2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.3古典概型課時作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE1課時作業(yè)45古典概型時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．(多選)下列是古典概型的是(CD)A．隨意拋擲兩枚骰子所得點數(shù)之和作為樣本點時B．求隨意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點時C．從甲地到乙地共n條路途，求某人正好選中最短路途的概率D．拋擲一枚勻稱硬幣，反面對上解析：A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項中的樣本點是無限的，故B不是；C項滿意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項滿意古典概型的有限性和等可能性，故D是．2．一個口袋中裝有5個球，其中有3個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同，若一次從中摸出2個球，則至少有一個紅球的概率為(A)A.eq\f(9,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(1,10)解析：由題意知：白球有5－3＝2(個)．記三個紅球為：A，B，C；兩個白球為：a，b，一次摸出2個球全部可能的結果為(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10種，至少有一個紅球的結果為：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共9種，∴所求概率P＝eq\f(9,10).3．甲乙兩人玩猜數(shù)字嬉戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)隨意找兩人玩這個嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為(C)A.eq\f(11,25)B.eq\f(12,25)C.eq\f(13,25)D.eq\f(14,25)解析：甲乙兩人猜數(shù)字時互不影響，故各有5種可能，故全部可能的結果有5×5＝25(種)，“心有靈犀”的狀況包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13種，故他們“心有靈犀”概率為eq\f(13,25).4．將一個各個面上均涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體，從這些小正方體中任取一個，恰好是兩面涂色的概率是(C)A.eq\f(2,9) B.eq\f(8,27)C.eq\f(4,9) D.eq\f(16,27)解析：由題可得：大正方體的最上層有4個恰好是兩面涂色的小正方體，大正方體的中間一層及最底層都有4個恰好是兩面涂色的小正方體，所以恰好是兩面涂色的小正方體個數(shù)為4×3＝12(個)，所以從這些小正方體中任取一個，恰好是兩面涂色的概率是P＝eq\f(12,27)＝eq\f(4,9).5．某城市有連接8個小區(qū)A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齊方格形道路網(wǎng)，每個小方格均為正方形，如圖所示，某人從道路網(wǎng)中隨機地選擇一條最短路徑，由小區(qū)A前往小區(qū)H，則他經(jīng)過市中心O的概率是(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)解析：此人從小區(qū)A前往H的全部最短路徑為：A→G→O→H，A→E→O→H，A→E→D→H，共3個．記M＝“此人經(jīng)過市中心O”，則M包含的樣本點為：A→G→O→H，A→E→O→H，共2個．∴P(M)＝eq\f(2,3)，即他經(jīng)過市中心的概率為eq\f(2,3).6．下列命題中正確的命題有(A)(1)某袋中裝有大小勻稱的三個紅球、兩個黑球、一個白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同；(2)從－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同；(3)分別從3個男同學、4個女同學中各選一個作代表，那么每個同學當選的可能性相同；(4)5人抽簽，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到某號中獎簽的可能性確定不同．A．0個B．1個C．2個D．3個解析：由題意，(1)中，因為某袋中裝由大小勻稱的三個紅球、兩個黑球、一個白球，任取一球，紅球出現(xiàn)的概率是eq\f(1,2)，黑球出現(xiàn)的概率為eq\f(1,3)，白球出現(xiàn)的概率為eq\f(1,6)，所以每種顏色的球被摸到的概率不相同，所以不正確；(2)中，從－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0的概率為eq\f(4,7)；不小于0的概率為eq\f(3,7)，所以不相同，故不正確；(3)分別從3個男同學、4個女同學中各選一個作代表，那么男同學被選中的概率為eq\f(3,7)，每位女同學被選中的概率為eq\f(4,7)，所以每個同學當選的可能性不相同，所以是不正確的；(4)5人抽簽，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到某號中獎簽的可能性是相同的，所以不正確，故選A.二、填空題7．過點O(0,0)作直線與以點(4eq\r(5)，8)為圓心，半徑長為13的圓相交，若在被截弦長為整數(shù)的全部直線中，等可能地任取一條直線，則被截弦長長度不超過14的概率為eq\f(9,32).解析：由題意可知，最長弦為圓的直徑：2r＝2×13＝26.∵O(0,0)在圓內(nèi)部且圓心到O的距離為eq\r(80＋64)＝12，∴最短弦長為：2×eq\r(169－144)＝10，∴弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)有：2×(25－10)＋2＝32(條)．其中長度不超過14的條數(shù)有：2×(14－10)＋1＝9(條)，∴所求概率：P＝eq\f(9,32).8．盒子里有25個外形相同的球，其中10個白的，5個黃的，10個黑的，從盒子中隨意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為eq\f(2,3).解析：由題可知本題是一個等可能事務的概率，試驗發(fā)生包含的事務是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有15種結果，滿意條件的事務是取出的球是一個黑球，共有10種結果，所以依據(jù)等可能事務的概率得到P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).9．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為eq\f(3,5).解析：從正方形四個頂點A，B，C，D及其中心O這5個點中，任取2個點，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，O)，(B，C)，(B，D)，(B，O)，(C，D)，(C，O)，(D，O)共10種狀況，這2個點的距離不小于該正方形邊長的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(A，D)，(A，C)，(B，D)共6種狀況，∴這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).三、解答題10．袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a，b的兩個黑球和編號為c，d，e的三個紅球，從中隨意摸出兩個球．(1)求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率；(2)求至少摸出1個黑球的概率．解：(1)記事務A＝“恰好摸出1個黑球和1個紅球”，該試驗樣本空間Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共10個樣本點，A＝{(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共6個樣本點，由古典概型的概率公式可知，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)；(2)事務B＝“至少摸出1個黑球”，則B＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共7個樣本點，由古典概型的概率公式可知，P(B)＝eq\f(7,10).11．東莞市攝影協(xié)會準備在2024年10月舉辦主題為“慶祖國70華誕——我們都是追夢人”攝影圖片展．通過平常人的鏡頭記錄國強民富的華蜜生活，向祖國母親的生日獻禮，攝影協(xié)會收到了來自社會各界的大量作品，準備從眾多照片中選取100張照片展出，其參賽者年齡集中在[20,70]之間，依據(jù)統(tǒng)計結果，作出頻率分布直方圖如圖：(1)求頻率分布直方圖中x的值，并依據(jù)頻率分布直方圖，求這100位攝影者年齡的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和中位數(shù)m(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；(2)為了展示不同年齡作者眼中的祖國形象，攝影協(xié)會依據(jù)分層隨機抽樣的方法，安排從這100件照片中抽出20個最佳作品，并邀請相應作者參與“講解并描述照片背后的故事”座談會．①在答題卡上的統(tǒng)計表中填出每組相應抽取的人數(shù)：年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]人數(shù)②若從年齡在[30,50)的作者中選出2人把這些圖片和故事整理成冊，求這2人至少有一人的年齡在[30,40)的概率．解：(1)由頻率分布直方圖各個小矩形的面積之和為1，得x＝0.025，在頻率分布直方圖中，這100位參賽者年齡的樣本平均數(shù)為：eq\x\to(x)＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.4＋65×0.25＝52，設中位數(shù)為m，由0.05＋0.1＋0.2＋(m－50)×0.04＝0.5，解得m＝53.75.(2)①每組應各抽取人數(shù)如下表：年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]人數(shù)12485②依據(jù)分層隨機抽樣的原理，年齡在[30,40)有2人，在[40,50)有4人，設在[30,40)的是a1，a2，在[40,50)的是b1，b2，b3，b4，列舉選出2人的全部可能如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)共15種狀況．設A＝“這2人至少有一人的年齡在區(qū)間[30,40)”，則包含：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)9種狀況，則P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).——實力提升類——12．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各取隨意一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(B)A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)解析：集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各隨意取一個數(shù)有2×3＝6(種)，其兩數(shù)之和為4的狀況有兩種：(2,2)，(1,3)，所以這兩數(shù)之和等于4的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故選B.13．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：甲，乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種有9種不同的結果，分別為(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍)，(白，紅)，(白，白)，(白，藍)，(藍，紅)，(藍，白)，(藍，藍)．他們選擇相同顏色運動服有3種不同的結果，即(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，故他們選擇相同顏色運動服的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故選A.14．小李在做一份調(diào)查問卷，共有4道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共2道，另一種是填空題，共2道．小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則所選的題不是同一種題型的概率為eq\f(2,3)；小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則所選的題不是同一種題型的概率為eq\f(1,2).解析：將2道選擇題依次編號為1,2；2道填空題依次編號為4,5.從4道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間Ω1＝{(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)}，包含12個樣本點．設事務A＝“所選的題不是同一種題型”，則A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)}，包含8個樣本點，所以P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)；從4道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則樣本空間Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,5)}，包含16個樣本點．設事務B＝“所選的題不是同一種題型”，由A知所選的題不是同一種題型的樣本點共8個，所以P(B)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).15．某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，60件，30件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層隨機抽樣方法抽取了一個樣本量為n的樣本進行調(diào)查，其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件．(1)應從甲、丙兩個車間的產(chǎn)品中分別抽取多少件，樣本量n為多少？(2)設抽出的n