2024-2025學(xué)年四川省瀘州市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省瀘州市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C.1 D.3【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得的實(shí)部和虛部，解方程即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，解得，故選：D2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.3 C. D.【正確答案】B【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則.故選：B3.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個(gè)險(xiǎn)種，并對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：

用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）．A.57周歲以上參保人數(shù)最少B.18～30周歲人群參?？傎M(fèi)用最少C.C險(xiǎn)種更受參保人青睞D.31周歲以上的人群約占參保人群80％【正確答案】B【分析】根據(jù)扇形圖、散點(diǎn)圖、頻率圖對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是，是最少的，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，“18～30周歲人群參保平均費(fèi)用”比“57周歲以上人群參保平均費(fèi)用”的一半還多，而18～30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，所以57周歲以上參保人群參?？傎M(fèi)用最少，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，C險(xiǎn)種參保比例，是最多的，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，31周歲以上人群約占參保人群，D選項(xiàng)正確.故選：B4.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意得出直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，利用直線斜率公式求得直線斜率，繼而得到直線的傾斜角.【詳解】依題意，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為,故直線的傾斜角為.故選：D.5.某射手在一次訓(xùn)練中五次射擊的成績(jī)分別為9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，則該射手成績(jī)的極差和方差分別是（）A.0.2，0.127 B.0.3，0.016 C.0.4，0.080 D.0.3，0.216【正確答案】B【分析】根據(jù)極差的定義求解極差，根據(jù)方差公式計(jì)算求解方差.【詳解】由題意得，該射手在一次訓(xùn)練中五次射擊的成績(jī)的極差為，平均值為，所以該射手成績(jī)的方差，故選：B．6.“a＝b＝1”是“直線ax－y+1＝0與直線x－by－1＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】a＝b＝1時(shí)，兩條直線平行成立，但由ax－y+1＝0與直線x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．【詳解】a＝b＝1時(shí)，兩條直線ax－y+1＝0與直線x－by－1＝0平行，反之由ax－y+1＝0與直線x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，顯然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，∴“a＝b＝1”是“直線ax－y+1＝0與直線x－by－1＝0平行”的充分不必要條件．故選A．本題考查了直線平行的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.在正方體中，交于點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】連接，異面直線與所成的角為，通過(guò)解三角形即可得結(jié)果.【詳解】連接，因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為，（由正方體的幾何性質(zhì)易知為銳角，故即所求角）設(shè)，則，則，故，故，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：C．8.在中，有，則的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用余弦定理和數(shù)量積定義化簡(jiǎn)得出三角形三邊，，的關(guān)系，利用基本不等式求出的最小值，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，從而得出的最大值，即可求出的最大值．【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以又，，，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時(shí)，所以，即的最大值是．故選：D．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的按比例得分9.某次校十佳歌手評(píng)比中，10位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)分別為，計(jì)算得平均數(shù)，方差，現(xiàn)去掉一個(gè)最高分10分和一個(gè)最低分5分后，對(duì)新數(shù)據(jù)下列說(shuō)法正確的是（）A.極差變大 B.中位數(shù)不變C.平均數(shù)變小 D.方差變大【正確答案】BC【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差定義理解及求法判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由于10個(gè)數(shù)據(jù)已經(jīng)確定，故不妨設(shè)，由題意不妨取，A項(xiàng)，原極差為，去掉最高與最低分后，極差為，所以去掉最高和最低分，極差有可能減小，極差變大是不可能的，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，中位數(shù)的定義知：數(shù)據(jù)從小到大排列，中間兩個(gè)數(shù)的平均值是中位數(shù)，去掉最高和最低不影響中間兩個(gè)數(shù)，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，由題意原平均數(shù)，則，則去掉最高與最低分后，平均數(shù)變?yōu)?，平均?shù)變小，故C正確；D項(xiàng)，去掉最高和最低分后，數(shù)據(jù)移除這兩個(gè)極端值后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性減小，故方差會(huì)變小，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在復(fù)平面上的坐標(biāo)為 B.C.的最大值為 D.的最小值為【正確答案】ABC【分析】A：根據(jù)復(fù)數(shù)的表達(dá)式直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；C，D：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故A正確；復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)，故B正確；設(shè)，則，即，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圓上，其圓心為，半徑，表示的是復(fù)數(shù)和在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，即.而的最大值是；的最小值是.所以的最大值為，最小值為，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.如圖，正方形的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.與平面所成的角的正弦值為C.始終為鈍角三角形D.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)正方體中，證明線線垂直；利用線面角定義，先找到角，再計(jì)算夾角的正弦值；在三角形中，利用余弦定理求角判斷三角形形狀；根據(jù)題意先找到點(diǎn)的軌跡形狀是圓的一半，計(jì)算長(zhǎng)度得答案；【詳解】對(duì)于A，正方形中，平面,因?yàn)槠矫?所以，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，當(dāng)不可能與點(diǎn)重合時(shí)，不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，正方形中，是平面內(nèi)兩條相交直線，平面，，設(shè)點(diǎn)交平面于點(diǎn),所以點(diǎn)到平面的高為，則為與平面所成的角，且，所以與平面所成的角的正弦值為，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知,進(jìn)而在直角三角形中，，在中，由余弦定理可得,所以為鈍角，C正確；對(duì)于D.根據(jù)選項(xiàng)B可知，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓的一部分，又因?yàn)槭堑冗吶切?，?可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓的一半，則點(diǎn)的軌跡為長(zhǎng)度為，D正確；故選：BCD.方法點(diǎn)睛：立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型空間中軌跡問(wèn)題的解答思路：（1）根據(jù)已知條件確定和待求點(diǎn)相關(guān)的平行、垂直關(guān)系；（2）用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡長(zhǎng)度其他量；三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，在上的投影向量的模為10，則____________.【正確答案】3【分析】利用公式可求在在上的投影向量的模，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】在上的投影向量的模為.解得：故313.已知直線l過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且點(diǎn)到直線l的距離為1，則直線l的方程為_(kāi)_________．【正確答案】或【分析】首先求兩條直線的交點(diǎn)，再設(shè)出直線方程后，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】聯(lián)立，解得：，，所以直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，點(diǎn)到直線l的距離，解得：，此時(shí)直線方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，點(diǎn)到直線l的距離為，滿足條件，綜上可知，直線l的方程為或.故或.14.在三棱錐P-ABC中，，點(diǎn)M，N分別是PB，BC的中點(diǎn)，且，則平面AMN截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積是___________．【正確答案】【分析】證明出的中點(diǎn)即為外接球的球心，從而得到外接球半徑，再設(shè)O到平面AMN的距離為h，平面AMN截球O所得的截面圓的半徑為r，由等體積法求出，進(jìn)而得到r，得到截面面積.【詳解】因?yàn)?，M是PB的中點(diǎn)，所以，又平面PBC，所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以，又平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB，AB平面PAB，所以在△ABC中，，所以，在△PAC中，，所以，所以，取PC的中點(diǎn)O，又PA，所以，即點(diǎn)O是三棱錐P-ABC的外接球的球心，因?yàn)?，故外接球半徑為，設(shè)O到平面AMN距離為h，平面AMN截球O所得的截面圓的半徑為r，因?yàn)镸N是△PBC的中位線，所以O(shè)到平面AMN的距離等于B到平面AMN的距離，故，即，得，所以，所以截面圓的面積為．故答案為.解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：噸），月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布情況，通過(guò)抽樣，獲得了戶居民某年的月均用水量（單位：噸），其中月均用水量在內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求和的值；（2）若該市政府希望使的居民月用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)噸，試估計(jì)的值；（3）在（2）的條件下，若實(shí)施階梯水價(jià)，月用水量不超過(guò)噸時(shí)，按3元噸計(jì)算，超出噸的部分，按5元噸計(jì)算．現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求所有居民的月用水費(fèi)均不超過(guò)70元，則該市居民月用水量最多為多少噸？【正確答案】（1），（2）16.6噸（3）20.64噸【分析】（1）頻率分布直方圖總面積為1，由此即可求解.（2）先判斷所求值所在的區(qū)間，再按比例即可求解.（3）按題意列不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，用水量在的頻率為，（戶）【小問(wèn)2詳解】，，（噸）【小問(wèn)3詳解】設(shè)該市居民月用水量最多為噸，因?yàn)?，所以，則，解得，答：該市居民月用水量最多為20.64噸．16.在中；內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求角.（2）從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，求的面積.①邊上的中線；②；③角的平分線，點(diǎn)在線段上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）先利用正弦定理化簡(jiǎn)得，可化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合余弦定理即可求解；（2）若選①：由題意可得，化簡(jiǎn)后可求得，再結(jié)合正弦定理的面積公式即可求解；若選②：先利用正弦定理化簡(jiǎn)求得，再結(jié)合余弦定理可求得，再結(jié)合正弦定理的面積公式即可求解；若選③:由余弦定理求得且，從而可求得為等腰三角形，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，由正弦定理可得，即，則，由余弦定理得，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】若選①：由邊邊上的中線，如圖，所以，即，即，又因?yàn)?，所以，由?）知，所以，所以.若選②：當(dāng)，由，所以，由正弦定理：，即，解得，由（1）可得，即，解得：或（舍），所以.若選③:角的平分線，則，又因?yàn)?，在中由余弦定理可得，所以，此時(shí)，所以，所以，所以可得為等腰三角形，所以，所以.17.如圖，在四棱錐中，平面，底部為菱形，為的中點(diǎn)．（1）若，求證：平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合題意，利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，結(jié)合題意利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：平面，平面，，底面為菱形，為的中點(diǎn)，，，又，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】棱上存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，底面為菱形，為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，同理，平面，平面，平面，又，平面，平面平面，平面，棱上存在中點(diǎn)，使得平面.18.如圖，已知四棱錐中，，，，且，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面與平面垂直，，求四棱錐體積．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證，，利用線面垂直的判定定理得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證得；（2）由（1）知平面，利用面面垂直的判斷定理可得平面平面，則即為直線與平面所成角，再利用題中條件求的長(zhǎng)度，最后利用余弦定理進(jìn)行求解即可；（3）由（2）知平面平面，又平面平面，則平面與平面重合，即四點(diǎn)共線，再利用題中條件求出四邊形的面積和四棱錐的高，最后用錐體的體積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，由，則，因此可得，又為中點(diǎn)，則在等腰和等腰中，可得，，又，平面，平面，又平面，.【小問(wèn)2詳解】過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，由（1）知平面，平面,則平面平面，又平面平面，平面，,平面，故即為直線與平面所成角，又在等腰直角中，，則，，又在中，，則，在中，，則在中，，因此可得，即直線與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知平面平面，又平面平面，則平