2024-2025學年蘇科版九年級數(shù)學上學期期末復習：二次函數(shù)與實際問題（考點清單）

專題5-2二次函數(shù)與實際問題

（1個考點梳理+10種題型解讀+3種方法解讀）

考點帝單

1.用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：

1）審：仔細審題，理清題意；

2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結(jié)合圖形具體

分析，設出適當?shù)奈粗獢?shù)；

3）歹U：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解

析式；

4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)等求解實際問題；

5）檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.

【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂

點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內(nèi)，應按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論.

2.利用二次函數(shù)解決實際問題的常見類型

常見的問題：求最大（小）值（如求最大利潤、最大面積、最小周長等）、涵洞、橋梁、拋物體、

拋物線的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標系

是解決此類問題的關鍵，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.

利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：利潤問題主要涉及兩個等量關系:利潤=售價-進價，總

利潤=單件商品的利潤x銷售量，在解答此類問題時，應建立二次函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

最值問題，然后列出相應的函數(shù)解析式，從而解決問題.

利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，一般選擇

拋物線形建筑物的底（頂）部所在的水平線為x軸，對稱軸為y軸，或直接選取最高（低）點為

坐標原點建立直角坐標系來解決問題，再根據(jù)題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，

最后根據(jù)圖像信息解決實際問題.

利用二次函數(shù)解決面積最值的方法:求最大面積類問題可以利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行

解答，也就是把圖形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，依據(jù)圖形的面積公式列出

函數(shù)解析式.

試卷第1頁，共20頁

利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要知曉動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度

是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后

結(jié)合題干中與動點有關的條件進行計算.

利用二次函數(shù)解決運動型幾何問題的方法：對于運動型幾何問題中的函數(shù)應用問題，解題時

應深入理解運動圖形所在的條件與環(huán)境，用運動的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化

的全過程，并特別關注運動過程中的不變量、不變關系和特殊關系，然后化“動態(tài)”為“靜

態(tài)”、化“變化”為“不變”，通過分析找出題中各圖形的結(jié)合點，借助函數(shù)的性質(zhì)予以解決.當

圖形（或某一事物）在運動的過程中某一量取到最大值或最小值時，其位置必定在一個特殊的

位置，這是普遍規(guī)律.

量型精單

【考點題型一】銷售問題

解題思路：利用二次函數(shù)解決實際生活中的利潤問題，要認清變量所表示的實際意義，注意

隱含條件的使用，同時考慮問題要全面，此類問題一般是先運用“總利潤=總售價-總成本”或

“總利潤=每件商品所獲利潤X銷售數(shù)量”，建立利潤與價格之間的函數(shù)關系式，再求出這個

函數(shù)的最大值即求得最大利潤.

解題步驟：1）設未知數(shù)X,y；

2）根據(jù)題目條件找到x、y的關系式；

3）利用配方法求二次函數(shù)的最值及取得最值的x的取值.

【例1】（23-24九年級上?江蘇淮安?期中）.

1.2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某旅游商店以每件50元的價格

購進某款亞運會吉祥物，以每件80元的價格出售，每日可售出200件.從7月份起，商場

決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，日銷售量就會增加

20件.

⑴設降價x元，日銷售量為〉件.試用含x的式子表示外了=；

（2）請你測算一下，當售價為多少元時，可使日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【變式1-1］（23-24九年級上?江蘇無錫?期末）

2.某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷.據(jù)

市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就

可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.

試卷第2頁，共20頁

⑴求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）（504x4100）之間的函數(shù)關系式；

（2）當銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么

銷售單價應控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本=每件的成本x每天的銷售量）

【變式1-2]（23-24九年級上?江蘇徐州?期中）

3.某商店經(jīng)銷一種手提包，已知這種手提包的成本價為50元/個.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種手

提包每天的銷售量了（單位：個）與銷售單價x（單位：元）有如下關系：

尸r+80（50<x<80）.設這種手提包每天的銷售利潤為w元.

（1）當這種手提包銷售單價定為多少元時，該商店每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

（2）如果物價部門規(guī)定這種手提包的銷售單價不得高于68元，該商店銷售這種手提包每天要

獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

【變式1-3]（23-24九年級上?浙江杭州?期中）

4.某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售

出20件，為了迎接“雙十一”促銷活動，商店決定采取適當?shù)慕祪r措施，以擴大銷售量，增

加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件.

（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使該童裝每天銷售獲利為1200元，每件童裝應降

價多少元？

⑵該童裝每天的銷售獲利能達到2000元嗎？如果能，請寫出降價方案；如果不能，請說明

理由.

【考點題型二】行程問題

【例2】（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習）

5.物理實驗課小明做一個實驗：

在一條筆直的滑道上有一個黑小球以一定的速度在N處開始向前滾動，并且均勻減速，測

量黑球減速后的滾動速度匕（單位：cm/s）隨滾動時間”單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下

表.

運動時間ts0123

運動速度vcm/s109.598.5

試卷第3頁，共20頁

黑球

A

⑴小明探究發(fā)現(xiàn)，黑球的滾動速度匕與滾動時間/之間成一次函數(shù)關系，直接寫出匕關于/

的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

（2）求出滾動的距離s關于滾動的時間f的函數(shù)解析式，并求出黑球滾動的最遠距離.［提示:

本題中，距離S="“，M=g（%+v）,其中%是開始時的速度，匕是f秒時的速度］

【變式2-1］（23-24九年級上?山東濱州?期中）

6.如圖，鋼球從斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加1.5m/s.

⑴寫出滾動的距離S（單位：m）關于滾動的時間》（單位：s）的函數(shù)解析式.（提示：本

題中，距離=平均速度為時間/,其中，%是開始時的速度，匕是，秒時的速

度.）

（2）如果斜面的長是3m,鋼球從斜面頂端滾到底端用多長時間？

【變式2-2］（2023?江蘇無錫?模擬預測）

7.有兩條相鄰的平行滑道（不光滑）.甲木塊在一條滑道內(nèi)自動滑行，直到停止.甲木塊與

起點線加的距離用（厘米）與滑行時間/（秒）之間滿足%=-?+12/+25.甲木塊滑行2

秒后，乙木塊在另一滑道從起點線僅以某一初速，持續(xù)受力運動，乙木塊與起點線加的距

離方（厘米）與受力時間f（秒）是二次函數(shù)關系，變化規(guī)律如下表：

f（秒）012

Sz（厘米）01636

U

⑴求s乙與f之間的函數(shù)關系式；

（2）求乙木塊追上甲木塊用時多長;

試卷第4頁，共20頁

（3）求甲木塊停止時，乙木塊與甲木塊的水平距離.

【變式2-3］（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習）

8.如圖是城市平直道路，道路限速60機/h,/路口停車線4和2路口停車線4之間相距

5=400m,/、3兩路口各有一個紅綠燈.在停車線乙后面停著一輛汽車，該汽車的車頭恰

好與停車線：平齊，已知汽車啟動后開始加速，速度每秒增加2m/s.某時刻/路口綠燈亮

起，該汽車立即啟動.（車身長忽略不計）

停車線人

S---------------------?

⑴求該汽車從停車線4出發(fā)加速到限速所需的時間.

（2）寫出汽車加速后行駛的路程S（單位：m）關于時間/（單位：s）的函數(shù)解析式.（提示:

本題中，路程=平均速度Ax時間"=%產(chǎn)其中％是開始時的速度，匕是/秒時的速

度），并求該汽車最快需要多少時間可以通過停車線4

⑶在（2）條件下，若/路口綠燈亮起29s后8路口綠燈亮起，且8路口綠燈的持續(xù)時間為

23s.該汽車先加速行駛，然后一直勻速行駛.若該汽車在3路口綠燈期間能順利通過停車

線4,請直接寫出該汽車勻速行駛過程中速度的取值范圍.

【考點題型三】拱橋問題

解題步驟：

1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將拋物線形狀的圖形放到坐標系中；

2）從已知和圖像中獲得求二次函數(shù)圖像所需條件；

3）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

4）運用已求二次函數(shù)的解析式解決問題.

【例3】（2023?河南平頂山?二模）

9.隋朝李春設計建造的趙州石拱橋，距今已有1400多年的歷史，其石拱的橫截面形狀近似

拋物線，測得它的跨度43為37.4m,拱高（拋物線的最高點C到中點。的距離），CO

為7.2m,以所在直線為x軸，OC所在直線為〉軸建立平面直角坐標系，設二次函數(shù)的

解析式為y=+k.

試卷第5頁，共20頁

(I)結(jié)合計算器提供的信息，求拋物線的解析式.(。值精確到0.01)

(2)當雨季來臨時，水位上漲，若水面寬度跖不大于21m時，要采取緊急措施保護橋梁的

安全，當測量員測得點C到水面所的距離。只有2m時，是否需要采取緊急措施？請說

明理由.

【變式3-1](21-22九年級上?江蘇連云港?期末)

10.如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，底部寬度。初為12米，現(xiàn)以。

點為原點，所在的直線為x軸建立直角坐標系.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)若要搭建一個由AD-DC-CB組成的矩形“支撐架”，已知支架的高度為4米，則這個“支

撐架”總長是多少米？

【變式3-2](2023?陜西?中考真題)

11.某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高

之積為48m⑶，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設計

方案，現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PE1ON,

OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON，=8m,拱高P￡=6m其中，點M在x軸上，

P'E'1.O'N',O'E'=E'N'.

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細忽略不計)，方案一中,

試卷第6頁，共20頁

矩形框架的面積記為8，點A、。在拋物線上，邊8C在ON上；方案二中，矩形框

架48'C'。'的面積記為$2，點H，。'在拋物線上，邊2'。'在ON'上，現(xiàn)知，小華已正確求

出方案二中，當HQ=3m時，5=12島2,請你根據(jù)以上提供的相關信息，解答下列問題:

（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達式;

（2）在方案一中，當/B=3m時，求矩形框架48CD的面積H并比較d，S2的大小.

【變式3-3]（23-24九年級上?浙江溫州?階段練習）

12.露營已成為一種休閑時尚活動，各式帳篷成為戶外活動的必要裝備.其中拋物線型帳篷

（圖1）支架簡單，攜帶方便，適合一般的休閑旅行使用.

圖1圖2圖3

【建立模型】如圖2,A款帳篷搭建時張開的寬度=3m,頂部高度”=L8m.請在圖2中

建立合適的平面直角坐標系，并求帳篷支架對應的拋物線函數(shù)關系式.

【運用模型】每款帳篷張開時的寬度和頂部高度會影響容納的椅子數(shù)量，圖3為一張椅子擺

入A款帳篷后的簡易視圖，椅子高度EC=hn,寬度CD=0.6m,若在帳篷內(nèi)沿48方向擺

放一排此款椅子，求最多可擺放的椅子數(shù)量.

【分析計算】現(xiàn)要設計一款拋物線型帳篷，要求頂部高度為2.5米，且一排能容納5張高寬

分別為1m和0.6m的椅子.設其拋物線型支架的形狀值為請寫出。的最小值.

【考點題型四】噴水問題

【例4】（23-24九年級上?江蘇淮安?期末）

13.如圖1為噴灌系統(tǒng)，工作時，其側(cè)面示意圖如圖2所示.升降桿a垂直于地面，噴射

試卷第7頁，共20頁

的水柱呈拋物線，噴頭，能在升降桿上調(diào)整高度，將噴頭調(diào)整至離地面2米高時，噴射的

水柱距升降桿1米處達到最高，高度為2.25米.將噴頭再調(diào)高4米，噴射水柱的形狀保持

不變，此時噴射的水柱落地點與O的距離為多少米.

圖1圖2

【變式4-1］（23-24九年級上?吉林?期中）

14.圓形噴水池中心。處有一雕塑04,從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀

相同.如圖，以水平方向為x軸，點。為原點建立平面直角坐標系，點A在了軸上，x軸

上的點C、。為水柱的落水點.己知雕塑。/高1米，與。/水平距離5米處為水柱最高點,

0

落水點C、。之間的距離為22米，求噴出水柱的最大高度是多少米？

【變式4-2］（23-24九年級上?河北石家莊?期中）

15.如圖，在斜坡底部點O處安裝一個自動噴水裝置，噴水頭（視為點/）的高度（噴水

頭距噴水裝置底部的距離）是1.8米，自動噴水裝置噴射出的水流可以近似地看成拋物

線.當噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為8米時，達到最大高度5米.以點。為原點,

自動噴水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系.

（1）求拋物線的解析式；

（2）斜坡上距離。水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹2W,垂直水平地面,

試卷第8頁，共20頁

且M點到水平地面的距離為2米，

①通過計算說明：水流能不能剛好噴射到小樹的頂部；

②綠化工人向左水平移動噴水裝置后，水流恰好噴射到小樹頂端的點N,直接寫出自動噴

水裝置向左水平平移（即拋物線向左）了多少米？

【變式4-3］（23-24九年級上?北京東城?期中）

16.如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口a離地豎直高度為〃=1.4米.建立如圖2所

示的平面直角坐標系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把

綠化帶橫截面抽象為矩形DERG,其水平寬度。E=2米，豎直高度所=0.9米，下邊緣拋

物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米,

高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離。。為d米.

（1）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC；

（2）求下邊緣拋物線與x軸交點3的坐標；

（3）若d=3.2米，灌溉車行駛時噴出的水（填“能”或“不能”）澆灌到整個綠化帶.

【考點題型五】增長率問題

【例5】（23-24九年級上?河南周口?階段練習）

17.共享單車為市民的出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三

個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛，設該公司第二、三個月投放單車數(shù)量的月平均增長

率為x,則x的值為（）

A.1.2B.12%C.20%D.-22%

【變式5-1］（23-24九年級上?安徽合肥?階段練習）

18.某種藥品售價為每盒300元，經(jīng)過醫(yī)保局連續(xù)兩次“靈魂砍價”，藥品企業(yè)同意降價若干

進入國家醫(yī)保用藥目錄.如果每次降價的百分率都是x,則兩次降價后的價格y（元）與每

次降價的百分率x之間的函數(shù)關系式是（）

A.尸300（1-x）B.>=300（1-x）2C.y=300（l+x）D.=300（1+x）2

試卷第9頁，共20頁

【變式5-2］（23-24九年級上?全國?單元測試）

19.某廠加工一種產(chǎn)品，現(xiàn)在的年產(chǎn)量是40萬件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年的增

長率都為x,那么兩年后這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量了（萬件）與x之間的函數(shù)表達式為（要

求化成一般式）.

【變式5-3］（23-24九年級上?河北廊坊?階段練習）

20.某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬元，去年比前年的年增長率為x,預計今年比去年的年

增長率為2x,設今年的總產(chǎn)值為丁萬元.

⑴求了與x的關系式；

（2）當x=20%時，求今年的總產(chǎn)值為多少萬元？

【考點題型六】投球問題

【例6】（23-24九年級上?江蘇鹽城?期中）

21.擲實心球是南寧市中考體育考試的項目.如圖是一名女生擲實心球，實心球行進路線是

一條拋物線，行進高度與水平距離Q之間的函數(shù)關系如圖2所示，擲出時起點處高度

為;m,當水平距離為3m時，實心球行進至最高點，此時距離地面3m.

圖1

【變式6-1］（2024?河南信陽?模擬預測）

22.一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的/處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當

試卷第10頁，共20頁

球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m.已知球門高08為2.4m,現(xiàn)

（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）.

（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向

正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點。正上方2.25m處？

【變式6-2］（23-24九年級上?江蘇連云港?階段練習）

23.2023年第十九屆亞運會在杭州舉行，這是我國第三次舉辦亞運會，在中國隊對陣韓國

隊的男籃四分之一決賽中，中國隊表現(xiàn)出色，贏得了比賽.如圖，一名中國運動員在距離籃

球框中心/點4m（水平距離）遠處跳起投籃，籃球準確落入籃框，已知籃球運行的路線為

拋物線，當籃球運行水平距離為2.5m時，籃球達到最大高度2點處，且最大高度為3.5m,

以地面水平線為x軸，過最高點8垂直地面的直線為V軸建立平面直角坐標系，如果籃框中

心A距離地面3.05m.

（1）求該籃球的運行路線（拋物線）的表達式；

（2）求出籃球在該運動員出手時的高度.

【變式6-3］（2023?江蘇鹽城?一模）

24.比薩斜塔是意大利的一座著名斜塔，據(jù)說物理學家伽利略曾在塔頂上做過著名的自由落

體試驗：在地球上同一地點，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考

慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同.

已知：某建筑。工的高度為44.1m,將一個小鐵球P（看成一個點）從/處向右水平拋出，

在水平方向小鐵球移動的距離d（m）與運動時間心）之間的函數(shù)表達式是：d=1t,在豎直方

向物體的下落距離久m）與下落時間f（s）之間的函數(shù)表達式為力=4.9戶.以點O為坐標原點,

試卷第11頁，共20頁

水平向右為X軸，04所在直線為了軸，取1m為單位長度，建立如圖所示平面直角坐標系,

已知小鐵球運動形成的軌跡為拋物線.

圖1圖2

（1）求小鐵球從拋出到落地所需的時間；

⑵當f=l時，求小鐵球P此時的坐標；

（3）求拋物線的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍.

【考點題型七】隧道問題

【例7】（23-24九年級上?安徽滁州?階段練習）

25.如圖1,某高速路有一段隧道，隧道的橫截面如圖2,橫截面的上邊緣是一段拋物線，

以拋物線的對稱軸作為y軸，以水平地面作為x軸建立平面直角坐標系.已知該拋物線的頂

點坐標為C（0,6）,拋物線與X軸的交點分別為點A和點8,拋物線的表達式為

y=--x2+C.（長度單位：m）

6

圖1圖2

⑴求48的長；

（2）若每個隧道都是雙向車道，中間是實線（車輛不能壓實線，實線的寬度忽略不計），現(xiàn)有

一輛高4m,寬3m的貨車次通過此隧道，請你判斷該貨車能否通過該隧道，并說明理由.

【變式7-1］（21-22九年級上?江西宜春?階段練習）

26.如圖，隧道的截面由拋物線/ED和矩形48co構(gòu)成，矩形的長8c為8優(yōu)，寬AB為

2m,以2c所在的直線為x軸，線段2C的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖1）,

y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為6m.

試卷第12頁，共20頁

（1）求拋物線的解析式;

⑵現(xiàn)有一輛貨運卡車，高44”，寬2.4加，它能通過該隧道嗎？

（3）如果該隧道內(nèi)設雙向道（如圖2）,為了安全起見，在隧道正中間設有0.4〃?的隔離帶，則

該輛貨運卡車還能通過隧道嗎？

【變式7-2]⑵-24九年級上?貴州安順?期末）

27.按要求解答

（1）某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2000米，一工程隊在修了1400米后，加快了工

作進度，每天比原計劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計劃每天修多長?

（2）隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線.已知兩個車道寬度

0c=。。=4米，人行道地基NC,寬均為2米，拱高（W=10.8米.建立如圖所示的直

角坐標系.①求此拋物線的函數(shù)表達式（函數(shù)表達式用一般式表示）

②已知人行道臺階CE,。產(chǎn)高均為0.3米，按照國家標準，人行道寬度不得低于L25米,

該隧道的人行道寬度設計是否達標？請說明理由.（參考值：衣“5.92）.

【變式7-3]（22-23九年級下?河南駐馬店?階段練習）

28.如圖1所示是某即將通行的雙向隧道的橫斷面.經(jīng)測量，兩側(cè)墻4B和CD與路面4C垂

直，隧道內(nèi)側(cè)寬NC=8米.工程人員在路面/C上取點￡,測量點E到墻面AB的距離NE,

點E到隧道頂面的距離瓦L設/E=x米，斯=＞米.通過取點、測量，工程人員得到了x

與y的幾組值，如表:

x/米02468

試卷第13頁，共20頁

"米2.54.755.54.752.5

（1）若以點/為坐標原點，/C所在直線為x軸，4B所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

求出隧道頂部所在拋物線的解析式；

（2）如圖2所示，一輛輕卡要在隧道內(nèi)靠右模擬試行，依據(jù)圖紙要求汽車距離右側(cè)墻的距離

不小于0.8米且到隧道頂面的距離不小于0.33米.按照這個要求，隧道需標注的限高應為多

少米？

【考點題型八】圖形問題

解題思路：求幾何圖形的最大面積，應在分析圖形的基上，引入自變量，用含自變量的代數(shù)

式分別表示出與所求幾何圖形相關的量，再根據(jù)圖形的特征列出其面積的計算公式，并且用

函數(shù)表示這個面積，最后根據(jù)函數(shù)關系式求出最值及取得最值時相應的自變量的值.

一般方法解題步驟：1）設未知數(shù)（一般面積為S,邊長為x,題目已設出未知數(shù)則省掉）；

2）根據(jù)題目條件列出面積S和邊長x之間的關系式；

3）利用配方法求二次函數(shù)的最值.

【注意】在求解幾何圖形的最大面積時，應注意自變量的取值范圍，一定要注意題目中隱含的

每一個幾何量的取值范圍，一般有以下幾種情況：邊長，周長，面積大于0,三角形中任意兩邊之

和大于第三邊.

【例8】（23-24九年級上?寧夏石嘴山?期中）

29.如圖，某養(yǎng)羊戶想用29米長的圍欄設計一個矩形的養(yǎng)羊圈，其中羊圈一邊靠墻

另外三邊用圍欄圍住，在2c邊開個門（寬度為1米），"N的長度為15m.

（1）為了讓圍成的羊圈（矩形/BCD）面積達到112mL請你幫忙計算一下羊圈的長與寬分別

是多少？

（2）請你幫忙計算一下羊圈的長與寬分別是多少時，羊圈的面積達到最大？最大面積是多少？

試卷第14頁，共20頁

MN

AD

---11---lc

【變式8-1](23-24九年級上?全國?單元測試)

30.某小區(qū)業(yè)主委員會決定把一塊長50m,寬30nl的矩形空地建成健身廣場，設計方案如圖

所示，陰影區(qū)域為綠化區(qū)(四塊綠化區(qū)為全等的矩形)，空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周的4個

出口寬度相同，其寬度不小于14m,且不大于26m,設每塊綠化區(qū)的較長邊為xm,活動區(qū)

的面積為yn?.

(1)寫出了與x之間的函數(shù)關系式及x的取值范圍；

(2)求活動區(qū)的面積V的最大值；

(3)預計活動區(qū)造價為50元/n?,綠化區(qū)造價為40元/n?,如果業(yè)主委員會計劃投資不超過

72000元來建造，則當x為整數(shù)時，共有幾種建造方案？

【變式8-2](23-24九年級上?廣西防城港?期中)

31.綜合與實踐：

如圖，生活中的很多工藝品，可以看成是由一些簡單的平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體.

【知識背景】把一個平面圖形繞著不同的軸旋轉(zhuǎn)，可以得到一個不同形狀的幾何體.如圖,

某數(shù)學興趣小組把周長為36cm的矩形ABCD繞它的一條邊AB旋轉(zhuǎn)可以形成一個圓柱體.

請完成下列方案設計中的任務

【方案設計】目標：設計一個側(cè)面積最大的圓柱體.

任務一：把圓柱體的側(cè)面沿著其中一條母線所剪開并展平,研究圓柱體側(cè)面展開圖的形狀

試卷第15頁，共20頁

及邊長.

（1）圓柱體的側(cè)面展開圖是一個什么平面圖形？G8的長度與圓柱體的底面周長有什么關

系？

（2）如圖，設5C的長度為xcm,請用含有x的代數(shù)式分別表示/2、GJ、G〃的長度;

任務二：計算圓柱體側(cè)面積，設圓柱體的側(cè)面積為yen?.

（3）在（2）的條件下，求夕與x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

（4）在（3）的條件下，求當x取何值時，圓柱體的側(cè)面積y最大？最大值是多少？

【變式8-3］（23-24九年級上?浙江嘉興?期中）

32.某校九年級學生在數(shù)學社團課上進行了項目化學習研究，某小組研究如下：

【提出驅(qū)動性問題】如何設計紙盒？

【設計實踐任務】選擇“素材1”“素材2”設計了“任務1”“任務2”的實踐活動.

請你嘗試幫助他們解決相關問題.

【嘗試解決問題】

任務1.初步探究：折一個底面積為484cm2無蓋紙盒，求剪掉的小正方形的邊長為多少？

任務2.折成的無蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的小

正方形的邊長；如果沒有，說明理由.

【考點題型九】動點問題

［例9］（2022?江蘇蘇州?二模）

33.圖1,在中，NB=9Q°,2C=4cm.點尸以lcm/s的速度從點A出發(fā)沿勻

速運動到B；同時，點。以vcm/s（v>l）的速度從點3出發(fā)沿5c勻速運動到C.兩點同

時開始運動，到達各自終點后停止，設運動時間為f（s）,APB。的面積為S（cn?）.當點0

在上運動時，S與/的函數(shù)圖象如圖2所示.

試卷第16頁，共20頁

(1)48=cm,v=cm/s,補全函數(shù)圖象；

⑵求出當時間t在什么范圍內(nèi)變化時，APBQ的面積為S(cm?)的值不小于：；

⑶連接CP,40交于點。，求“平分/。時/的值.

【變式9-1](23-24九年級上?廣西南寧?期中)

34.如圖，在△/BC中，48=90。，=12cm,BC=24cm,動點尸從點/開始沿邊4B向

點8以2cm/s的速度移動，動點0從點8開始沿邊8c向點C以4cm/s的速度移動.設運動

時間為t.

(1)則P/=_,PB=_,80=_；(用含/的式子表示)

(2)求出kBP。的面積$關于/的函數(shù)解析式及t的取值范圍；

(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù)，描述4臺尸。的面積S隨移動時間，增大如何變化.

【變式9-2](23-24七年級上?遼寧葫蘆島?階段練習)

35.如圖，在長方形48。中，AB^9cm,BC=6cm,動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速

度沿折線2-?C運動，到點C停止；同時動點。從點3出發(fā)，以每秒2cm的速度在dC

間做往復運動，當點P到達終點C時，點。也隨之停止運動.設點P運動的時間是x(秒),

△/P0的面積是S(cm2)(S>0).

試卷第17頁，共20頁

D,C

4p——?B

(1)點。共運動秒；

⑵當點P沿折線運動時，用含x的代數(shù)式表示線段89(3尸>0)的長；

(3)當0<x49且x/6時，用含x的代數(shù)式表示S；

(4)當尸，。兩點相遇時，直接寫出x的值.

【變式9-3](23-24九年級上?山東煙臺,期末)

36.如圖，拋物線y=af+6x+3(aw0)與x軸的交點分別為/(-3,0)和8(1,0),與丁軸交于

點C,連接/C、BC,點A/■是線段。1上，不與點。、A重合的一個動點，過點A/■作。河_Lx

軸，交拋物線于點。，交NC于點￡,其對稱軸與x軸交于點打.

⑴求拋物線的表達式；

(2)在點〃的運動過程中，能否使線段DE=CE?若能，請求出點初的坐標，若不能，請說

明理由；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PHC是等腰三角形?若存在，請直接寫出點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

【考點題型十】其它問題

【例10](23-24九年級上?河南信陽?階段練習)

37.雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端N處彈跳到人梯頂端椅子8處，身體(看成

一點)的路線是拋物線歹=--+3》+1的一部分，如圖所示.

試卷第18頁，共20頁

(1)求演員彈跳離地面的最大高度；

(2)已知人梯高8C=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點/的水平距離是4米，問這次表

演是否成功？請說明理由.

【變式10-1](23-24九年級上?廣西南寧?階段練習)

38.某數(shù)學小組對數(shù)學學習中有關汽車的剎車距離有疑惑，于是他們走進汽車研發(fā)中心考察.

【知識背景】“道路千萬條，安全第一條”.汽車剎車后還要繼續(xù)向前行駛一段距離才能停止,

這段距離稱為剎車距離.

【探究發(fā)現(xiàn)】汽車研發(fā)中心設計一款新型汽車，現(xiàn)在模擬汽車在高速公路上以某一速度行駛

時，對它的剎車性能進行測試，數(shù)學小組收集、整理數(shù)據(jù)，并繪制函數(shù)圖象.

發(fā)現(xiàn)：開始剎車后行駛的距離y(單位：m)與剎車后行駛時間/(單位：s)之間成二次函

數(shù)關系，函數(shù)圖象如圖所示.

【問題解決】請根據(jù)以上信息，完成下列問題：

_y/mA

0123456Z/s

(1)求二次函數(shù)的解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)若在汽車前601n處，有一測速儀，當汽車剎車過程中，經(jīng)過多少時間，汽車超過測速儀12m；

(3)若汽車司機發(fā)現(xiàn)正前方80m處有一輛拋錨的車停在路面，立刻剎車，問該車在不變道的

情況下是否會撞到拋錨的車？試說明理由.

【變式10-2].(2023?河南信陽?模擬預測)

39.如圖，某滑雪比賽滑道分為四段區(qū)域，運動員從助滑區(qū)的臺端A點出發(fā)，在助滑道

43上獲得高速度，至跳臺區(qū)5c依靠慣性配合身體動作躍向空中，從跳臺區(qū)的末端C點飛

出后，身體以拋物線軌跡在空中飛行，最后落在著陸區(qū)斜坡8上，并在終點區(qū)DE上停留

試卷第19頁，共20頁

等待裁判根據(jù)運動員的飛行距離和動作完美情況來評分.

已知著陸區(qū)斜坡8的坡度均勻，CD的垂直高度CF為60m,水平距離。尸為80m.某位運

動員的一次動作中，在離開跳臺末端。點后水平前進了20nl時，高度恰好升高了20m達到

拋物線的最高點產(chǎn).

（1）請你建立合適的平面直角坐標系，并寫出拋物線的表達式;

⑵運動員在著陸區(qū)斜坡8上著陸，可以利用斜坡的角度進行有效的緩沖，若在終點區(qū)。E

上著陸，則會增加受傷風險.請你判斷這位運動員此次動作會在哪個區(qū)域著陸，并說明理由.

【變式10-3]（23-24九年級上?江蘇?期中）

40.塑料大棚（如圖1）是一種簡易實用的保護地栽培設施，我國塑料大棚的種植技術(shù)已經(jīng)

十分成熟.一個蔬菜塑料大棚的橫截面是由拋物線的一部分和矩形N28構(gòu)成（如圖

2）,矩形的一邊8c為12米，另一邊為2米.以8C所在的直線為x軸，線段8c的垂直

平分線為了軸，建立平面直角坐標系（規(guī)定一個單位長度代表1米）.拋物線的頂點E

坐標為（0,8）,其橫截面有三根支架斯，GH,MN（三根支架均垂直于地面8C）,且

BH=HF=FN=NC.

（1）求此拋物線對應的二次函數(shù)關系式；

（2）已知大棚共有支架300根（斯，GH,各100根），為了增加大棚內(nèi)空間，擬將圖2

中棚頂向上調(diào)整，調(diào)整后NET）仍然是拋物線的一部分且支架數(shù)量不變，對應頂點上升到￡'

（如圖3）.若增加的支架（GG',EE',MMD單價為60元/米（接口忽略不計），要使增

加支架的費用不超過12000元，求大棚向上調(diào)整高度的最大值.

試卷第20頁，共20頁

1.(l)20x+200

(2)每件售價為70元時，可使日銷售利潤最大，最大利潤為8000元

【分析】本題考查一次函數(shù)在銷售問題的應用，一元二次方程在銷售問題中應用，二次函數(shù)

在銷售問題中的應用.

(1)銷售量=降價前每日銷售量+降價所增加的銷售量，據(jù)此即可求解；

(2)設日銷售利潤為用元，日銷售利潤=每件所獲利潤*日銷售量，據(jù)此即可求解.

【詳解】(1)解:由題意得：

y=20x+200,

故答案為：20x+200；

(2)解：設日銷售利潤為少元，降價x元，由題意得：

^=(80-50-x)(20x+200)

=—20x~+400JV+6000

=-20(x-IO)?+8000,

—20<0,

.?.當x=10時，/大=8000(元)，此時售價為80-10=70(元)；

答：每件售價為70元時，可使日銷售利潤最大，最大利潤為8000元.

2.(1)了=一5/+800無一27500

(2)當銷售價定為80元時，銷售利潤最大，為4500元

(3)824x490

【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，不等式組的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，正

確的列出二次函數(shù)的解析式.

(1)根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，列出二次函數(shù)即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可；

(3)根據(jù)題意，列出不等式，進行求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：y=(x-50)[50+5(100-x)]=-5x2+800x-27500；

(2)「y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500,

.?.當x=80時，了有最大值為：4500,

答：當銷售價定為80元時，銷售利潤最大，為4500元；

答案第1頁，共35頁

(3)由題意，當：-5/+800尤-27500=4000時，

解得：才=70或工=90,

???當-5x2+800x-27500>4000時，70<x<90,

又50[50+5(100-x)]w7000,

解得：x>82,

綜上：82<x<90.

3.(1)當這種手提包銷售單價定為65元時，該商店每天的銷售利潤最大，最大利潤是225元

(2)該商店銷售這種手提包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為60元

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用：

(1)根據(jù)數(shù)量關系列出函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)當w=200時，代入w=-(x-65『+225即可求解；

理清題意，根據(jù)數(shù)量關系列出函數(shù)關系式是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：依題意得：w=(x-50)(-x+80),

整理得：W=-(X-65)2+225,

.?.當x=65時，川有最大值為225,

答：當這種手提包銷售單價定為65元時，該商店每天的銷售利潤最大，最大利潤是225元.

(2)當w=200時，200=-(x-65『+225,

解得：再=60,x2=70,

70>68,

x=60,

答：該商店銷售這種手提包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為60元.

4.(1)每件童裝應降價10元；

⑵不能，理由見解析

【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應用，以及二次函數(shù)的應用，

(1)設每件童裝降價x元時，每天可銷售(20+2x)件，每件盈利為(120-80-x)元，，根據(jù)

題意列方程求解即可；

(2)設童裝每天的銷售獲利為w元，得至Uw=(20+2x)(120-80-x)=-2(x-15『+1250,

答案第2頁，共35頁

然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

理解題意找到題目蘊含的等量關系是列方程求解的關鍵.

【詳解】（1）設每件童裝降價x元時，每天可銷售（20+2%）件，每件盈利為（120-80-x）元,

由題意得：（20+2x）（120-80-%）=1200,

整理得：X2-30X+200=0,

解得：%1=20,%=10，

當x=20時，每件盈利為：120-80-20=20<25,不合題意，舍去；

當x=10時，每件盈利為：120-80-10=30>25,符合題意；

答：每件童裝應降價10元；

（2）不能,理由如下:

設童裝每天的銷售獲利為w元，

由（1）知，W=（20+2X）（120-80-X）=-2（X-15）2+1250,

.?.當x=15時，w的值最大，最大值為1250,

?■?1250<2000,

二該童裝每天的銷售獲利不能達到2000元.

5.（1）匕=-?+1°

（2）滾動的距離s關于滾動的時間f的函數(shù)解析式為5=-；』+10/,黑球滾動的最遠距離為

100cm

【分析】（1）設匕關于f的函數(shù)解析式為匕=4+6,由表中數(shù)據(jù)得出二元一次方程組，求出

。、6的值即可.

（2）先求出中=:110-1/+1。]=一Jf+10,再根據(jù)S="“求出

2（2）4

119

S=--/2+10^--（Z-20）-+100,然后由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）設匕關于f的函數(shù)解析式為匕=加+6,

[2。+6=9

根據(jù)題意，得，s，

答案第3頁，共35頁

1

解得”-5,

6=10

故匕關于t的函數(shù)解析式為匕=-1+10.

⑵???匕=-5%+10,%=io，彳=］（%+匕），

...v=l|10-1r+10U--/+10,

2（2）4

???S=v?t,

117

：,S=——Z2+10Z=——（Z-20）+100,

44V7

故滾動的距離s關于滾動的時間f的函數(shù)解析式為S=-+10/,

當f=20時，黑球滾動的最遠距離為100cm,

答:滾動的距離s關于滾動的時間/的函數(shù)解析式為s=+10/,黑球滾動的最遠距離為

4

100cm.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一次函數(shù)的應用、二次函數(shù)的應用等知識，找

準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

3

6.（1）s=a/（，20）;

（2）鋼球從斜面頂端滾到底端用2s.

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵在于能夠準確讀懂題意.

（1）先求出匕=%+或，然后得到,=%產(chǎn)，再由s=）即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）計算的結(jié)果把s=3代入求解即可.

【詳解】（1）解：由題知%=0,

vt=%+1.5,=0+1.5/=1.5,.

_%+匕1.5，32/、八\

s=vt=———5=——xr=-r>0),

224v7

即5=：/"叫.

(2)把s=3代入s=中，得——=3.

44

解得％=2,t2=-2(舍去).

二鋼球從斜面頂端滾到底端用2s.

答案第4頁，共35頁

7.（1）S乙=2〃+1"

（2）3秒

（3）27厘米

【分析】此題考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意正確求出S乙與f之間的函數(shù)解析式是解題

的關鍵.

（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可得到答案；

（3）求出甲停止時滑行的最大距離，以及此時乙滑行的距離，即可得到答案.

【詳解】（1）解：由題意可設方與/之間的函數(shù)關系式為：/="+從+4。片0）,

把（0,0）,（1,16）,（2,36）代入解析式可得:

c=0

<a+b+c=\6,

4a+2b+c=36

a=2

解得：b=14,

c=0

???Sz與/之間的函數(shù)關系式為：s乙=2r+1"；

（2）???甲木塊滑行2秒后，乙才開始運動，

2f2+14/=-（/+2）2+12（f+2）+25,

方程整理可得：/2+2/-15=0,

解得：％=3，12=-5（舍去），

答：乙木塊追上甲木塊用時3秒；

（3）根據(jù)題意可得：S甲=——+121+25=—（f—6）~+61,

??--K0,且甲木塊在一條滑道內(nèi)自動滑行，直到停止，

.??當仁6時，甲滑行的最大距離為61厘米，此時甲停止滑行，

???甲木塊滑行2秒后，乙才開始運動，

二乙的受力時間=6-2=4（秒），

答案第5頁，共35頁

此時S乙=2x42+14*4=88,

??,88-61=27(厘米),

答：甲木塊停止時，乙木塊與甲木塊的水平距離為27厘米.

25

8.(Dys

⑵當,20時，S=t2,該汽車最快需要289s可以通過停車線

6

(3)8<v<16

【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解分式方程，解一元二次方程，理解題意出關系式或

方程是解題的關鍵.

（1）先求出60km/h=mm/s,根據(jù)速度每秒增加2m/s即可求解;

（2）根據(jù)平均速度的定義即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得時間，由（1）可知汽車從停

2525j=^m,再求出剩余路程以限速行駛

車線4出發(fā)加速到限速所需的時間則3=

所用的時間即可得到答案;

（3）設該汽車勻速行駛過程中速度的為v,根據(jù)題意根據(jù)（2）的方法求得兩段路程所用時間,

結(jié)合題意中綠燈等亮起期間所用時間，分別列出方程，即可該汽車勻速行駛過程中速度的取

值范圍.

【詳解】（1）解：?邛艮速為60km/h=Um/s

???汽車啟動后開始加速，速度每秒增加2m/s.

15025

=—x—=——s

233

(2)角軍：當，20時，S=歷=0+2,x/=

2

25

由（1）可知汽車從停車線4出發(fā)加速到限速所需的時間§s,

25

則5=