備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第3講-第2課時-簡單的三角恒等變換

第2課時簡單的三角恒等變換考向一三角函數(shù)式的化簡例1(1)已知0<θ<π，則eq\f(1＋sinθ＋cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))＝________.答案－cosθ解析由θ∈(0，π)得0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(θ,2)>0，所以eq\r(2＋2cosθ)＝eq\r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2).又(1＋sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝2coseq\f(θ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2)))＝－2coseq\f(θ,2)cosθ.故原式＝eq\f(－2cos\f(θ,2)cosθ,2cos\f(θ,2))＝－cosθ.(2)化簡：eq\a\vs4\al\co1()eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)eq\a\vs4\al\co1()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tanαtan\f(α,2)))＝________.答案eq\f(2,sinα)解析原式＝eq\a\vs4\al\co1()eq\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))eq\a\vs4\al\co1()eq\a\vs4\al\co1()1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))eq\a\vs4\al\co1()＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2))·eq\f(cosαcos\f(α,2)＋sinαsin\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(cos\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2,sinα).(3)化簡：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)．解原式＝eq\f(sin2α＋β－2sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(sin[α＋α＋β]－2sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(sinαcosα＋β＋cosαsinα＋β－2sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(cosαsinα＋β－sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(sin[α＋β－α],sinα)＝eq\f(sinβ,sinα).三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)異角化同角：善于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系，合理對角拆分，恰當選擇三角公式，能求值的求出值，減少角的個數(shù)．(2)異名化同名：統(tǒng)一三角函數(shù)名稱，利用誘導公式切弦互化、二倍角公式等實現(xiàn)名稱的統(tǒng)一．(3)異次化同次：統(tǒng)一三角函數(shù)的次數(shù)，一般利用降冪公式化高次為低次．1.化簡：eq\f(2tan45°－α,1－tan245°－α)·eq\f(sinαcosα,cos2α－sin2α)＝________.答案eq\f(1,2)解析原式＝tan(90°－2α)·eq\f(\f(1,2)sin2α,cos2α)＝eq\f(sin90°－2α,cos90°－2α)·eq\f(\f(1,2)sin2α,cos2α)＝eq\f(cos2α,sin2α)·eq\f(\f(1,2)sin2α,cos2α)＝eq\f(1,2).2．化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝________.答案eq\f(1,2)cos2x解析原式＝eq\f(\f(1,2)4cos4x－4cos2x＋1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))·cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(2cos2x－12,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(cos22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(cos22x,2cos2x)＝eq\f(1,2)cos2x.多角度探究突破考向二三角函數(shù)式的求值角度給角求值例2(1)求值：eq\f(cos20°,cos35°\r(1－sin20°))＝()A．1 B．2C．eq\r(2) D．eq\r(3)答案C解析原式＝eq\f(cos20°,cos35°|sin10°－cos10°|)＝eq\f(cos210°－sin210°,cos35°cos10°－sin10°)＝eq\f(cos10°＋sin10°,cos35°)＝eq\f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cos10°＋\f(\r(2),2)sin10°)),cos35°)＝eq\f(\r(2)cos45°－10°,cos35°)＝eq\f(\r(2)cos35°,cos35°)＝eq\r(2).(2)求值：eq\f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cos212°－2)＝________.答案－4eq\r(3)解析原式＝eq\f(\f(\r(3)sin12°,cos12°)－3,22cos212°－1sin12°)＝eq\f(\r(3)sin12°－3cos12°,2sin12°cos12°cos24°)＝eq\f(2\r(3)sin12°cos60°－cos12°sin60°,sin24°cos24°)＝eq\f(4\r(3)sin12°－60°,sin48°)＝－4eq\r(3).該類問題中給出的角一般都不是特殊角，需要通過三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?，或者能夠正負相消，或者能夠約分相消，最后得到具體的值．3.求值：eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin170°)＝()A．4 B．2C．－2 D．－4答案D解析eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin170°)＝eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°－cos10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2sin10°－30°,\f(1,2)sin20°)＝eq\f(－2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝－4.故選D.4．(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)的值為()A．222 B．223C．211 D．212答案A解析由結(jié)論知tan1°＋tan44°＝1－tan1°·tan44°，(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2.所以(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)＝222.故選A．角度給值求值例3(1)(2021·贛州模擬)若cos78°＝m，則sin(－51°)＝()A．－eq\r(\f(m＋1,2)) B．－eq\f(\r(1－m),2)C．eq\r(\f(m＋1,2)) D．eq\r(\f(1－m,2))答案A解析∵cos78°＝m，∴cos(180°－78°)＝cos102°＝－cos78°＝－m，可得1－2sin251°＝cos102°＝－m，∴sin251°＝eq\f(1＋m,2)，解得sin51°＝eq\r(\f(1＋m,2))，∴sin(－51°)＝－eq\r(\f(1＋m,2)).故選A．(2)(2022·遼寧沈陽摸底)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝________.答案eq\f(4－3\r(3),10)解析由題意可得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1,10)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin2θ＝－eq\f(4,5)，即sin2θ＝eq\f(4,5).因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)>0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以0<θ<eq\f(π,4)，2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，可得cos2θ＝eq\f(3,5)，由兩角差的正弦公式，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sin2θcoseq\f(π,3)－cos2θsineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10).給值求值是指已知某個角的三角函數(shù)值，求與該角相關(guān)的其他三角函數(shù)值的問題，解題的基本方法是通過角的三角函數(shù)的變換把求解目標用已知條件表達出來．5.若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,10)))＝eq\f(1,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(3π,10)))＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(23,25) D．eq\f(23,25)答案D解析設(shè)β＝α＋eq\f(π,10)，則α＝β－eq\f(π,10)，所以2α－eq\f(3π,10)＝2β－eq\f(π,2).因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,10)))＝eq\f(1,5)，所以cosβ＝eq\f(1,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(3π,10)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2β－\f(π,2)))＝－cos2β＝1－2cos2β＝1－2×eq\f(1,25)＝eq\f(23,25).故選D.6．(2021·遼寧省本溪滿族自治縣高級中學模擬)數(shù)學家華羅庚倡導的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，0.618就是黃金分割比m＝eq\f(\r(5)－1,2)的近似值，黃金分割比還可以表示成2sin18°，則eq\f(m\r(4－m2),2cos227°－1)等于()A．4 B．eq\r(5)＋1C．2 D．eq\r(5)－1答案C解析由題意可知2sin18°＝m＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以m2＝4sin218°.則eq\f(m\r(4－m2),2cos227°－1)＝eq\f(2sin18°\r(4－4sin218°),2cos227°－1)＝eq\f(2sin18°·2cos18°,cos54°)＝eq\f(2sin36°,cos54°)＝2.角度給值求角例4(1)若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值是()A．eq\f(7π,4) B．eq\f(9π,4)C．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4) D．eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)答案A解析因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))，又因為sin2α＝eq\f(\r(5),5)，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以cos2α＝－eq\f(2\r(5),5).又因為β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，又因為α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))，故α＋β＝eq\f(7π,4).故選A．(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，則2α－β的值為________.答案－eq\f(3π,4)解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，∴0<α<eq\f(π,2).又tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時應(yīng)遵循的原則(1)已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．(2)已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則選正弦函數(shù)較好．7.(2021·福建漳州八校聯(lián)考)已知銳角α的終邊上一點P(sin40°，1＋cos40°)，則α等于()A．10° B．20°C．70° D．80°答案C解析由題意，得tanα＝eq\f(1＋cos40°,sin40°)＝eq\f(2cos220°,2cos20°sin20°)＝eq\f(cos20°,sin20°)＝eq\f(sin70°,cos70°)＝tan70°.又α為銳角，∴α＝70°，故選C．8．已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2)，則β的值為________.答案eq\f(π,3)解析∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2).又cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\f(3\r(3),14).∵cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2).∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3).考向三三角恒等變換的綜合應(yīng)用例5(1)(多選)(2022·江蘇南京月考)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,12)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,12)))(0<ω<6)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則滿足條件的ω的值為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(7π,3)答案BC解析f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,12)－\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6))).因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以ω＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得ω＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，因為0<ω<6，所以ω＝eq\f(π,3)或ω＝eq\f(4π,3)，故選BC．(2)(2021·?？谡{(diào)研)如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為eq\f(π,3)的扇形，點A在弧PQ上(異于點P，Q)，過點A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分別為B，C，記∠AOB＝θ，四邊形ACOB的周長為l.①求l關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；②當θ為何值時，l有最大值？并求出l的最大值．解①AB＝OA·sinθ＝sinθ，OB＝OA·cosθ＝cosθ，AC＝OA·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，OC＝OA·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，所以l＝sinθ＋cosθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝sinθ＋cosθ＋eq\f(\r(3),2)cosθ－eq\f(1,2)sinθ＋eq\f(1,2)cosθ＋eq\f(\r(3),2)sinθ＝eq\f(1＋\r(3),2)sinθ＋eq\f(3＋\r(3),2)cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)(sinθ＋eq\r(3)cosθ)＝(eq\r(3)＋1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,3))).②由0<θ<eq\f(π,3)，得eq\f(π,3)<θ＋eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，當θ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,6)時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，lmax＝eq\r(3)＋1，所以當θ＝eq\f(π,6)時，lmax＝eq\r(3)＋1.三角恒等變換的應(yīng)用策略(1)進行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝eq\r(a2＋b2)·sin(x＋φ)，可進一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性．9.(2022·湖南岳陽摸底)若函數(shù)f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ時取得最小值，則cosθ等于()A．eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13)C．eq\f(12,13) D．－eq\f(12,13)答案B解析f(x)＝5cosx＋12sinx＝13eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)cosx＋\f(12,13)sinx))＝13sin(x＋α)，其中sinα＝eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(12,13)，由題意知θ＋α＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，得θ＝2kπ－eq\f(π,2)－α(k∈Z)，所以cosθ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\f(5,13).10.(2021·太原市高三聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有一道著名的“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”其意思為：“今有水池1丈見方(即CD＝10尺)，蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與池岸齊接(如圖所示)，問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？”現(xiàn)假設(shè)θ＝∠BAC，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝________.答案5解析設(shè)BC＝x，則AC＝x＋1，又AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，tanθ＝eq\f(12,5)＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))，∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(2,3)(負根舍去)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝5.拼湊法在三角恒等變換中的妙用1．(多選)(2021·湖北荊州模擬)已知α為第一象限角，β為第三象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝－eq\f(12,13)，則cos(α＋β)可以為()A．－eq\f(33,65) B．－eq\f(63,65)C．eq\f(33,65) D．eq\f(63,65)答案CD解析∵α為第一象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(3,5)<eq\f(\r(2),2)，∴α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))))＝－eq\f(4,5).∵β為第三象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝－eq\f(12,13)，∴β－eq\f(π,3)可能是第三象限角，也可能是第二象限角，當β－eq\f(π,3)是第三象限角時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3))))＝－eq\f(5,13)，故cos(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))－eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＝eq\f(63,65)；當β－eq\f(π,3)是第二象限角時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3))))＝eq\f(5,13)，故cos(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).2．(2021·聊城二模)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(3π,5)))＝________.答案－eq\f(24,25)解析因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則α＋eq\f(π,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，\f(7π,10)))，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))＝eq\f(4,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(3π,5)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,5)))－π))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,5)))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))＝－2×eq\f(4,5)×eq\f(3,5)＝－eq\f(24,25).答題啟示角的變換是三角函數(shù)變化的一種常用技巧，解題時要看清楚題中角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關(guān)系，把“目標角”變成“已知角”，通過角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲得解決．對點訓練1．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,9)))＝2cosαsineq\f(π,9)，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,9))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,18))))＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4答案B解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,9)))＝2cosαsineq\f(π,9)，∴sinαcoseq\f(π,9)－cosαsineq\f(π,9)＝2cosαsineq\f(π,9)，即sinαcoseq\f(π,9)＝3cosαsineq\f(π,9)，∴tanα＝3taneq\f(π,9)，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,9))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,18))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,9))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,9))))＝eq\f(sinαcos\f(π,9)－cosαsin\f(π,9),sinαcos\f(π,9)＋cosαsin\f(π,9))＝eq\f(tanα－tan\f(π,9),tanα＋tan\f(π,9))＝eq\f(2tan\f(π,9),4tan\f(π,9))＝eq\f(1,2).故選B.2．(2021·鄭州三模)在平面直角坐標系xOy中，α為第四象限角，α的終邊與單位圓O交于點P(x0，y0)，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),3)，則x0＝()A．eq\f(\r(3)＋3\r(2),6) B．eq\f(\r(3)－3\r(2),6)C．eq\f(\r(6)＋3,6) D．eq\f(\r(6)－3,6)答案A解析由題意得cosα＝x0，因為α為第四象限角，即－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－eq\f(5π,6)＋2kπ<α－eq\f(π,3)<－eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(6),3)，則x0＝cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),3)－eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),3)))＝eq\f(\r(3)＋3\r(2),6).故選A．一、單項選擇題1．eq\f(2cos58°＋sin28°,cos28°)＝()A．－eq\r(3) B．1C．eq\r(3) D．2答案C解析原式＝eq\f(2cos30°＋28°＋sin28°,cos28°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos28°－\f(1,2)sin28°))＋sin28°,cos28°)＝eq\f(\r(3)cos28°,cos28°)＝eq\r(3).2．函數(shù)y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最小正周期為()A．2π B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)答案B解析∵y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x，∴函數(shù)的最小正周期為eq\f(2π,2)＝π.3．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小值為()A．eq\r(2) B．－2C．－eq\r(2) D．eq\r(3)答案C解析y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sin2xcoseq\f(π,4)＋cos2xsineq\f(π,4)＋sin2xcoseq\f(π,4)－cos2xsineq\f(π,4)＝eq\r(2)sin2x，所以y的最小值為－eq\r(2).4．(2021·煙臺模擬)直線y＝2x繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l，若l的傾斜角為α，則cos2α的值為()A．eq\f(8＋\r(10),10) B．eq\f(8－\r(10),10)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)答案D解析設(shè)直線y＝2x的傾斜角為β，則tanβ＝2，α＝β－45°，所以tanα＝tan(β－45°)＝eq\f(tanβ－tan45°,1＋tan45°tanβ)＝eq\f(1,3)，cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(4,5).故選D.5．(2021·六盤水市一模)在直角坐標系xOy中，角α的頂點為O，始邊為x軸非負半軸．若點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,9)，sin\f(π,9)))是角α終邊上的一點，則角α的值是()A．eq\f(π,18) B．2kπ＋eq\f(π,18)，k∈ZC．2kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z D．2kπ±eq\f(π,12)，k∈Z答案B解析由1＋coseq\f(π,9)>0，sineq\f(π,9)>0，可得點P在第一象限，又tanα＝eq\f(sin\f(π,9),1＋cos\f(π,9))＝eq\f(2sin\f(π,18)cos\f(π,18),2cos2\f(π,18))＝taneq\f(π,18)，所以α＝2kπ＋eq\f(π,18)，k∈Z.故選B.6．(2022·廣東茂名月考)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝()A．－eq\f(24,25) B．eq\f(12,25)C．－eq\f(12,25) D．eq\f(24,25)答案A解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(4,5)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(3,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝－eq\f(24,25).故選A．7.已知在區(qū)間[0，π]上，函數(shù)y＝3sineq\f(x,2)與函數(shù)y＝eq\r(1＋sinx)的圖象交于點P，設(shè)點P在x軸上的射影為P′，P′的橫坐標為x0，則tanx0的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(4,3)C．eq\f(4,5) D．eq\f(8,15)答案B解析依題意得3sineq\f(x0,2)＝eq\r(1＋sinx0)＝sineq\f(x0,2)＋coseq\f(x0,2)，即2sineq\f(x0,2)＝coseq\f(x0,2)，則taneq\f(x0,2)＝eq\f(1,2)，所以tanx0＝eq\f(2tan\f(x0,2),1－tan2\f(x0,2))＝eq\f(4,3).故選B.8．(2021·鄭州模擬)設(shè)α＝eq\f(7π,18)，若β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，則β＝()A．eq\f(5π,18) B．eq\f(π,3)C．eq\f(7π,18) D．eq\f(4π,9)答案A解析由tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)得sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，即sin(α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，因為β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，α＝eq\f(7π,18)，所以α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由sin(α－β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，得α－β＝eq\f(π,2)－α，所以2α－β＝eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(5π,18).故選A．二、多項選擇題9．當taneq\f(α,2)有意義時，下列等式成立的是()A．taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα) B．taneq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,sinα)C．sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)) D．cosα＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))答案ACD解析taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),2cos2\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)，A成立；taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(2sin2\f(α,2),2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα)，B不成立；sinα＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，C成立；cosα＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，D成立．10．給出下列四個關(guān)系式，其中正確的是()A．sinαsinβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]B．sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]C．cosαcosβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]D．cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]答案BD解析由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，兩式相加可得sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，故B正確；兩式相減可得cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，故D正確；由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，兩式相減可得sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]，兩式相加可得cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，故A，C錯誤．故選BD.11．(2022·福建期末)已知函數(shù)f(x)＝sinx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\f(1,4)，則f(x)的值不可能是()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2答案CD解析f(x)＝sinx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)sinx·cosx－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)·eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),4)sin2x－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cos2x))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，故選CD.12．(2021·長沙質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝4cos2x，則下列說法中正確的是()A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)的最小正周期為πC．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱D．f(x)的值域為[0,4]答案BD解析f(x)＝4cos2x＝2cos2x＋2，該函數(shù)的定義域為R.∵f(－x)＝2cos(－2x)＋2＝2cos2x＋2＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，A錯誤；函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π，B正確；∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)))＋2＝2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))既不是函數(shù)f(x)的最大值，也不是該函數(shù)的最小值，C錯誤；∵－1≤cos2x≤1，∴f(x)＝2cos2x＋2∈[0,4]，D正確．三、填空題13．(2020·江蘇高考)已知sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2,3)，則sin2α的值是________.答案eq\f(1,3)解析∵sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosα＋\f(\r(2),2)sinα))2＝eq\f(1,2)(1＋sin2α)，∴eq\f(1,2)(1＋sin2α)＝eq\f(2,3)，∴sin2α＝eq\f(1,3).14．求值：sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝________.答案1解析sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝sin50°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(3)·\f(sin10°,cos10°)))＝sin50°·eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)＝sin50°·eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),cos10°)＝eq\f(2sin50°·cos50°,cos10°)＝eq\f(sin100°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.15．定義運算|eq\o(\s\up7(a),\s\do5(c))eq\o(\s\up7(b),\s\do5(d))|＝ad－bc.若cosα＝eq\f(1,7)，|eq\o(\s\up7(sinα),\s\do5(cosα))eq\o(\s\up7(sinβ),\s\do5(cosβ))|＝eq\f(3\r(3),14)，0<β<α<eq\f(π,2)，則β＝________.答案eq\f(π,3)解析由題意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14)，又0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2)，故cos(α－β)＝eq\r(1－sin2α－β)＝eq\f(13,14)，又cosα＝eq\f(1,7)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).又0<β<eq\f(π,2)，故β＝eq\f(π,3).16．(2022·龍巖質(zhì)檢)若α∈(0，π)，且3sinα＋2cosα＝2，則taneq\f(α,2)＝________.答案eq\f(3,2)解析解法一：3sinα＋2cosα＝eq\f(6sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\f(6tan\f(α,2)＋2－2tan2\f(α,2),tan2\f(α,2)＋1)＝2，∴3taneq\f(α,2)＋1－tan2eq\f(α,2)＝tan2eq\f(α,2)＋1，解得taneq\f(α,2)＝0或eq\f(3,2)，又α∈(0，π)，∴taneq\f(α,2)≠0，∴taneq\f(α,2)＝eq\f(3,2).解法二：∵3sinα＋2cosα＝2，∴3sinα＝2(1－cosα)，∴6sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝4sin2eq\f(α,2)，∴sineq\f(α,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(α,2)－3cos\f(α,2)))＝0，又0<α<π，∴0<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)，∴sineq\f(α,2)≠0，coseq\f(α,2)≠0，∴2sineq\f(α,2)＝3coseq\f(α,2)，∴taneq\f(α,2)＝eq\f(3,2).四、解答題17．(2021·昆明市高考三診一模)已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3).(1)求證：sinαcosβ＝5cosαsinβ；(2)若已知0<α＋β<eq\f(π,2)，0<α－β<eq\f(π,2)，求cos2α的值．解(1)證明：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3)，∴2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1， ①3sinαcosβ－3cosαsinβ＝1， ②②－①得sinαcosβ－5cosαsinβ＝0，則sinαcosβ＝5cosαsinβ.(2)∵sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，0<α＋β<eq\f(π,2)，0<α－β<eq\f(π,2)，∴cos(α＋β)＝eq\f(\r(3),2)，cos(α－β)＝eq\f(2\