2023屆高考數(shù)學特訓營第4節(jié)-數(shù)列求和

第六單元第4節(jié)數(shù)列求和2023屆1《高考特訓營》·數(shù)學課程標準解讀命題方向數(shù)學素養(yǎng)1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法，如裂項相消求和、錯位相減求和.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決與前n項和相關(guān)的問題1.分組轉(zhuǎn)化法求和數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模2.錯位相減法求和3.裂項相消法求和0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練1．數(shù)列求和的基本類型及適用條件求和方法適用條件基本公式法數(shù)列是等差、等比或可以拆分成等差和等比數(shù)列時，直接應(yīng)用求和公式求和.(1)an＝kn＋b，利用等差數(shù)列前n項和公式求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比數(shù)列前n項和公式求解倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法

求和方法適用條件錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列(公差不為0)和一個等比數(shù)列(公比不為1)的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和

求和方法適用條件分組轉(zhuǎn)化法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減并項求和法一個數(shù)列的前n項和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解[注意]

1.在應(yīng)用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負號；結(jié)論中形如an，an＋1的式子應(yīng)進行合并．2．在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項．探究1：用裂項法求和有何規(guī)律？提示：(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止(拆后求和，中間消，兩邊余)．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項(對稱剩余，符號相反)．探究2：在進行數(shù)列求和時，哪些情況可以應(yīng)用公式實施并項求和？應(yīng)如何操作？提示：(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解．(2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時，分別使用等差或等比數(shù)列的求和公式．(3)等差數(shù)列各項加上絕對值，等差數(shù)列乘(－1)n.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求和．

【例2】數(shù)列{(－1)n·n}的前2022項和S2022為______．提示：S2022＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2021＋2022)＝1＋1＋…＋1＝1011.2．[思維拓展]數(shù)列中的奇偶項求和解決奇偶項問題關(guān)鍵是搞清數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等．(1)與奇偶項有關(guān)的求值問題．思維卡殼點看到繁雜的式子，不知從何下手，進行對數(shù)運算后不會裂項轉(zhuǎn)化求和應(yīng)對策略將數(shù)列{an}的通項公式代入{bn}的通項公式，利用裂項法求和，但需對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論

答案：[2，3]

(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________．答案：(n－1)2n＋1＋2解析：因為an＝n·2n，所以Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，

①所以2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，

②所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.【易錯點撥】利用錯位相減法求和時出現(xiàn)符號錯誤或不能準確“錯項對齊”致誤．

C3．[模擬演練](2022·四川省高三月考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且P(n，an)為函數(shù)y＝2x＋2x－1圖象上的一點，則Sn＝(

)A．n2＋2n＋1－2 B．n2＋2n＋1C．n2－2 D．n2＋2n解析：因為P(n，an)為函數(shù)y＝2x＋2x－1圖象上的一點，所以an＝(2n－1)＋2n，則A

02能力特訓特訓點1特訓點2特訓點3[題組·沖關(guān)]1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，則S15＋S22－S31的值是(

)A．13 B．76C．46 D．－76特訓點1分組轉(zhuǎn)化法求和【自主沖關(guān)類】D解析：因為Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1·(4n－3)，所以S15＝1＋(－5＋9)＋(－13＋17)＋…＋(－53＋57)＝1＋4×7＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝1＋(－5＋9)＋(－13＋17)＋…＋(－117＋121)＝1＋4×15＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.故選D.2．(2022·江西省高三期末)若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a60等于(

)A．60 B．－60C．90 D．－90解析：由題意，數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a2n＋a2n－1＝6n－2－(6n－5)＝3，所以a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a59＋a60)＝30×3＝90.故選C.C(1)記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)求{an}的前20項和．解：(1)由題設(shè)可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5，又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2(k∈N*)，故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3，所以{bn}為等差數(shù)列，故bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1.(2)設(shè){an}的前20項和為S20，則S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，因為a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1，所以S20＝2(a2＋a4＋…＋a18＋a20)－10＝2(b1＋b2＋…＋b9＋b10)－10＝[錦囊·妙法]1．分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

特訓點2裂項相消法求和【多維考向類】

[解題指導]構(gòu)造數(shù)列并按照定義證明?寫出bn，an，cn的通項?應(yīng)用裂項求和法求和．解：(1)因為an＋1＝2an－n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)．又a1＝3，所以a1－1＝2，所以數(shù)列{an－n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)知，an－n＝2·2n－1＝2n.所以bn＋1＝bn＋an－n＝bn＋2n，即bn＋1－bn＝2n.b2－b1＝21，b3－b2＝22，b4－b3＝23，…bn－bn－1＝2n－1.

1．裂項法求和的基本步驟

典例4

(2019·天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通項公式；特訓點3錯位相減法求和【師生共研類】[解題指導]根據(jù)等式方程求基本量寫通項?寫出數(shù)列{cn}通項?根據(jù)分組和錯位相減法求和

錯位相減法求數(shù)列{an}的前n項和的步驟及注意事項(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn.(2)基本步驟：(3)注意事項：①在寫出Sn與qSn的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．1．(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明．(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.解：(1)a2＝5，a3＝7，猜想an＝2n＋1，由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，…a2－5＝3(a1－3)．因為a1＝3，所以an＝2n＋1.(2)由(1)得2nan＝(2n＋