高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修二）第18講514用樣本估計(jì)總體

5.1.4用樣本估計(jì)總體TOC\o"13"\h\z\u題型1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 2◆類型1用樣本估計(jì)總體人數(shù) 2◆類型2用樣本方差估計(jì)總體方差 7◆類型3分位數(shù) 13題型2用樣本的分布估計(jì)總體的分布 18題型3雷達(dá)圖問(wèn)題 24知識(shí)點(diǎn)一.用樣本估計(jì)總體用樣本估計(jì)總體：前提：樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法合理.（2）必要性：①在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本估計(jì)總體，這樣能節(jié)省人力和物力等.②有時(shí)候總體的數(shù)字特征不可能獲得，只能用樣本估計(jì)總體.（3）誤差：估計(jì)一般是有誤差的．但是，大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性將越來(lái)越大.注意：特別地，樣本平均數(shù)（也稱為樣本均值）、方差（也稱為樣本方差）與總體對(duì)應(yīng)的值相差不會(huì)太大。當(dāng)總體的數(shù)字特征不可能獲得時(shí)，只能用樣本的數(shù)字特征去估計(jì)總體的數(shù)字特征。估計(jì)一般是有誤差的。但是，大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性將越來(lái)越大。一般來(lái)說(shuō)，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可。2.用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征（1）一般來(lái)說(shuō)，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可.（2）樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．以分兩層抽樣的情況為例.條件假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s2；第二層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，方差為t2.結(jié)論如果記樣本均值為a，樣本方差為b2，則a=知識(shí)點(diǎn)二.用樣本的分布來(lái)估計(jì)總體的分布一般情況下，如果樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的分布與總體分布會(huì)差不多．特別地，每一組的頻率與總體對(duì)應(yīng)的頻率相差不會(huì)太大.注意：如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為π1，π2，…，πm，樣本在每一組對(duì)應(yīng)的頻率記為p1，P2，…，Pm，一般來(lái)說(shuō)，1ni=1n注意：一般是利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率近似地估計(jì)總體在所求范圍內(nèi)的頻率。所以，首先樣本抽取要合理科學(xué)，其次頻率分布表（直方圖）要正確繪制，或者找出題目所給頻率分布表（直方圖）中的相關(guān)信息，最后由樣本分布估計(jì)出總體分布情況。知識(shí)點(diǎn)三.“大數(shù)據(jù)”簡(jiǎn)介凡是可以被“數(shù)據(jù)化”的信息載體都可以看成數(shù)據(jù)．信息載體包括的數(shù)據(jù)量達(dá)到一定的規(guī)模或者達(dá)到一定的復(fù)雜程度，都可以被認(rèn)為是"大數(shù)據(jù)".題型1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征◆類型1用樣本估計(jì)總體人數(shù)【例題11】（·湖北·高考真題（文））為了了解某學(xué)校學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)此圖，估計(jì)該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為（

）A．300 B．360 C．420 D．450【答案】B【分析】由題意，根據(jù)頻率分布直方圖得出高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)在總體中所占的比例，再根據(jù)總?cè)藬?shù)是2000，即可求出人數(shù)得出答案.【詳解】由圖可知，高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)在總體中所占的比例是2×(0.04+0.035+0.015)=0.18，故該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為2000×0.18=360，故選：B.【變式11】1．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）某校1500名學(xué)生參加交通安全知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．頻率分布直方圖中a的值為0.0045B．估計(jì)這100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為73C．估計(jì)這100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為80D．估計(jì)總體中成績(jī)落在70,80內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為525【答案】D【分析】先根據(jù)頻率之和為1可得a=0.005，進(jìn)而可得每組的頻率，再結(jié)合統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?0×2a+3a+7a+6a+2a=1，可得對(duì)于選項(xiàng)B，可知每組的頻率依次為0.10,0.15,0.35,0.30,0.10，設(shè)100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為x，則0.10+0.15+(x?70)×0.035=0.5，解得x=77.14，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?0,80的頻率最大，所以這100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為75，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，總體中成績(jī)落在70,80內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.35×1500=525，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【變式11】2．（2022·全國(guó)·益陽(yáng)平高學(xué)校高一期末）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，為全面貫徹黨的教育方針，提高學(xué)生的審美水平和人文素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展．某學(xué)校高一年級(jí)舉辦了班級(jí)合唱活動(dòng)．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，并邀請(qǐng)他們?yōu)榇舜位顒?dòng)評(píng)分（單位：分，滿分100分），對(duì)評(píng)分進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)B．學(xué)生評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為85C．學(xué)生評(píng)分的眾數(shù)的估計(jì)值為85D．若該學(xué)校有3000名學(xué)生參與了評(píng)分，則估計(jì)評(píng)分超過(guò)80分的學(xué)生人數(shù)為1200【答案】C【分析】利用頻率分布直方圖，計(jì)算頻率、中位數(shù)、眾數(shù)即可逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，a=0.1?0.006×2?0.020?0.040=0.028對(duì)于B，學(xué)生評(píng)分在[80,100]內(nèi)的頻率為0.6，則學(xué)生評(píng)分的中位數(shù)t在[80,90)內(nèi)，則有(t?80)×0.04=0.1，解得對(duì)于C，學(xué)生評(píng)分在[80,90)的頻率最大，則學(xué)生評(píng)分的眾數(shù)的估計(jì)值為85，C正確；對(duì)于D，因評(píng)分超過(guò)80分的頻率為0.6，則估計(jì)評(píng)分超過(guò)80分的學(xué)生人數(shù)為3000×0.6=1800，D不正確.故選：C【變式11】3．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀?duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率10,15100.2515,2024n20,25mp25,3020.05合計(jì)M1

(1)寫出表中M、p及圖中a的值（不需過(guò)程）；(2)若該校高三年級(jí)學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間10,15上的人數(shù)；(3)估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)．（結(jié)果精確到0.01）【答案】(1)M=40，p=0.1，a=0.12(2)60人(3)中位數(shù)是17.08．【分析】（1）根據(jù)頻率分布表求出M、n、p，結(jié)合頻率分布直方圖求出a；（2）由頻率估計(jì)人數(shù)；（3）根據(jù)中位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】（1）由頻率分布表可得M=10÷0.25=40，n=24÷40=0.6，所以p=1?0.25?0.6?0.05=0.1，a=0.6÷5=0.12．（2）因?yàn)樵撔８呷昙?jí)學(xué)生有240人，在10,15上的頻率是0.25，所以估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間上的人數(shù)為240×0.25=60人．（3）因?yàn)?.25<0.5且0.25+0.6>0.5，所以中位數(shù)在區(qū)間15,20上，因?yàn)橹形粩?shù)及前面的數(shù)的頻率之和為0.5，設(shè)樣本中位數(shù)為x，則0.25+0.12x?15=0.5，解得估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)是17.08．【變式11】4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某校240名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)選擇題測(cè)驗(yàn)（共10題每題1分），隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢撼煽?jī)1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人數(shù)6002423210(1)求樣本的均值；(2)請(qǐng)問(wèn)估計(jì)有多少學(xué)生可達(dá)7分（包括7分）以上？【答案】(1)4.6(2)72【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；（2）先求出抽樣的20名學(xué)生中，可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生頻率，再估計(jì)可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生人數(shù)即可.【詳解】（1）樣本的均值為：120（2）抽樣的20名學(xué)生中，可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生頻率為3+2+120所以估計(jì)可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生有240×3◆類型2用樣本方差估計(jì)總體方差【方法總結(jié)】在實(shí)際問(wèn)題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問(wèn)題，還要研究其偏離平均值的離散程度（即方差或標(biāo)準(zhǔn)差）.方差大說(shuō)明取值離散程度大，方差小說(shuō)明取值離散程度小或者取值集中、穩(wěn)定.）【例題12】（2022下·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）一所初級(jí)中學(xué)為了估計(jì)全體學(xué)生的平均身高和方差，通過(guò)抽樣的方法從初一年級(jí)隨機(jī)抽取了30人，計(jì)算得這30人的平均身高為154cm，方差為30；從初二年級(jí)隨機(jī)抽取了40人，計(jì)算得這40人的平均身高為167cm，方差為20；從初三年級(jí)隨機(jī)抽取了30人，計(jì)算得這30人的平均身高為170cm，方差為10．依據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用樣本的方差估計(jì)全校學(xué)生身高的方差，則全校學(xué)生身高方差的估計(jì)值為．【答案】64.4【分析】利用方差及平均數(shù)公式可得s2【詳解】初一學(xué)生的樣本記為x1，x2，…，x30，方差記為s12，初二學(xué)生的樣本記為y1，y2，…，y40，方差記為s2設(shè)樣本的平均數(shù)為ω，則ω=30×154+40×167+30×170設(shè)樣本的方差為s2則s=又i=130故i=130同理i=1402y因此，s==1故答案為：64.4.【變式12】1．（多選）（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）為響應(yīng)自己城市倡導(dǎo)的低碳出行，小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時(shí)間（單位：分鐘），得到下列兩個(gè)頻率分布直方圖：基于以上統(tǒng)計(jì)信息，則（

）

A．騎車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值22分鐘B．坐公交車時(shí)間的40%分位數(shù)的估計(jì)值是19分鐘C．坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值D．坐公交車時(shí)間的方差的估計(jì)值大于騎車時(shí)間的方差的估計(jì)值【答案】BCD【分析】A根據(jù)頻率分布直方圖中位數(shù)計(jì)算方法可得；B選項(xiàng)根據(jù)頻率分布直方圖百分位數(shù)計(jì)算方法可得；C選項(xiàng)根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)計(jì)算方法可得；D選項(xiàng)根據(jù)頻率分布直方圖觀察數(shù)據(jù)集中程度可得.【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)騎車時(shí)間的中位數(shù)為m，由頻率分布直方圖可知0.1×2+m?20得m=21.5，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)坐公交車時(shí)間的40%分位數(shù)的估計(jì)值是y，由頻率分布直方圖可知0.025×2+0.05×2+0.075×2+n?18得n=19，故B正確；C選項(xiàng)：坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值xx騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值y故x<選項(xiàng)D：由頻率分布直方圖觀察可知，騎車時(shí)間的數(shù)據(jù)更集中，所以坐公交車時(shí)間的方差的估計(jì)值大于騎車時(shí)間的方差的估計(jì)值.故D正確.故選：BCD【變式12】2．（2022·山東淄博·高一期末）某校有高一學(xué)生1000人，其中男女生比例為3:2，為獲得該校高一學(xué)生的身高（單位：cm）信息，采用隨機(jī)抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計(jì)算得到男生樣本的均值為172，標(biāo)準(zhǔn)差為3，女生樣本的均值為162，標(biāo)準(zhǔn)差為4．(1)計(jì)算總樣本均值，并估計(jì)該校高一全體學(xué)生的平均身高；(2)計(jì)算總樣本方差．【答案】(1)167；168(2)37.5【分析】（1）根據(jù)男女生的樣本均值計(jì)算樣本均值；根據(jù)男女生的平均身高得到全校所有學(xué)生的身高總和，再求學(xué)生身高的平均值；（2）根據(jù)男女生的樣本均值和方差，直接計(jì)算樣本總體的方差即可.（1）把男生樣本記為x1,x2,把女生樣本記為y1,y2,把樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2；高一全體學(xué)生的身高均值記為Z根據(jù)平均數(shù)的定義，總樣本均值為：z=150高一全體學(xué)生的身高均值為：Z=600x（2）根據(jù)方差的定義，總樣本方差為：s=1由i=125(同理，j=125所以，總的樣本方差為37.5.【變式12】3．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某次考試后，年級(jí)組抽取了100名同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算參數(shù)a的值，并估算這100名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)，結(jié)果保留至百分位；(2)已知這100名同學(xué)中，成績(jī)位于80,90內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為12，成績(jī)位于90,100內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為10，為了分析學(xué)優(yōu)生的成績(jī)分布情況，請(qǐng)估算成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)的成績(jī)的平均數(shù)和方差．【答案】(1)a=1(2)平均數(shù)87.5分，方差30.25．【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列方程求a，然后直接求解平均數(shù)和中位數(shù)即可；（2）先求出平均數(shù)，在利用方差公式計(jì)算方差即可.【詳解】（1）依題意，20a+30a+70a+60a+20a=1，得a=1∴各組的頻率依次為0.1,0.15,0.35,0.3,0.1，∴平均數(shù)為0.1×55+0.15×65+0.35×75+0.3×85+0.1×95=76.50分，中位數(shù)為70+10×0.25（2）分?jǐn)?shù)在80,90區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為100×0.3=30，分?jǐn)?shù)在90,100區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為100×0.1=10，所以成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為30×85+10×9530+10方差為30×12+【變式12】4.（2023下·廣西·高一期末）某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)在40,50的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；(3)已知樣本中男生與女生的比例是3:1，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請(qǐng)計(jì)算出總體的方差．【答案】(1)72.5(2)20人(3)117【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（3）由總樣本的均值與方差的公式計(jì)算求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，設(shè)分?jǐn)?shù)中位數(shù)為x，則有0.04x?70=0.1，解得所以分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.5；（2）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在50,90的頻率為0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9在樣本中分?jǐn)?shù)在50,90的人數(shù)為100×0.9=90（人），在樣本中分?jǐn)?shù)在40,90的人數(shù)為95人，所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在40,90的人數(shù)為400×0.95=380（人），總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人；（3）總樣本的均值為34所以總樣本的方差為s總◆類型3分位數(shù)【例題13】（2023下·廣西·高一統(tǒng)考期末）某市為了了解該市的“全民健身運(yùn)動(dòng)”的開展情況，從全體市民中隨機(jī)調(diào)查了100位市民每天的健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間（健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間是考查“全民健身運(yùn)動(dòng)”情況的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40（單位：分鐘）中，其頻率直方圖如圖所示，估計(jì)市民健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)是（

）

A．29分鐘 B．27分鐘 C．29.5分鐘 D．30.5分鐘【答案】B【分析】首先分析可得70百分位數(shù)一定位于25,30內(nèi)，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間在30分鐘以下的比例為0.01+0.01+0.04+0.06+0.05×5=0.85=85在25分鐘以下的比例為85%?0.05×5=60%，因此70由25+5×0.7?0.60.85?0.6=27故選：B【變式13】1．（2022·河北唐山·高一期末）通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到50戶居民的月用水量數(shù)據(jù)（單位：t），這50戶居民平均用水量是8t，方差是36.其中用水量最少的5戶用水量為2t，3t，4t，5t，6t.用水量最多的5戶用水量為15t，16t，20t，23t，26t.(1)求50個(gè)樣本數(shù)據(jù)的7%和96%分位數(shù)；(2)估計(jì)其它40戶居民的月用水量的平均數(shù)和方差.【答案】(1)7%分位數(shù)為5，96%分位數(shù)為21.5(2)平均數(shù)7，方差為21.6【分析】（1）由百分位數(shù)的定義，直接求解；（2）先求出40戶居民的月總用水量，利用平均數(shù)的定義直接求解；利用方差與期望的關(guān)系式DX(1)50×7%=3.5，則7%分位數(shù)是第4項(xiàng)數(shù)據(jù)，為5.50×96%=48，則96%分位數(shù)是第48項(xiàng)和49項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為21.5.(2)設(shè)其它40個(gè)樣本為x1，x2，x3，x4，…，i=1所以i=140x50戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)的方差記為s12，所求40戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)的方差記為s解得i=140x所以這40戶的用水量的平均數(shù)7，方差為21.6.【變式13】2．（2023下·天津和平·高一統(tǒng)考期末）為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（

）

A．a(chǎn)的值為0.005B．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75C．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86D．估計(jì)成績(jī)低于60分的有25人【答案】D【分析】對(duì)A：根據(jù)頻率之和為1，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，計(jì)算即可；對(duì)B：找出面積最大的小長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)的區(qū)間，求得眾數(shù)即可；對(duì)C：根據(jù)百分位數(shù)定義，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對(duì)D：求得成績(jī)低于60分的頻率，結(jié)合總?cè)藬?shù)計(jì)算即可.【詳解】對(duì)A：10×2a+3a+3a+6a+5a+a即10×20a=1，a=0.005，故A正確；對(duì)B：由面積最大的小長(zhǎng)方形可知，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；對(duì)C：前4組頻率之和為14×0.005×10=0.7，前5組頻率之和為19×0.005×10=0.95，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為x，則0.7+x?80×0.025=0.85，對(duì)D：成績(jī)低于60分的頻率為0.025×10=0.25，故估計(jì)成績(jī)低于60分的有1000×0.25=250人，D錯(cuò)誤.故選：D【變式13】3．（2022·安徽·渦陽(yáng)縣第九中學(xué)高一期末）某縣在創(chuàng)文明縣城期間安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解市民的學(xué)習(xí)成果，該縣從某社區(qū)隨機(jī)抽取了160名市民作為樣本進(jìn)行測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分為100分，將數(shù)據(jù)收集，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示：(1)求a的值；(2)估計(jì)此樣本中的160名市民成績(jī)的平均數(shù)x和第75百分位數(shù).【答案】(1)0.015(2)74,82.5【分析】（1）根據(jù)所有頻率和為1，計(jì)算求解；（2）以同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表結(jié)合平均數(shù)的定義求解，根據(jù)百分位數(shù)的定義運(yùn)算求解．（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得：每組的頻率依次為0.05,0.1,10∵0.05+0.1+10a+0.4+0.2+0.1=1（2）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表則x=0.05×45+0.1×55+0.15×65+0.4×75+0.2×85+0.1×95=74設(shè)第75百分位數(shù)為m∈∴m【變式13】4．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）為激發(fā)中學(xué)生對(duì)天文學(xué)的興趣，某校舉辦了“2022～2023學(xué)年中學(xué)生天文知識(shí)競(jìng)賽”，并隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．直方圖中x的值為0.035B．估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)不低于80分C．估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分D．在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間60,70的學(xué)生數(shù)為10【答案】B【分析】根據(jù)各頻率和為1可求x=0.03，故可判斷A的正誤，根據(jù)公式可求均值，故可判斷B的正誤，根據(jù)前4組的頻率之和可求60百分位數(shù)，故可判斷C的正誤，根據(jù)區(qū)間60,70對(duì)應(yīng)的頻率可求對(duì)應(yīng)的人數(shù)，故可判斷D的正誤.【詳解】由頻率分布直方圖可得100.005+0.010+0.015+x+0.04故x=0.03，故A錯(cuò)誤.由頻率分布直方圖可得全校學(xué)生的平均成績(jī)估計(jì)為：1055×0.005+65×0.01+75×0.015+85×0.03+95×0.04故B正確.前4組的頻率為100.005+0.010+0.015+0.03故全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)大于80，故C錯(cuò)誤.區(qū)間60,70對(duì)應(yīng)的頻率為10×0.01=0.1，故對(duì)應(yīng)的人數(shù)為200×0.1=20，故D錯(cuò)誤.故選：B.題型2用樣本的分布估計(jì)總體的分布【例題2】（2022·陜西·西安市第七十五中學(xué)高一階段練習(xí)）某校為了解高二年級(jí)學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的分布情況，從該年級(jí)的1120名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，發(fā)現(xiàn)都在[80,150]內(nèi)現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績(jī)按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120)，[120,130),[130,140),[140,150]分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.040 B．樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為0.3C．總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為123 D．總體分布在[90,100)的頻數(shù)一定與總體分布在[100,110)的頻數(shù)相等【答案】C【分析】由頻率分布直方圖先計(jì)算出a值，判斷A，然后計(jì)算頻率判斷B，由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)判斷C，根據(jù)頻率判斷D．【詳解】由頻率分布直方圖，(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，樣本數(shù)據(jù)不低于130分的頻率為(0.025+0.005)×10=0.3，因此低于130分的頻率為0.7，B錯(cuò)；分?jǐn)?shù)低于120分的頻率為(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4，因此中位數(shù)在[210,130)這一組，設(shè)中位數(shù)為n，則n?12010=總體分布在[90,100)與[100,110)的頻率相等，因此頻數(shù)只能大致相等但不一定相等，D錯(cuò)誤．故選：C．【變式21】1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某校為了解學(xué)校學(xué)生作業(yè)完成情況，對(duì)學(xué)生每天完成作業(yè)時(shí)間抽樣調(diào)查，觀察隨機(jī)抽取的100人每天完成作業(yè)時(shí)間的累計(jì)數(shù)（單位：小時(shí)），在各區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)記錄如下表所示．完成作業(yè)時(shí)間分布區(qū)間頻數(shù)0,0.520.5,181,1.5151.5,2192,2.5222.5,3173,3.5123.5,45(1)我們研究的總體是什么？樣本是什么？總體的分布是什么？(2)試估計(jì)該學(xué)校學(xué)生的每天完成作業(yè)時(shí)間大于等于3.5小時(shí)人數(shù)的占比．【答案】(1)總體：學(xué)校學(xué)生每天完成作業(yè)時(shí)間；樣本：抽取的100人每天完成作業(yè)時(shí)間；總體的分布：在各時(shí)間段人數(shù)在總體中所占的比例(2)5%【分析】（1）根據(jù)題意可直接寫出總體，樣本以及總體的分布；（2）計(jì)算樣本中學(xué)生的每天完成作業(yè)時(shí)間大于等于3.5小時(shí)人數(shù)的占比，即可得答案.（1）總體：學(xué)校學(xué)生每天完成作業(yè)時(shí)間；樣本：抽取的100人每天完成作業(yè)時(shí)間；總體的分布：在各時(shí)間段人數(shù)在總體中所占的比例．（2）在抽取的100人每天完成作業(yè)時(shí)間大于等于3.5小時(shí)人數(shù)為5，占比為5100故估計(jì)該學(xué)校學(xué)生的每天完成作業(yè)時(shí)間大于等于3.5小時(shí)人數(shù)的占比為5%.【變式21】2.（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）2022年2月8日，中國(guó)選手谷愛凌在北京冬奧會(huì)女子大跳臺(tái)項(xiàng)目決賽中以之前從未有人在正式比賽中完成的“左轉(zhuǎn)1620”動(dòng)作一舉奪得冠軍，為中國(guó)代表團(tuán)攬入一枚里程碑式的金牌．受奧運(yùn)精神的鼓舞，某滑雪俱樂(lè)部組織100名滑雪愛好者進(jìn)行了一系列的大跳臺(tái)測(cè)試，并記錄他們的動(dòng)作得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該100名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)該俱樂(lè)部計(jì)劃招募成績(jī)位列前10%的滑雪愛好者組成集訓(xùn)隊(duì)備戰(zhàn)明年的滑雪俱樂(lè)部聯(lián)盟賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)集訓(xùn)隊(duì)入圍成績(jī)（記為k）．【答案】(1)0.025(2)76(3)k【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列式求解；（2）用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估計(jì)，代入x=i=1nx(1)由題意可得：100.005+0.010+a(2)由題意可得：x估計(jì)該100名射擊愛好者的射擊平均得分76(3)根據(jù)頻率分布直方圖可知：85,95的頻率為10×0.020=0.2設(shè)入圍成績(jī)的臨界值為m∈85,95，則m估計(jì)集訓(xùn)隊(duì)入圍成績(jī)k【變式21】3.（2023下·湖南益陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，為了解該校全體高一學(xué)生的身高信息，甲與乙分別進(jìn)行了調(diào)查.

(1)甲采用調(diào)查問(wèn)卷的形式收集了所有高一學(xué)生的身高分布情況并整理繪制了頻率分布直方圖，請(qǐng)估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生身高的下四分位數(shù)；(2)乙采用分層抽樣的方法選取了20位男生，30位女生進(jìn)行觀測(cè)，并計(jì)算得到男生的樣本均值為175cm，方差為19；女生的樣本均值為160cm，方差為34.①試用上述數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的均值和方差；②將乙的數(shù)據(jù)作為總體的均值與方差估計(jì)合適嗎?為什么?【答案】(1)163cm(2)①166cm，82；②不合適，沒(méi)有按比例分層抽樣【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算四分位數(shù)步驟計(jì)算即可；（2）①根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算均值和方差；②沒(méi)有按比例分層抽樣判斷即得.【詳解】（1）由已知，下四分位數(shù)在155，165，設(shè)為x

則x?15510=0.25?0.050.25，解得（2）①x=

s

②不合適，沒(méi)有按比例分層抽樣【變式21】4.（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30，30,40，?，80,90，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在40,50的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的第三四分位數(shù)；(3)已知樣本中男生與女生的比例是3：1，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請(qǐng)計(jì)算出總體的方差.【答案】(1)20人(2)78.75(3)117【分析】（1）（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解，（3）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式求解，【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在50,90的頻率為0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9在樣本中分?jǐn)?shù)在50,90的人數(shù)為100×0.9=90（人），在樣本中分?jǐn)?shù)在40,90的人數(shù)為95人，所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在40,90的人數(shù)為400×0.95=380（人），總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人（2）測(cè)試成績(jī)從低到高排序，樣本中分?jǐn)?shù)在40,70的頻率為0.4，樣本中分?jǐn)?shù)在40,80的頻率為0.8，則75%分位數(shù)在70,80之間，所以估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為70+10×0.75?0.4（3）總樣本的均值為34所以總樣本的方差為s題型3雷達(dá)圖問(wèn)題【例題3】（2021·全國(guó)·）2021年開始，某省將試行“3+1+2”的普通高考新模式，即除物理語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門必選科目外，考生再?gòu)奈锢?、歷史中選1門，從化學(xué)、生物、地理、政治中選2門作為選考科目．為了幫助政治學(xué)生合理選科，某中學(xué)將高一每個(gè)學(xué)生的六門科目綜合成績(jī)按比例均縮放成5分制，繪制成雷達(dá)圖．甲同學(xué)的成績(jī)雷達(dá)圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是（

）A．甲的物理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分最多B．甲有2個(gè)科目的成績(jī)低于年級(jí)平均分C．甲的成績(jī)從高到低的前3個(gè)科目依次是地理、化學(xué)、歷史D．對(duì)甲而言，物理、化學(xué)、地理是比較理想的一種選科結(jié)果【答案】C【分析】根據(jù)雷達(dá)圖，判斷甲各科成績(jī)與年級(jí)平均分的高低，以及各科成績(jī)的高低，進(jìn)而可確定理想的選科組合，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由圖知：甲的物理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分1.5分左右，比化學(xué)、地理要高，正確；B：其中有政治、歷史比年級(jí)平均分低，正確；C：甲的成績(jī)從高到低的前3個(gè)科目依次是地理、化學(xué)、物理或生物，錯(cuò)誤；D：由C知：物理、化學(xué)、地理對(duì)于甲是比較理想的一種選科結(jié)果，正確；故選：C.【變式31】1．（2022下·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項(xiàng)能力（每項(xiàng)能力的指標(biāo)值滿分均為5分，分值高者為優(yōu)），繪制如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，圖中點(diǎn)A表示甲的創(chuàng)造能力指標(biāo)值為4，點(diǎn)B表示乙的空間能力指標(biāo)值為3，則下列敘述正確的有（

）個(gè)①乙的記憶能力優(yōu)于甲

②乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造能力③甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙

④甲的六大能力比乙較均衡