2024-2025學(xué)年浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：一元一次方程知識(shí)歸納與題型訓(xùn)練（4類(lèi)題型）

《一元一次方程》知識(shí)歸納與題型訓(xùn)練（4類(lèi)題型）

01思維導(dǎo)圖

方程的定義）

方程的解）

等式的傳遞性；T如果a=b、b=c,那么a=Q

等式基本性質(zhì)］,（如果a=6,那么a±c=b土c）

等式的基本性質(zhì)

等式基本隨2，一（^如果a=b,那么ac=bc,或、=，（CH0）

元一次方程去分母〕—I依據(jù)：等式基本性質(zhì)2）

去括號(hào)）（依據(jù)：去括號(hào)法則）

:等式基本酮

:合并同類(lèi)項(xiàng)、-「依據(jù)：合并同類(lèi)項(xiàng)法則）

，系數(shù)化為1%，依據(jù):等式基本隨二）

基本步驟：審、設(shè)、歹人解、笥

一元一次方程的應(yīng)用

常見(jiàn)類(lèi)型：銷(xiāo)售問(wèn)題、存程問(wèn)題J工程問(wèn)題

02知識(shí)速記

一、認(rèn)識(shí)方程

方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程.

方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。

二、等式的基本性質(zhì)

等式的性質(zhì)1等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果Q=b,那么〃土C=6土C.

等式的性質(zhì)2等式的兩邊都乘或都除以同一個(gè)數(shù)或式（除數(shù)不能為零），所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果Q=b,那么=或@=2（cw0）.

CC

要點(diǎn)詮釋：

等式的傳遞性如果Q=b、b=c,那么Q=C。

三、一元一次方程

一元一次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一

次方程。

一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的

根。

四、一元一次方程的解法

步驟名稱方法注意事項(xiàng)

在方程兩邊同時(shí)乘以所有分母的

①不含分母的項(xiàng)也要乘以最小公倍數(shù)；

最小公倍數(shù)（即把每個(gè)含分母的部

1去分母②分子是多項(xiàng)式的一定要先用括號(hào)括起

分和不含分母的部分都乘以所有分

來(lái)

母的最小公倍數(shù)）

2去括號(hào)去括號(hào)法則（可先分配再去括號(hào)）注意正確的去掉括號(hào)前帶負(fù)數(shù)的括號(hào)

把未知項(xiàng)移到議程的一邊（左

3移項(xiàng)移項(xiàng)一定要改變符號(hào)

邊），常數(shù)項(xiàng)移到另一邊（右邊）

分別將未知項(xiàng)的系數(shù)相加、常數(shù)

4合并同類(lèi)項(xiàng)單獨(dú)的一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為"±1”

項(xiàng)相加

在方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系

不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系

5系數(shù)化為數(shù)（即方程兩邊同時(shí)乘以未知數(shù)系

“1”數(shù)作除數(shù)一一分母）

數(shù)的倒數(shù)）

要點(diǎn)詮釋:

上表僅說(shuō)明了在解一元一次方程時(shí)經(jīng)常用到的幾個(gè)步驟，但并不是說(shuō)解每一個(gè)方程都必須經(jīng)過(guò)五

個(gè)步驟；解方程時(shí)，一定要先認(rèn)真觀察方程的形式，再根據(jù)對(duì)應(yīng)步驟和方法解方程；

五、一元一次方程的應(yīng)用

一元一次方程應(yīng)用題解題一般步驟:

步驟具體內(nèi)容

“審”（審題）“審”題目中的已知量、未知量、基本關(guān)系；

“設(shè)”（設(shè)未知數(shù)）一般原則是：?jiǎn)柺裁淳驮O(shè)什么；或未知量較多時(shí)，設(shè)較小的量，表示較

大的量

“列”【列方程】找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程

“解”【解方程】根據(jù)一元一次方程的解法解出方程，注意解方程的過(guò)程不需要在解答中

體現(xiàn)

“驗(yàn)”（檢驗(yàn)）檢驗(yàn)分兩步，一是檢驗(yàn)方程是否解正確；二是檢驗(yàn)方程的解是否符合題

（非必須）

“答”（寫(xiě)出答案）最后的綜上所述

要點(diǎn)詮釋：

（1）利潤(rùn)型應(yīng)用題常用等量關(guān)系:

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折扣；總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)X數(shù)量；

（2）行程類(lèi)應(yīng)用題常用等量關(guān)系：

速度X時(shí)間=路程；相遇問(wèn)題：S甲+S『S總；追及問(wèn)題：S快-5慢=5相距；

（3）工程類(lèi)應(yīng)用題常用等量關(guān)系：

工作量=工作效率義工作時(shí)間；完成某項(xiàng)工作的各工作量的和=總工作量=1;

03題型歸納

題型一等式的基本性質(zhì)

例題:

1.（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.如果ac=bc,那么a=b

B.如果q=b,那么〃+2=6-2

C.如果。=力，那么

D.如果/=廬，那么Q=b

2.（2023秋?恩施市期末）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形不成立的是（）

A.若a=b,則2a=26B.若a=6,則包&

33

C.若°=6,則_LD.若a=b,貝!|a+l=b-l

33

3.（2023秋?員耶日區(qū)期末）如圖，在天平上放若干蘋(píng)果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，現(xiàn)要使③中的

天平也保持平衡，需要在天平右盤(pán)中放入祛碼（）

350克產(chǎn),.一400克上一1）?.克

①②③

A.350克B.300克C.250克D.200克

鞏固訓(xùn)練

4.（2023秋?臺(tái)州期中）下列等式變形中，正確的是（）

A.若3x-2=5,則3x=-7B.若-8x=4,貝ljx=-2

c-若4X=2則2x=6D.若5x+2=-6,貝ij5x=-8

o

5.（2023秋?仙居縣校級(jí)期中）已知“x=ay,下列等式變形不一定成立的是（）

A.b+ax=b+ayB.x=y

C.x-ax=x-ayD.——=——七—

22

a+la+l

題型二一元一次方程與方程的解

例題：

1.（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）下列四個(gè)方程中，屬于一元一次方程的是（）

A.2--1=0B.x-y—12C.x+4=—D.6x=0

x

2.（2023秋?玉環(huán)市期末）當(dāng)關(guān)于x的方程2x-1="+3的解為x=l時(shí)，°的值是（）

A.-1B.-2C.-3D.4

3.（2023秋?蒼南縣校級(jí)月考）整式加x+〃的值隨x的取值不同而不同，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式

的值，則關(guān)于x的方程〃?x-〃=8的解為（）

X-1012

mx+n-8-404

A.x=-1B.%=0C.x=lD.x=2

4.（2023秋?椒江區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x的方程2a(x+5)=二3x+l無(wú)解，則a=()

A.-5B.0c.3D.3_

2T

鞏固訓(xùn)練

5.（2024?東陽(yáng)市開(kāi)學(xué)）方程（a-3）x同-2+2=0+3是關(guān)于x的一元一次方程，則a=.

6.（2022秋?溫州月考）已知關(guān)于x的一元一次方程2022x-5=3x-a的解為x=2,那么關(guān)于》的一元一次

方程2022（7+1）-3（7+1）=5-a的解為（）

A.y=-1B.y=-3C.y=1D.y=3

7.（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元一次方程^^+a=2023x的解是工=2022,關(guān)于y的一元

2023

一次方程_^+2（）23c=-a的解是＞=-2021（其中6和c是含有y的代數(shù)式），則下列結(jié)論符合條件的

2023

是（）

A.b=-y-c=y+\B.b=\-y,c=y-1

C.b=y+\,c=-y-1D.b=y-1,c=l-y

8.（2023秋?婺城區(qū)期末）已知eb為實(shí)數(shù)，且關(guān)于％的方程x-辦=6的解為x=6,則關(guān)于y的方程（丁-

1）-a（y-1）=b的解為y=.

題型三解一元一次方程

例題:

1.（2023秋?余姚市校級(jí)月考）已知方程配L_I=_2±2,去分母后正確的結(jié)果是（

26

A.3(3x-1)-1=-x+2B.3(3x-1)-1(x+2)

C.3(3x-1)-6=-x+2D.3(3x-1)-6=-(x+2)

2.（2023秋?諸暨市期末）把方程三10.3x+8=16的分母化成整數(shù)，結(jié)果應(yīng)為（

0.50.7

A'-I_3x+8Bx-1_3x+8

=16=160

5757

Q10x-10_3x+80D10--10_3x+80

=160=16

5757

3.（2024?江北區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）解方程：則尤=

14X74A=o5_A3X,

4.（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）某同學(xué)解方程Sx工［x=l-的過(guò)程如下框:

0.20.3

解:修x-

兩邊同時(shí)乘以10,得人-^￡=1。...①

合并同類(lèi)項(xiàng),得*1°……②

系數(shù)化1,得％=60③

請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.

5.（2023秋?堇B州區(qū)期末）解方程:

(1)4x-3=2(x-1)；

（2）解方程：在zL=i上^

32

6.（2024?東陽(yáng)市開(kāi)學(xué)）解下列方程:

⑴5x-2=7x+8；

(2)2X~3_7X+2

24

鞏固訓(xùn)練

7.（2023秋?金東區(qū)期末）解方程2-3（2-3%）=2,去括號(hào)正確的是（

A.2-6-9x=2B.2-6-3x=2C.2-6+9x=2D.2-6+3x=2

8.（2008秋?臺(tái)州期末）下面解方程變形正確的是（）

A.方程4x+l=2x+l,移項(xiàng)，得4x+2x=0

B.方程包=3x-l去分母得x+l=3x-1-1

22

C.方程-且x=-5,系數(shù)化為1得x=-6

6

D.方程學(xué)x+10x=7.5+L合并，得與'x=8.5

9.（2023秋?杭州月考）定義符號(hào)“*”表示的運(yùn)算法則為。*6=丘+3“,若（3*x）+（x*3）=-27,則x

10.(2023秋?東陽(yáng)市期末)解方程:

(1)6+2(x-4)=x；

(2)2x7一__L.

0.70.37

11.(2023秋?寧波期末)解方程：

(1)3-(4x-3)=7；

(2)主支=I_3X+2

25

題型四一元一次方程的應(yīng)用

例題:

1.（2023秋?荊門(mén)期末）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問(wèn)題，原文如下：今有人共買(mǎi)物，人出

八，盈三；人出七，不足四.問(wèn)人數(shù)，物價(jià)各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買(mǎi)一個(gè)物品，每人出8元,

還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問(wèn)共有多少人？這個(gè)物品的價(jià)格是多少？設(shè)共有x人，則可列

方程為（）

A.8x+3=7x-4B.8x-3=7x+4C.=x+4D.x+3=x-4

8787

2.（2024?嘉善縣一模）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有甲發(fā)長(zhǎng)安，五日至齊；乙發(fā)齊，七

日至長(zhǎng)安.今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長(zhǎng)安.問(wèn)幾何日相逢？譯文：甲從長(zhǎng)安出發(fā)，5日到齊國(guó)；乙從齊

國(guó)出發(fā)，7日到長(zhǎng)安.現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長(zhǎng)安出發(fā).問(wèn)多久后甲乙相逢？設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相

逢，則可列方程（）

3.（2022秋?臨海市期末）如圖，在兩個(gè)完全相同的大長(zhǎng)方形中各放入五個(gè)完全一樣的白色小長(zhǎng)方形，得到

圖（1）與圖（2）.若AB=m,則圖（1）與圖（2）陰影部分周長(zhǎng)的差是（）

C|ir

D.看

D1r

4.（2023秋?舟山期末）根據(jù)如表素材，探索未完成任務(wù).

水費(fèi)、用水量是多少？

素材1為增強(qiáng)公民節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，我市2023年采用“階梯收費(fèi)”.

素材2第一階梯（用水量W14噸）：水費(fèi)為4.3元/噸，其中自來(lái)水為3.35元/噸，污水

處理費(fèi)為0.95元/噸.

第二階梯（14噸〈用水量W21噸）：水費(fèi)為5.97元/噸，其中自來(lái)水為5.02元/

噸，污水處理費(fèi)為0.95元/噸.

第三階梯（用水量＞21噸）：水費(fèi)為11元/噸，其中自來(lái)水為10.05元/噸，污水

處理費(fèi)為0.95元/噸.

素材3如某用戶2023年2月份用水15噸,則各種費(fèi)用如下：

自來(lái)水費(fèi)14X3.35+（15-14）X5.02=51.92（元）

污水處理費(fèi)15X0.95=14.25（元）

水費(fèi)14X4.3+（15-14）X5.97=66.17（元）

問(wèn)題解決

任務(wù)1確定污水處理費(fèi)已知某用戶2023年12月份所繳水費(fèi)中，自來(lái)水費(fèi)為66.98

元，求該用戶12月份需繳污水處理費(fèi)多少元?

任務(wù)2確定水費(fèi)某用戶2023年11月用水。噸，則應(yīng)繳水費(fèi)多少元?

任務(wù)3確定用水量如果該用戶2023年5、6月份共用水42噸（6月份用水量超

過(guò)5月份用水量），共繳水費(fèi)209.01元，則該用戶5、6月份

各用水多少噸?

5.（2023秋?東陽(yáng)市期末）列方程解應(yīng)用題.

歐尚超市恰好用3200元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的與工少10件，甲、乙

2

兩種商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：（注：每件商品獲利=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）.

甲乙

進(jìn)價(jià)（元/件）2030

售價(jià)（元/件）2540

（1）該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

（2）該超市將購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣(mài)完后一共可獲得多少利潤(rùn)？

鞏固訓(xùn)練

6.（2024?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是明代數(shù)學(xué)家程大位.其中記載了“百

羊問(wèn)題”：甲趕羊群逐草茂，乙拽一羊隨其后，戲問(wèn)甲及一百否？甲云所說(shuō)無(wú)差謬，所得這般一群湊（再

多這樣一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只來(lái)方湊（正好一百），玄機(jī)奧妙誰(shuí)猜透？設(shè)這

群羊共有x只，貝IJ（）

A，x蔣x[x=100B.x蔣x{x+l=100

CX+X+-^-X+TX=100D-X+X+《XCX+1=100

2424

7.（2023秋?沐陽(yáng)縣月考）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車(chē)”問(wèn)題：今有三人共車(chē)，二車(chē)空;

二人共車(chē)，九人步.問(wèn)人與車(chē)各幾何？其大意是：每車(chē)坐3人，兩車(chē)空出來(lái)；每車(chē)坐2人，多出9人無(wú)

車(chē)坐.問(wèn)人數(shù)和車(chē)數(shù)各多少？設(shè)車(chē)x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2x+9

C.A+9=A_QD.3（x-2）=2（x+9）

32

8.（2023秋?路橋區(qū)期末）某種商品的進(jìn)價(jià)為80元，出售時(shí)的標(biāo)價(jià)為110元.為了盡快減少庫(kù)存，商店準(zhǔn)

備打折出售，但要使利潤(rùn)率為10