2024-2025學(xué)年浙江省杭州某中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

2024-2025學(xué)年浙江省杭州中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，中國(guó)取得

金牌榜第一名的好成績(jī)，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

讀B.

C.謙

2.（3分）若三角形的三邊長(zhǎng)分別是4、9、a,則。的取值可能是（）

A.3B.4C.5D.6

不能使成立的是（）

A.AB=CDB.AC=BDC./A=NDD.ZABC=ZDCB

4.（3分）下列各圖中，作△NBC邊ZC邊上的高，正確的是（)

A.B.

C.ACD.

5.（3分）若。＜人則下列結(jié)論正確的是（)

A.Q+1VZ?+1B.Q-2>Z?-2C.--3bD.

44

6.（3分）如圖，尸是的平分線。。上一點(diǎn)，PD上OB,PELOA,垂足分別為。，E,

若尸￡）=2,則尸￡的長(zhǎng)是（）

7.（3分）如圖，在△4BC中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖得到射線AD,8。與ZC交于點(diǎn)

￡,點(diǎn)尸為3c的中點(diǎn)，連接所，若5E=/C=4,則△￡人7的周長(zhǎng)為（）

A.275B.4C.275+2D.2^5-2

8.（3分）如圖，將45°的NZ05按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點(diǎn)。與尺下沿的端

點(diǎn)重合，。幺與尺下沿重合，與尺上沿的交點(diǎn)5在尺上的讀數(shù)恰為2cM.若按相同的方

式將30°的NZOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（）

cm.

345

A.4cmB.3,5cmC.2V2cirD.2V3cir

9.（3分）如圖，把紙片△4BC的NZ沿折疊，點(diǎn)幺落在四邊形C8QE外，則Nl,Z2

與乙4的關(guān)系是（）

A.Z2-Z1=2ZAB.Z2-ZA=2Z1C.Z1+Z2=2ZAD.Z1+

ZA=2Z2

10.（3分）如圖，等腰RtZUBC中，AB=AC,Z5^C=90°,Z。，8c于點(diǎn)。，NZ8C的

平分線分別交NC、4D于E、/兩點(diǎn)，M為EE的中點(diǎn)，4W的延長(zhǎng)線交8c于點(diǎn)N,連接

DM,下列結(jié)論：①N4EB=67.5°；②AE=AF；③△AONm△5。9；?BF=2AM；⑤

二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）x與3的和不大于2,用不等式表示為.

12.（3分）如圖，已知△N05g△（%>￡）,ZB=95°,ZC=50°,則NCOD=

13.（3分）不等式3x-3aW-2a的正整數(shù)解為1,2,則。的取值范圍是.

14.（3分）直角三角形的兩條邊為6和8,則斜邊上的中線長(zhǎng)是.

15.（3分）如圖，。為△NBC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分/4CB,BDLCD,/A=/ABD,若ZC=

10,BC=6,則BD的長(zhǎng)為.

B

16.（3分）如圖，已知在Rt^ZBC中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是ZC上的一點(diǎn)，

C￡>=3,點(diǎn)尸從8點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為人過點(diǎn)。作于點(diǎn)￡.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)/為時(shí)，能

使￡>￡=C￡>?

A

三、解答題（共8小題，共72分）

17.（6分）解下列不等式（組）

（1）求不等式的解2（3x+2）-2x<0；

'x+4<3（x+2）

（2）解不等式組x-1/x

18.（6分）在△ZBC中，乙4=L/B=L/ACB,CD是AZBC的高，CE是NZC5的角平分

23

線，求NZX7E的度數(shù).

19.（8分）如圖，已知△ZBC,ZC=90°,AC<BC.

（1）用直尺和圓規(guī)作出N8ZC的角平分線交8c于點(diǎn)。，作出點(diǎn)。的位置（不寫作法,

保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若N8=36°,求NCD4的度數(shù).

20.（8分）如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均是邊長(zhǎng)為1的正方形）中完成下面各題:

（1）作△48C關(guān)于直線。E對(duì)稱的圖形△451。；

（2）求△48C的面積.

21.（10分）如圖，△ZQC與△EQG均為等腰直角三角形，連接NG,CE,相交于點(diǎn)X.

（1）求證：AG=CE；

（2）求的大小.

22.（10分）某廠租用2、8兩種型號(hào)的車給零售商運(yùn)送貨物.已知用2輛Z型車和1輛8

型車裝滿可運(yùn)貨10噸；用1輛Z型車和2輛5型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸；廠家現(xiàn)有

21噸貨物需要配送，計(jì)劃租用Z、8兩種型號(hào)車6輛一次配送完貨物，且Z車至少1

輛.根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）1輛Z型車和1輛5型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？

（2）請(qǐng)你幫助廠家設(shè)計(jì)租車方案完成一次配送完21噸貨物；

（3）若Z型車每輛需租金80元每次，5型車每輛需租金100元每次.請(qǐng)選出最省錢的租

車方案，并求出最少租車費(fèi).

23.（12分）定義：如果經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中

一個(gè)三角形是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么這條線

段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1,等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條

“和諧分割線”.

（1）判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是命題；（填“真”或

“假”）

（2）如圖2,在RtZU5C中，ZC=90°,ZB=30°,AC<3,試探索Rt^4BC是否存在

“和諧分割線”？若存在，求出“和諧分割線”的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由;

（3）如圖3,在△ZBC中，2=42°,若線段CD是△NBC的“和諧分割線”，且△BCD

是等腰三角形，求出所有符合條件的N8的度數(shù).

24.（12分）如圖，在RtZk48C中，46=10,BCLAC,尸為線段ZC上一點(diǎn)，點(diǎn)0,尸關(guān)于

直線5c對(duì)稱，0DL45于點(diǎn)。，DQ與BC交于點(diǎn)、E,連結(jié)。尸，設(shè)4P=機(jī).

（1）若8。=8,求ZC的長(zhǎng)，并用含機(jī)的代數(shù)式表示尸0的長(zhǎng);

（2）在（1）的條件下，若AP=PD,求CP的長(zhǎng)；

(3)連結(jié)尸￡,若NZ=60°,Z\PCE與△Q￡>￡的面積之比為1：2,求機(jī)的值.

B

O

2024-2025學(xué)年浙江省杭州中學(xué)八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷

詳細(xì)答案

一、選擇題(共10小題，滿分30分，每小題3分)

1?【解答】解：4該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

反該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.該圖形是軸對(duì)稱稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

。.該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

2.【解答】解：???三角形的三邊長(zhǎng)分別是4、9、a,

：.9-4<a<9+4,即5<a<13.

故選：D.

3.【解答】解：2、?:BC=CB,Z1=Z2,AB=CD,

：.AABC和△QC5不一定全等，

故Z符合題意；

B、,:BC=CB,Z1=Z2,AC=BD,

：.^ABC^ADCB(SAS),

故B不符合題意；

C、'：BC=CB,Z1=Z2,/A=/D,

:.△4BC2ADCB(AAS),

故C不符合題意；

D、'：BC=CB,Z1=Z2,/ABC=/DCB,

：.^ABC^ADCB(ASA),

故Z)不符合題意；

故選：A.

4.【解答】解；A,圖中5E不是△45C邊ZC邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；

B、圖中不是△48C邊ZC邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；

C、圖中8E不是△4BC邊ZC邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；

D、圖中是△48C邊ZC邊上的高，本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

5.【解答】解：4、由。＜上得。+1＜計(jì)1,原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意;

B、由a＜b,得a-2＜b-2,原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、由得-3a＞-3b,原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、由。＜小得且＜二，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

44

故選:A.

6.【解答】解：?.?尸是NZ05的平分線。。上一點(diǎn)，PDLOB,PELOA,

：.PE=PD,

,:PD=2,

：.PE=2.

故選:A.

7.【解答】解：由題意得，8E為NZ5C的平分線，

?：AB=BC,

-BELAC,AE=CE=yAC=2'

由勾股定理得，AB=BC=V42+22=2V5,

:點(diǎn)尸為5c的中點(diǎn)，

”嗎知=心CE=yAC=2'

AEFC的周長(zhǎng)為遙+75+2=275+2-

故選：C.

8.【解答］解：如圖，作于。，CELCM于￡,

OD.EA

VZAOB=45°,

??.△50。是等腰直角三角形,

:?BD=0D=2cm,

CE=BD=2cm,

VZAOC=30°,

???OC=2CE=4cm,

在RtACOE中，0E=A/OC2-CE2=742-22=2^3(cm).

故選：D.

9.【解答］解：如圖：分別延長(zhǎng)CE、BD交于⑷點(diǎn)、,

：.Z2=ZEA'A+ZEAA',Z1=ZDA'A+ZDAA',

而根據(jù)折疊可以得到NEZ'A=ZEAA',ZDA'A=ZDAA',

：.Z2-Zl=2(ZEAA'-ZDAA')=2ZEAD.

故選：A.

10.【解答】解：?等腰RtZkNBC中，ZBAC=90°,ADLBC,

:./BAD=/C4D=/C=/4BC=45°,

■:BE平分/ABC,

：.ZABE=ZCBE=i.ZABC=22.5°,

2

ZAEB=ZCBE+ZC=22.5°+45°=67.5°,

故①正確；

VZAFE=ZFBA+ZBAF=22.5°+45°=67.5°,

由①知N/￡8=67.5°,

ZAEF=ZAFE,

：.AE=AF,

故②正確；

VZBAC=90°,AC=AB,ADLBC,

：.ZABC=ZC=45°,AD=BD=CD,ZADN=ZADB=90°,

\'AE=AF,/為EF的中點(diǎn)，

：.AM±BE,

：.ZAMF=9Q°,

ZAMF=ZBDF=9Q°,

VZAMF+ZAFM+ZDAN=180°,ZBDF+ZBFD+ZFBD=180°,ZAFM=ZBFD,

，/FBD=ZDAN；

在△AON和△BD9中，

'ZFBD=ZDAN

>BD=AD，

LZBDF=ZADN

:.AADN沿ABDF(ASA),

故③正確；

在ABAM和叢BNM中，

,ZABM=ZNBM

-BM=BM，

kZBMA=ZBMN

ABAM經(jīng)ABNM{ASA),

:.AM=MN=LAN,

2

由③知△NQNgABDF,

：.BF=AN=2AM,

故④正確；

過點(diǎn)。作。DPLBE.

在△HOP和△4D0中,

,ZDPB=ZAQD

"ZPBD=ZQAD-

,BD=AD

/.ABDP^AADQ(AAS),

：.DP=DQ,

:.DM平分/BMN,

故⑤正確.

故選:A.

二、填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11?【解答】解：x與3的和為x+3,

由題意得，x+3W2.

故答案為：x+3W2.

12.【解答］解：":XAOB義XCOD,

:./D=/B=95°,

AZCOZ)=180°-Z￡>-ZC=35°,

故答案為：35.

13.【解答】解：3x-3aW-2a,

移項(xiàng)得:3xW-2a+3a,

合并同類項(xiàng)得：

???不等式的解集是xW曳，

3

,??不等式3x-3aW-2a的正整數(shù)解為1,2,

...2W至V3,

3

解得：6Wa<9.

故答案為：6<a<9.

14?【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)8為直角三角形的斜邊時(shí)，

.?.斜邊上的中線長(zhǎng)=工><8=4；

2

當(dāng)6和8為直角三角形的兩條直角邊時(shí)，

斜邊長(zhǎng)=+82=10,

.?.斜邊上的中線長(zhǎng)=」x10=5；

2

綜上所述：斜邊上的中線長(zhǎng)是4或5,

故答案為：4或5.

15?【解答】解：延長(zhǎng)AD交NC于點(diǎn)E,如圖所示:

：ZA=ZABD,

：.BE=AE,

■:BDLCD,

：.ZCDB=ZCDE=90°,

,.?。。平分/幺。5,

ZBCD=ZECD,

在△5CO和△￡(%)中，

，ZCDB=ZCDE=90°

<CD=CD，

,ZBCD=ZECD

:.ABCD義AECD(ASA),

：.BC=CE=6,BD=DE,

：.AE=AC-CE=\O-6=4,

^.BE=AE=4,

：.BD=DE=1.BE=2.

2

故答案為：2.

16?【解答】解：①點(diǎn)尸在線段8c上時(shí)，過點(diǎn)。作。EL4P于￡,如圖1所示:

圖1

則NZED=NP￡Q=90°,

AZPED=ZACB=90°,

:.PD平分/APC,

：.ZEPD=ZCPD,

又,：PD=PD,

：.^PDE^APDC(AAS),

：.ED=CD=3,PE=PC=16-It,

：.AD=AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

.?.AP=ZE+P￡=4+16-2f=20-It,

在RtZXNPC中，由勾股定理得：82+(16-2/)2=(20-2/)2,

解得：/=5；

②點(diǎn)尸在線段5c的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)。作。于E,如圖2所示:

同①得：XPDE義XPDC(AAS),

：.ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

：.AP=AE+PE=4+2t-16=2t-12,

在Rt△，尸C中，由勾股定理得：82+C2t-16)2=(2t-12)2,

解得：/=11.

綜上所述，在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)/的值為5或11時(shí)，能使。E=CZ).

三、解答題(共8小題，共72分)

17.【解答】解：(1)去括號(hào)得：6x+4-2x<0,

移項(xiàng)合并得：4x<-4,

系數(shù)化為1得：x<-1,

???不等式的解集為x<-1;

x+4<3(x+2)①

由①得：xN-1,

由②得：x<3,

???不等式組的解集為-lWx<3.

18.【解答】解：,.?N/=JLN8=>LNZC8,

23

:./B=2/A,ZACB=3ZA,

VZA+ZB+ZACB=18Q°,

ZA+2ZA+3ZA=180°,

解得NZ=30°,

/.ZACB=90°,

?.?CD是△NBC的高，

AZACD=90°-30°=60°,

?:CE是/4CB的角平分線，

ZACE=1X9O°=45°,

2

/.ZDCE=ZACD-ZACE=60°-45°=15°.

19?【解答】解：(1)作N8ZC的角平分線交8c于點(diǎn)。，如圖，點(diǎn)。即為所作;

(2)已知△NBC,ZC=90°,AC<BC./B=36°,

:./BAC=/B=90°-36°=54°,

,；4D平分/B4C,

?*-ZBAD=yZBAC=yX54°=27°，

ZCDA=ZBAD+Z5=27°+36°=63°,

??.NCD4的度數(shù)63°.

E

分別作出點(diǎn)4B,C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)4,Bi，Ci，連接小囪，AXCVBXCV

則△451。就是求作的圖形；

=25

(2)S/\ABC=2X3-Xx]x2-yXIX3-yXIX2--

21?【解答】(1)證明：???△ZQC與均為等腰直角三角形,

：.AD=CD,DG=DE,ZADC=ZGDE=90°,

/ADC+/CDG=ZGDE+ZCDG,即ZADG=ZCDE,

:.AADG經(jīng)ACDE(S4S),

:.AG=CE；

(2)解：設(shè)NG與CD交于點(diǎn)8,

△4DG咨△COE,

/.ZDAG=ZDCE,

又,:ZABD=ZCBH,

：.ZCHB=ZADB=90°；

:./AHE=90°.

22.【解答】解：(1)設(shè)1輛幺型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨x噸，1輛B型車裝滿貨物一次可

運(yùn)貨了噸，

依題意得：儼”。，

,x+2y=U

解得：卜=3.

Iy=4

答：1輛Z型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛8型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨4噸.

(2)設(shè)租用機(jī)輛Z型車，則租用(6-機(jī))輛8型車，

依題意得：]命1,

[3in+4(6-m)>21

解得：1W機(jī)W3.

?.?機(jī)為正整數(shù)，

.?〃〃可以取1,2,3,

???共有3種租車方案，

方案1：租用2型車1輛，8型車5輛;

方案2：租用幺型車2輛，8型車4輛；

方案3：租用N型車3輛，3型車3輛.

(3)選擇方案1的租車費(fèi)為1X80+100X5=580(元)；

選擇方案2的租車費(fèi)為2X80+100X4=560(元)；

選擇方案3的租車費(fèi)為3X80+100X3=540(元).

V580>560>540,

???方案3最省錢，即租用/型車3輛，5型車3輛，最少租車費(fèi)為540元.

23?【解答】解：(1)等邊三角形過一個(gè)頂點(diǎn)的線段不能分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三

角形，

...等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題.

故答案為：假.

(2)存在“和諧分割線”，理由如下：

作NC4B的平分線/。交5c于點(diǎn)。，如圖2：

VZC=90°,Z5=30°,

：.ZCAB=60°,

：.ZCAD=ZDAB=30°,

在中，ZADC=60°,

：.AACD的三個(gè)內(nèi)角與△48C的三個(gè)內(nèi)角相等，

VZDAB=ZB=30°