高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修三）第01講511數(shù)列的概念

數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過實例了解數(shù)列的概念，明確數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別，理解數(shù)列的項與項數(shù)的含義，理解數(shù)列的函數(shù)特征。（2）根據(jù)給定的項數(shù)，求出相應(yīng)數(shù)列的通項公式，并理解通項公式的含義。（3）知道數(shù)列的分類：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列等。（4）掌握數(shù)列的表示方法。（5）通過觀察、歸納、猜想等方法，探索數(shù)列的規(guī)律。通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。知識點01數(shù)列的概念1、數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，各項依次成為這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項……，組成數(shù)列的數(shù)的個數(shù)稱為數(shù)列的項數(shù)。2、數(shù)列的通項公式（1）數(shù)列的一般形式可以寫成，，，……，，……，其中表示數(shù)列的第項（也稱為的序號，其中為正整數(shù)，即），稱為數(shù)列的通項。此時一般將整個數(shù)列簡記為。（2）一般地，如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用來表示，其中是關(guān)于的不含其它未知數(shù)的表達(dá)式，則稱上述關(guān)系式為這個數(shù)列的一個通項公式?！炯磳W(xué)即練1】（2023·陜西寶雞·高二?？计谀ǘ噙x）下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列的項數(shù)是無限的B．?dāng)?shù)列通項公式的表達(dá)式不是唯一的C．?dāng)?shù)列1，3，5，7可表示為D．?dāng)?shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，5，3，1不是同一數(shù)列【答案】BD【解析】數(shù)列按項數(shù)分類可分為有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，即數(shù)列的項數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，故A錯誤；數(shù)列通項公式的表達(dá)式不是唯一的，例如，數(shù)列1，，1，，…的通項公式可以是，也可以是，故B正確；構(gòu)成數(shù)列的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無序的，故C錯誤；根據(jù)數(shù)列定義，兩數(shù)列的數(shù)排列次序不相同，不是相同的數(shù)列，故D正確．故選：BD.知識點02數(shù)列的分類及表示1、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中n∈N+遞減數(shù)列常數(shù)列擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列2、數(shù)列的表示：數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．【即學(xué)即練2】（2023·海南儋州·高二?？计谥校┫铝袛?shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．知識點03數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系1、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由于數(shù)列中的每一項與它的序號有下面的對應(yīng)關(guān)系：所以，數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．也就是說，當(dāng)自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是數(shù)列{an}．2、數(shù)列的單調(diào)性：判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：ⅰ.當(dāng)時，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ.當(dāng)時，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（3）結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去．【即學(xué)即練3】（2022·高二課時練習(xí)）（多選）下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列若用圖像表示，則從圖像上看都是一群孤立的點C．?dāng)?shù)列的項數(shù)是無限的D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【解析】由數(shù)列的定義知，數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，選項A，B正確；由于數(shù)列有有窮數(shù)列與無窮數(shù)列之分，即數(shù)列的項數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，C不正確；對于，得到，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：ABD【題型一：數(shù)列的概念及辨析】例1．（2023·高二課時練習(xí)）數(shù)列的通項公式是，，則它的圖象是（）A．直線B．直線上孤立的點C．拋物線D．拋物線上孤立的點【答案】B【解析】數(shù)列對應(yīng)點為，所以圖象是直線上孤立的點，故選：B變式11．（2023·高二課時練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以用圖象來表示B．?dāng)?shù)列的通項公式不唯一C．?dāng)?shù)列中的項不能相等D．?dāng)?shù)列可以用一群孤立的點表示【答案】ABD【解析】對于A，由數(shù)列定義知，數(shù)列是以項數(shù)為自變量，項為因變量的特殊函數(shù)，故可以用圖象來表示，A正確；對于B，若數(shù)列有通項公式，則該數(shù)列的通項公式不一定唯一，例如：數(shù)列的通項公式可以為，也可以為，B正確；對于C，數(shù)列中的項可以相等，如常數(shù)列，C不正確；對于D，由數(shù)列是特殊的函數(shù)且知，數(shù)列可以用一群孤立的點表示，D正確.故選：ABD變式12．（2023·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列的項數(shù)一定是無限的C．?dāng)?shù)列的通項公式的形式是唯一的D．?dāng)?shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項公式【答案】A【解析】對于A，由數(shù)列定義知，A正確；對于B，數(shù)列只有5項，該數(shù)列項數(shù)有限，B錯誤；對于C，數(shù)列的通項公式可以為，也可以為，該數(shù)列通項公式不唯一，C錯誤；對于D，該數(shù)列的通項公式可以為，D錯誤.故選：A變式13．（2023·高二課時練習(xí)）（多選）下列說法不正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以表示為B．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項為1＋D．?dāng)?shù)列可記為【答案】ABD【解析】A選項，數(shù)列和數(shù)列，前者是有限項，后者是無限項，所以兩個數(shù)列不一樣，A選項錯誤.B選項，數(shù)列與數(shù)列的項的順序不相同，所以不是相同數(shù)列，B選項錯誤.C選項，，所以數(shù)列的第項為1＋，C選項正確.D選項，數(shù)列可記為，所以D選項錯誤.故選：ABD變式14．（2023·云南曲靖·高二曲靖市民族中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）A．?dāng)?shù)列與是相同的B．?dāng)?shù)列可以表示為C．?dāng)?shù)列與是相同的數(shù)列D．?dāng)?shù)列的第項為【答案】D【解析】對于A項，數(shù)列與是不同的，表示數(shù)列，而表示數(shù)列中的第項，故A項錯誤；對于B項，是一個集合，故B項錯誤；對于C項，兩個數(shù)列中的數(shù)雖然相同，但順序不同，不是相同的數(shù)列，故C項錯誤；對于D項，，故D項正確.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】掌握數(shù)列的概念辨析解題技巧需要明確數(shù)列的定義、數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。題型二：數(shù)列的分類例2．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）A．1，，，，…B．sin，sin，sin，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，【答案】C【解析】D是有窮數(shù)列，A是遞減數(shù)列，B是擺動數(shù)列，C是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列，故選：C.變式21．（2022·江蘇南通·高二校考期中）下列數(shù)列既是遞增數(shù)列，又是無窮數(shù)列的是（）A．1，2，3，…，20B．1，2，3，…，n，…C．1，2，3，2，5，6，…D．1，0，1，2，…，100，…【答案】D【解析】由遞增數(shù)列和無窮數(shù)列的定義知D項正確.答案：D變式22．（2022·重慶·高二永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（多選）下面四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）．A．1，，，，…，，…B．，，，，…，，…C．，，，…，，…D．1，，，…，，…【答案】BD【解析】對于A，1，，，，…，，…為遞減數(shù)列，故A錯誤；對于B，，，，，…，，…為遞增數(shù)列，且是無窮數(shù)列，故B正確；對于C，，，，…，，…中，故不是遞增數(shù)列，故C錯誤；對于D，1，，，…，，…既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的，故D正確.故選：BD.變式23．（2023·高二課時練習(xí)）下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？（1）2017，2018，2019，2020，2021；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）9，9，9，9，9，9.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析（4）答案見解析；（5）答案見解析；（6）答案見解析【解析】（1）因數(shù)列（1）只有5項，且依次增大，故（1）為有窮數(shù)列，且為遞增數(shù)列.（2）因數(shù)列（2）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，當(dāng)?shù)脑龃髸r，也增大，故為遞增數(shù)列.（3）因數(shù)列（3）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，當(dāng)?shù)脑龃髸r，減小，故為遞減數(shù)列.（4）因數(shù)列（4）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列正負(fù)交替，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（5）因數(shù)列（5）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列為1，0，1，0循環(huán)，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（6）因數(shù)列（6）只有5項，故（1）為有窮數(shù)列，且各項均為9，故為常數(shù)數(shù)列.【方法技巧與總結(jié)】判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項還是無限項。若數(shù)列含有限項則是有窮數(shù)列，否則是無窮數(shù)列。而判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項起，觀察每一項與它的前一項的大小關(guān)系，若滿足，則是遞增數(shù)列；若滿足，則是遞減數(shù)列；若滿足，則是常數(shù)列；若與的大小不確定時，則是擺動數(shù)列。題型三：由數(shù)列的前幾項求通項公式例3．（2023·吉林長春·高二長春市第二中學(xué)校聯(lián)考期末）數(shù)列，，，，的一個通項公式為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】觀察數(shù)列，，，，可知其分母為，其分子是交替出現(xiàn)，故分子可為，所以該數(shù)列的一個通項公式為.故選：A.變式31．（2023·貴州貴陽·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）數(shù)列2，0，2，0，…的通項公式可以是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，，符合題意，A是；對于B，，符合題意，B是；對于C，，符合題意，C是；對于D，，不符合題意，D不是.故選：ABC變式32．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列，，，，的一個通項公式是an=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為數(shù)列，，，，的通項公式為，則數(shù)列，，，，的通項公式為，而數(shù)列，，，，的每一項都是上面數(shù)列對應(yīng)項的，所以數(shù)列，，，，的通項公式為.故選：C.變式33．（2023·湖北武漢·高二武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出下列點數(shù)構(gòu)成數(shù)列的第5項的點數(shù)（）

A．32B．35C．36D．42【答案】B【解析】由題意，，所以，根據(jù)規(guī)律，，所以，故選：B變式34．（2023·高二課時練習(xí)）寫出下列數(shù)列的一個通項公式．（1）（2）（3）0，，，，…；（4）1，11，111，1111，….【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到所以它的一個通項公式是；（2）數(shù)列各項的絕對值為是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，所以它的一個通項公式為；（3）因為所以數(shù)列的一個通項公式為；（4）原數(shù)列的各項可變?yōu)?，易知?shù)列9，99，999，9999，…，的一個通項公式為，所以原數(shù)列的一個通項公式為．【方法技巧與總結(jié)】由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式（1）各項的符號特征，通過或來調(diào)節(jié)正負(fù)項．（2）考慮對分子、分母各個擊破或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系．（3）相鄰項(或其絕對值)的變化特征．（4）拆項、添項后的特征．（5）通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【注意】根據(jù)數(shù)列的前幾項求其通項公式其實是利用了不完全歸納法，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的.題型四：判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項例4．（2022·黑龍江佳木斯·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足：，則等于（）A．32B．64C．48D．128【答案】B【解析】由，令，得，故選：B.變式41．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若，則的值為（）A．17B．23C．25D．41【答案】A【解析】依題意，.故選：A變式42．（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列1，，，，…，，…，則下列說法正確的是（）A．是它的第3項B．是它的第4項C．是它的第9項D．是它的第16項【答案】CD【解析】當(dāng)時，，C正確，A錯誤；當(dāng)時，，故D正確，B錯誤．故選：CD．變式43．（2023·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項，則.【答案】【解析】由于數(shù)列的通項，故，，所以.變式44．（2023·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則是該數(shù)列的第（）項A．10B．7C．5D．8【答案】D【解析】由已知，解得，負(fù)值舍去，則是該數(shù)列的第項.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．（2）判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法：先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．題型五：數(shù)列單調(diào)性的判斷例5．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）下列數(shù)列是遞減數(shù)列的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對選項A：為遞增數(shù)列；對選項B：為遞減數(shù)列；對選項C：，先增后減數(shù)列；對選項D：，先減后增數(shù)列.故選：B.變式51．（2023·河南濮陽·高二范縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列，，為遞減數(shù)列，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可知，解得，故答案為：變式52．（2023·貴州·清華中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)列的通項公式為，則“為遞增數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，為遞增數(shù)列，故，故，由于，故，因為，，故“為遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件.故選：B變式53．（2023·廣東東莞·高二東莞實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）使得“對于任意，是遞減數(shù)列”為真命題的整數(shù)值是.（寫出一個符合要求的答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因為對于任意，是遞減數(shù)列，所以，所以整數(shù)值可以為.變式54．（2023·天津·高二咸水沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，（且）．若對任意的，都有成立，的取值范圍是．【答案】【解析】，已知對任意的，都有成立，，函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，得，因此實數(shù)的取值范圍為.【方法技巧與總結(jié)】由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．題型六：數(shù)列中的最大項、最小項例6．（2023·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）（多選）已知在數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項是（）A．第1項B．第2項C．第3項D．第4項【答案】BC【解析】依題意，，函數(shù)的開口向上，對稱軸為，由于，所以當(dāng)或時，取得最小值.故選：BC變式61．（2023·湖北省直轄縣級單位·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項公式為，則數(shù)列中的最大項的項數(shù)為（）A．2B．3C．2或3D．4【答案】C【解析】；；，，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列中的最大項的項數(shù)或.故選：C變式62．（2023·上海·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列的最大項為第項.【答案】【解析】依題意，，則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以數(shù)列的最大項為第項.變式63．（2023·高二課時練習(xí)）已知，求該數(shù)列前30項中的最大項和最小項．【答案】最大項為，最小項為【解析】，，而，，若要最大，則需要取最小正數(shù)，則當(dāng)時，最大，若要最小，則需要取最大負(fù)數(shù)，則當(dāng)時，最?。栽摂?shù)列前30項中的最大項為，最小項為.變式64．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式是，判斷該數(shù)列的單調(diào)性，并求出這個數(shù)列的最小項．【答案】答案見解析【解析】令，則，故時，所以，故該數(shù)列的先遞減后遞增，又，故數(shù)列最小項為第三、四項為.【方法技巧與總結(jié)】求數(shù)列最大(小)項的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項或最小項．（2）利用，求數(shù)列中的最大項；利用，求數(shù)列中的最小項.當(dāng)解不唯一時，比較各解大小即可確定．一、單選題1．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列1，0，，與，，0，1是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第k項為D．?dāng)?shù)列0，2，4，6，可記為【答案】C【解析】對A，數(shù)列可為常數(shù)數(shù)列，A錯誤；對B，一個遞減，一個遞增，不是相同數(shù)列，B錯誤；對C，當(dāng)時，，C正確；對D，數(shù)列中的第一項不能用表示，D錯誤.故選：C2．（2018·陜西延安·高二階段練習(xí)）下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．3．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，則下列說法中錯誤的是（）A．是無窮數(shù)列B．是遞增數(shù)列C．不是常數(shù)列D．中有最大項【答案】D【解析】對于A，顯然是無窮數(shù)列，故A正確；對于B，因為，即，即是遞增數(shù)列，故B正確；對于C，因為，，，故不是常數(shù)列，故C正確；對于D，由B知，是遞增數(shù)列，當(dāng)趨近于無窮大時，也趨近于無窮大，所以中無最大項，故D錯誤.故選：D4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項公式，則a2a3的值是（）A．70B．28C．20D．16【答案】D【解析】依題意，，，則，所以a2a3的值是16.故選：D5．（2023·陜西安康·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A．第21項B．第22項C．第23項D．第24項【答案】B【解析】由題意可得數(shù)列的通項公式為，又，解得，所以是這個數(shù)列的第22項．故選：B．6．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列1，，，…的通項公式可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時，對于B中，當(dāng)時，對于C中，對于D中，四個選項中只有同時滿足，，.故選：A7．（2023·貴州貴陽·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1，，，，…的一個通項公式為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】數(shù)列前4項的絕對值依次為1，，，，由此得數(shù)列第n項的絕對值為，而數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，可用表示數(shù)列的第n項的符號，因此.故選：B8．（2023·安徽蕪湖·高二蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）已知的通項公式為（），若數(shù)列為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由數(shù)列為遞減數(shù)列，則，即恒成立，即，當(dāng)時，的最小值為，即.故選：C二、多選題9．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式是，那么（）A．30是數(shù)列的一項B．45是數(shù)列的一項C．66是數(shù)列的一項D．90是數(shù)列的一項【答案】BC【解析】分別令的值為30，45，66，90，可知只有當(dāng)時，或（舍去）

；當(dāng)時，或（舍去），故45，66是數(shù)列的一項．故選：BC10．（2023·安徽蕪湖·高二?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列的前項分別為，，，，則這個數(shù)列的通項公式可能是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，當(dāng)，，，時，分別對應(yīng)的是，，，，正確；對于B，當(dāng)，，，時，分別對應(yīng)的是，，，，正確；對于C，當(dāng)，，，時，分別對應(yīng)的是，，，，正確；對于D，，，，，錯誤.所以這個數(shù)列的通項公式可能是ABC.故選：ABC11．（2023·陜西西安·高二西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式，若對恒成立，則滿足條件的正整數(shù)k可以為（）A．6B．7C．8D．9【答案】BC【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最小值為和，因為對恒成立，所以或.故選：BC.12．（2023·江蘇·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使待對任意，均有，則稱是“間隔遞增數(shù)列”，是數(shù)列的“間隔數(shù)”，下列選項正確的是（）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列B．已知，則數(shù)列是間隔遞增數(shù)列C．已知，則數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D．已知，若數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則【答案】BCD【解析】對于A：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因為，所以當(dāng)時，，故A錯誤；對于B：，對于函數(shù)，明顯其在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)，即時，，B正確；對于C：，當(dāng)為奇數(shù)時，，存在，使成立，當(dāng)為偶數(shù)時，，存在，使成立，綜上，數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2，故C正確；對于D：若數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則對恒成立，即，解得，又該不等式的解為所以，解得，可以得到，D正確；故選：BCD.三、填空題13．（2023·甘肅臨夏·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，則125是這個數(shù)列的第項.【答案】8【解析】由，得，而，解得，所以125是這個數(shù)列的第8項.14．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第8個圖有個點.

【答案】57【解析】根據(jù)題意，圖（1）中只有1個點，無分支；圖（2）除中間一個點外，有兩個分支，每個分支由1個點；圖（3）除中間一個點外，有三個分支，每個分支由2個點；圖（4）除中間一個點外，有四個分支，每個分支由3個點，則第個圖形中除中間一個點外，有個分支，每個分支有個點，第個圖形中有個點，故第8個圖形中有個點．15．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則使成立的正整數(shù)的最大值為．【答案】【解析】由，解得，因為，所以正整數(shù)的最大值為.16．（2023·江蘇宿遷·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項公式，記數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)為，則．【答案】23【解析】由題意為數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)，所以令，解得，所以.四、解答題17．（2023·高二課時練習(xí)）下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？（1），，，，…；（2）2，4，6，8，10，…；（3）7，7，7，7，…；（4），，，，…；（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；（6），，，，，，….【答案】（1）無窮數(shù)列，遞減數(shù)列；（2）無窮數(shù)列，遞增數(shù)列；（3）無窮數(shù)列，常數(shù)列（4）無窮數(shù)列，遞減數(shù)列；（5）有窮數(shù)列，遞減數(shù)列；（6）無窮數(shù)列【解析】（1）數(shù)列有無窮多個項，從第2項起，每一項都小于它前面的一項，故該數(shù)列為無窮數(shù)