2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷含詳解

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．填空題1．（3分）三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)O，空間有一點(diǎn)P到三個面的距離分別為3、4、5，則OP的長為．2．（3分）已知球的表面積為16π，則該球的體積為．3．（3分）隨機(jī)投擲一枚均勻的硬幣兩次，則兩次都正面朝上的概率為．4．（3分）半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為．5．（3分）已知正四棱臺的側(cè)棱長為3，兩底面邊長分別為2和4，則該四棱臺的體積為．6．（3分）已知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，圓臺的高為2，則該圓臺的側(cè)面積為．7．（3分）正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，異面直線AB′與BD所成的角為．8．（3分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線C1D與平面ACC1A1所成角大小為．9．（3分）△ABC的三邊AB＝10，BC＝12，CA＝14，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，沿DF、EF、ED將△ADF，△CEF，△BED折起，使得A、B、C重合于P，則四面體P﹣DEF的體積為．10．（3分）棱長為6的正方體內(nèi)有一個棱長為x的正四面體，且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則x的最大值為．11．（3分）已知、是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對任意x、y∈R，|﹣（x+y）|≥|﹣（x0+y0）|＝1（x0、y0∈R），則＝．12．（3分）如圖，已知三個兩兩互相垂直的半平面α，β，γ交于點(diǎn)O，矩形ABCD的邊BC在半平面γ內(nèi)，頂點(diǎn)A，D分別在半平面α，β內(nèi)，AD＝2，AB＝3，AD與平面α所成角為，二面角A﹣BC﹣O的余弦值為，則同時與半平面α，β，γ和平面ABCD都相切的球的半徑為．二．選擇題13．（3分）投擲一枚骰子，下列事件中是對立事件的是（）A．向上的點(diǎn)數(shù)是1與向上的點(diǎn)數(shù)是5 B．向上的點(diǎn)數(shù)小于3與向上的點(diǎn)數(shù)大于3 C．向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù) D．向上的點(diǎn)數(shù)大于3與向上的點(diǎn)數(shù)小于514．（3分）設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，） C．（1，） D．（1，）15．（3分）已知a、b、c是空間中的三條不重合的直線，α、β、γ是三個不同的平面，下列命題中真命題是（）A．若a∥α，α∥β，則a∥β B．若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ C．若a⊥b，b⊥c，則a∥c D．若b⊥β，b⊥γ，則β∥γ16．（3分）已知正方體ABCD﹣A'B'C'D'的棱長為1，點(diǎn)M，N分別為線段AB'，AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)T在平面BCC'B'內(nèi)，則|MT|+|NT|的最小值是（）A． B． C． D．1三．解答題17．如圖，在圓柱OO1中，它的軸截面ABB1A1是一個邊長為2的正方形，點(diǎn)C為棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)C1為弧A1B1的中點(diǎn)．（1）求異面直線OC與A1C1所成角的大小；（2）求直線CC1與圓柱OO1底面所成角的正弦值．18．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的大?。?9．如圖，三棱錐P﹣ABC中，底面ABC是正三角形，PA⊥底面ABC，AG⊥平面PBC，垂足為G．（1）G是否可能是△PBC的垂心？請說明理由；（2）若G恰是△PBC的重心，且△ABC的邊長為2，求點(diǎn)C到平面ABG的距離．20．已知平面向量中有如下兩個結(jié)論：結(jié)論1：若、是不共線的兩個平面向量，，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是λ+μ＝1；結(jié)論2：若、是不共線的兩個平面向量，，若點(diǎn)P在與AB平行的直線上，則λ+μ＝k（k為定值）．將上述兩個結(jié)論推廣至空間向量（無需寫出推廣結(jié)論）解決以下問題：已知、、是兩兩垂直的單位向量，P是空間中一點(diǎn)．（1）若且x+2y+4z＝1，求的最小值；（2）若且滿足，求動點(diǎn)P的軌跡所圍成的區(qū)域的體積．21．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，AD＝2，AB＝4，將△ADM沿DM翻折，在翻折過程中A點(diǎn)記為P點(diǎn)．（1）從△ADM翻折至△NDM的過程中，求點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡長度；（2）翻折過程中，二面角P﹣BC﹣D的平面角為θ，求tanθ的最大值．

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．填空題1．解：根據(jù)題意，過點(diǎn)P分別作三個平面的垂線，垂足分別為B、D、F，∵三個平面兩兩垂直，∴分別以PB、PD、PF為長、寬、高，作長方體OABC﹣EDPF，如圖所示．∵點(diǎn)P到三個面的距離分別為3、4、5，∴長方體的對角線長為＝，即OP的長為．故答案為：52．解：一個球的表面積是16π，所以球的半徑為：2，所以這個球的體積為：＝．故答案為：．3．解：分別用0和1表示硬幣正面朝上和反面朝上，投擲兩次的所有可能情況為（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），共4種，而兩次正面朝上的情況為（0，0），只有1種，所以所求事件的概率為．故答案為：．4．解：半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則圓錐的母線長為R，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝πR，即r＝1，∴圓錐的高h(yuǎn)＝＝，∴圓錐的體積V＝＝，故答案為：．5．解：如圖所示，正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)下底面中心為O，上底面中心為O1，則OO1為正棱臺的高，過點(diǎn)B1作B1E⊥BD，則B1E＝OO1，在Rt△BEB1中，BB1＝3，BE＝，所以B1E＝，又，所以該四棱臺的體積為＝．故答案為：．6．解：由題意可得，AO1＝2，BO2＝4，O1O2＝AC＝2，所以BC＝BO2＝CO2＝2，故圓臺的母線長為，所以圓臺的側(cè)面積為．故答案為：．7．解：如圖，連接B′D′，則BD∥B′D′，∴∠AB′D′即為異面直線AB′與BD所成角，連接AD′，可得△AB′D′為等邊三角形，則∠AB′D′＝60°．故答案為：60°．8．解：因為ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，所以BD⊥AC，BD⊥C1C，又因為C1C∩AC＝C，所以BD⊥平面ACC1A1，所以C1E是C1D在平面ACC1A1內(nèi)投影，所以C1D與平面ACC1A1所成角為∠DC1E，因為DE＝＝C1D，所以∠DC1E＝30°，故答案為：30°．9．解：由題意知，PE＝DF＝6，DE＝PF＝7，EF＝PD＝5，將四面體P﹣DEF嵌入如圖所示的長方體中，設(shè)長方體的三條棱長分別為a，b，c，則，解得，四面體P﹣DEF的體積為長方體體積減去四個三棱錐，且所有三棱錐的體積均相同均為長方體的，∴V＝（1﹣4×）×××＝2．故答案為：2．10．解：由題意得：該四面體在棱長為6的正方體的內(nèi)切球內(nèi)，∴該四面體內(nèi)接于球時棱長最大，∵棱長為6的正方體的內(nèi)切球半徑R＝3，∴（)2+(﹣3)2＝32,解得x＝2．故答案為：2．11．解：因為、是空間單位向量，，故的夾角為，故設(shè)，，另設(shè)，由，得，解得，故，所以|﹣（x+y）|＝|（2，，c）﹣x（1，0，0）﹣y（，，0）|＝|（2﹣x﹣，，c）|＝＝，令f（x）＝x2+（y﹣4）x+y2﹣5y+7+c2，顯然當(dāng)x＝時取最小值，即f（x）min＝f（）＝+y2﹣5y+7+c2＝+c2＝1，所以當(dāng)y＝2，x＝1，c＝±1時，原式取得最小值1，此時x0＝1，y0＝2，c＝±1，所以＝1+2+＝．故答案為：．12．解：如圖所示，考查矩形ABCD所在的平面，將其補(bǔ)形為一個長方體，然后以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，由AD＝2，直線AD與平面α所成角為可得，作AP⊥底面于點(diǎn)P，很明顯AD⊥平面APB，從而BC⊥BP，∠PBA即為二面角A﹣BC﹣O的平面角，其余弦值為，則，故，，從而：，設(shè)平面ABCD的法向量，則：，令x＝2可得y＝2，z＝1，從而，設(shè)平面ABCD與x，y，z軸的交點(diǎn)分別為：P1（x，0，0），P2（0，y，0），P3（0，0，z），則：，∴，，∴，，∴，原問題進(jìn)一步等價于求三棱錐O﹣P1P2P3的內(nèi)切球半徑，由于，故△P1P2P3是等腰三角形，其面積為：，三棱錐的表面積為：，其體積為：，設(shè)外接球半徑為R，利用等體積法有：，即，∴．同理，當(dāng)球在三棱錐外面與四個面都相切時可得球的半徑為．故答案為：或．二．選擇題13．解：對于A，向上的點(diǎn)數(shù)是1與向上的點(diǎn)數(shù)是5不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥不對立事件，故A錯誤；對于B，向上的點(diǎn)數(shù)小于3與向上的點(diǎn)數(shù)大于3不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥不對立事件，故B錯誤；對于C，向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)既不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，是對立事件，故C正確；對于D，向上的點(diǎn)數(shù)大于3與向上的點(diǎn)數(shù)小于5能同時發(fā)生，不是互斥事件，更不是對立事件，故D錯誤．故選：C．14．解：設(shè)四面體的底面是BCD，BC＝a，BD＝CD＝1，頂點(diǎn)為A，AD＝在三角形BCD中，因為兩邊之和大于第三邊可得：0＜a＜2（1）取BC中點(diǎn)E，∵E是中點(diǎn)，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE＝ED＝∵兩邊之和大于第三邊∴＜2得0＜a＜（負(fù)值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．另解；可設(shè)AD＝a，AB＝AC＝BD＝CD＝1，BC＝，可得△ABC、△BCD為等腰直角三角形，可得AE＝DE＝，即有0＜a＜，故選：A．15．解：若a∥α，α∥β，則a∥β或a?β，故A錯誤；若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ或α與γ相交，故B錯誤；若a⊥b，b⊥c，則a∥c或a與c相交或a與c異面，故C錯誤；若b⊥β，b⊥γ，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得β∥γ，故D正確．故選：D．16．解：A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為E，N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為N'，設(shè)d為異面直線AB'與CE之間的距離，則|MT|+|NT|＝|MT|+|N'T|≥|MN'|≥d，因為CE∥DB，DB∥D′B′，所以CE∥B′D′，又因為△AB′D′為正三角形，所以∠AB′D′＝60°，所以直線AB'與CE所成角為60°，四面體AB'CE的體積，又因為，所以，解得，所以|MT|+|NT|的最小值為，故選：B．三．解答題17．解：（1）因為在圓柱OO1中，軸截面ABB1A1是正方形，點(diǎn)C1為弧A1B1的中點(diǎn)，所以O(shè)1C1、O1O、O1B1兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知O（0，0，﹣2），C（0，1，﹣1），A1（0，﹣1，0），C1（1，0，0），＝（0，1，1），＝（1，1，0）設(shè)異面直線OC與A1C1所成角的大小為θ，，因為?＝1，||＝||＝，所以cosθ＝，所以θ＝60°．（2）因為＝（1，﹣1，1），圓柱OO1底面的法向量是＝（0，0，1），所以直線CC1與圓柱OO1底面所成角的正弦值為＝＝．18．解：方法一（Ⅰ）記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE，∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE（Ⅱ）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF＝A，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角在Rt△ASB中，AS＝＝，AB＝，∴，∴二面角A﹣DF﹣B的大小為60°方法二（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AC∩BD＝N，連接NE，則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0，0，1），∴＝（，又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是（）、（∴＝（∴＝且NE與AM不共線，∴NE∥AM又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDF（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF∴為平面DAF的法向量∵＝（?＝0，∴＝（?＝0得，∴NE為平面BDF的法向量∴cos＜＞＝∴的夾角是60°即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°19．解：（1）假設(shè)G為△PBC的垂心，則BG⊥PC，因為AG⊥平面PBC，PC?平面PBC，則AG⊥PC，又AG∩BG＝G，所以PC⊥平面ABG，又AB?平面ABG，則PC⊥AB，因為PA⊥底面ABC，AB?平面ABC，故PA⊥AB，又PA∩PC＝P，則AB⊥平面PAC，因為AC?平面PAC，故AB⊥AC，這與△ABC為正三角形矛盾，故假設(shè)不成立，所以G不可能是△PBC的垂心；（2）延長BG交PC于點(diǎn)E，連接PG并延長交BC于點(diǎn)F，因為G是△PBC的重心，則E，F(xiàn)分別為PC，BC的中點(diǎn)，且PG＝2FG，連接AF，因為△ABC是邊長為2的正三角形，則AF＝，因為PA⊥底面ABC，AF?平面ABC，則PA⊥AF，又AG⊥平面PBC，PF?平面PBC，則AG⊥PF，所以AF2＝FG?FP＝3FG2，則FG＝1，PF＝3，所以，，，故點(diǎn)G到平面ABC的距離為，由等體積法VC﹣ABG＝VG﹣ABC，設(shè)點(diǎn)C到平面ABG的距離為d，所以，解得d＝，故點(diǎn)C到平面ABG的距離為．20．解：（1）設(shè)＝（1，0，0），＝（0，1，0），＝（0，0，1），則＝x+y+z＝（x，y，z），且x+2y+4z＝1，則＝，又x+2y+4z＝1表示一個平面，表示空間中的點(diǎn)（x，y，z）到點(diǎn)D（1，1，0）的距離，這樣的點(diǎn)在以點(diǎn)D（1，1，0）為球心的球面上，所以的最小值是球與此平面相切時切點(diǎn)與D點(diǎn)的距離，即點(diǎn)D到此平面的距離，又點(diǎn)D（1，1，0）到平面x+2y+4z＝1的距離d＝＝＝，所以的最小值為；（2）如圖，由且滿足，可得動點(diǎn)P的軌跡所圍成的區(qū)域是介于