z4

E0BCEEEBFE(ASA),

所以BC=BF,

所以AB=AF+BF=AD+BC；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，截長(zhǎng)補(bǔ)短是證明線段和差關(guān)系的常用方法.

7.如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB^AC,ZBAC^90°,BF平分NABC,CD_LBD交所的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)D試說明：BF=2CD.

【分析】解法一：延長(zhǎng)AB、C。相交于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線性質(zhì)得到=證明

△BDC沿△BDE(ASA),得到CD=；CE,再證明44時(shí)會(huì)ZVlCElASA),得到族=CE,即可證明3P=2CD；

解法二：作所的中點(diǎn)E,連接AE、AD,根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出鉆=郎=跖，由3。平分

NABC就可以得出ZABE=ZD8C=22.5。，從而可以得出ZBAE=NC4D=ZACD=22.5。，NAEF=45。，由

ABAC=90°,ZBDC=9Q)°就可以得出A、8、C、。四點(diǎn)共圓，求出AD=DC,證AADC\AEB，推出BE=CD,

從而得到結(jié)論.

【詳解】解法一：

解：延長(zhǎng)A3、C。相交于點(diǎn)E,

回3F平分/ABC,

^\ZCBD=ZABFf

團(tuán)CDO

⑦NCDB=ZEDB=90。,

在△BDC和△瓦)石中，

ZCBD=ZABF

<BD=BD,

ZCDB=ZEDB

團(tuán)△BQC^ABZ)E(ASA),

回BC=AE,CD=DE,

^\CD=-CE,

2

0ZBAC=ZBDC=9O°,ZAFB=ZCFD,

^\ZABF=ZACD,

在AAB尸和△ACE中，

ZABF=ZACD

<AB=AC,

ZBAC=ZCAE

^\/\ABF^AACE(ASA),

團(tuán)BF-CE,

^\CD=-BF,

2

?BF=2CD；

解法二：

解：取砥的中點(diǎn)E,連接AE、AD,

0ZBAC=9O°,

國(guó)AE=BE=EF,

回/ABD=NBAE,

^CD±BD,

朋，B,a。四點(diǎn)共圓，

國(guó)NDAC=NDBC,

團(tuán)正平分/ABC,

aNABD=NDBC,

BZDAC=ZBAE,

團(tuán)NE4D=90。，

團(tuán)AB=AC,

團(tuán)NA5C=45。，

ZABD=DBC=22.5°f

SZAED=45°,

^AE=AD,

在△ABE1與△ADC中,

ZABE=ZDAC

<NBAE=NACD,

AE=AD

^^ABE^^ADC,

0BE=CD,

@BF=2CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，直角三角形的性質(zhì),

角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.已知VABC與都是等腰直角三角形，且NA4C=ND4E=90。.求證：

(2)DC±BE.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）VABC與都是等腰直角三角形得到兩組對(duì)邊分別相等