2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[目標(biāo)]1.能依據(jù)詳細(xì)問(wèn)題的特征，選擇兩種計(jì)數(shù)原理解決一些實(shí)際問(wèn)題.2.會(huì)依據(jù)實(shí)際問(wèn)題合理分類或分步．[重點(diǎn)]會(huì)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些實(shí)際問(wèn)題，如組數(shù)問(wèn)題、涂色問(wèn)題、選擇性問(wèn)題等．[難點(diǎn)]利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理合理地進(jìn)行分類和分步．學(xué)問(wèn)點(diǎn)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[填一填]1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題中的方法用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)最重要的是在起先計(jì)算之前要進(jìn)行細(xì)致分析須要分類還是須要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最終用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”即完成了全部步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立．分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最終依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．2．涂色問(wèn)題的解決思路(1)位置分析法，依據(jù)圖形中各區(qū)域依次依次涂色，在涂色時(shí)要留意可按不相鄰的部分同色與不同色進(jìn)行分類．(2)元素分析法，即從顏色個(gè)數(shù)入手進(jìn)行分類．3．選取問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)從已知的數(shù)字、號(hào)碼、人員等選取須要的元素來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的常見(jiàn)應(yīng)用．解決問(wèn)題時(shí)須要關(guān)注以下問(wèn)題：(1)適用分類加法計(jì)數(shù)原理還是適用分步乘法計(jì)數(shù)原理．(2)元素之間的關(guān)系對(duì)選取的影響及題目條件對(duì)所選取元素的限制．[答一答]解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，如何應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理？提示：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不肯定是單一地應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成，而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)實(shí)行分類的思想去求解，對(duì)于同一事務(wù)，我們可以做不同的處理，從而得到不同的解法(但總方法數(shù)相同)．1．兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用對(duì)于有些計(jì)數(shù)問(wèn)題的解決，對(duì)它們既須要進(jìn)行“分類”，又須要進(jìn)行“分步”，那么此時(shí)就要留意綜合運(yùn)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題．首先要明確是先“分類”后“分步”，還是先“分步”后“分類”；其次，在“分類”和“分步”的過(guò)程中，均要確定明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序．2．一些特別規(guī)計(jì)數(shù)問(wèn)題的解決方法(1)枚舉法將各種狀況一一列舉出來(lái)，它適用于計(jì)數(shù)種數(shù)較少時(shí)，分類計(jì)數(shù)時(shí)將問(wèn)題分類，實(shí)際也是將分類種數(shù)一一列舉出來(lái)．(2)間接法若計(jì)數(shù)時(shí)分類較多，或無(wú)法干脆計(jì)數(shù)時(shí)，可用間接法先求出總數(shù)，再減去不行能的種數(shù)，即正難則反．(3)轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換問(wèn)題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知的問(wèn)題．在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)依據(jù)詳細(xì)問(wèn)題，敏捷處理．(4)模型法模型法就是通過(guò)構(gòu)造圖形，利用形象直觀的圖形幫助我們分析、解決問(wèn)題的方法．模型法是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的重要方法．類型一計(jì)數(shù)問(wèn)題【例1】用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的：(1)銀行存折的四位密碼？(2)四位數(shù)？【分析】(1)要組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼，可以分四步選取數(shù)字，作四位密碼的四個(gè)位置上的數(shù)字，且所取數(shù)字不能重復(fù)；(2)可以分四步選取數(shù)字，分別作為千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，且所取數(shù)字不能重復(fù)，與(1)不同之處是千位數(shù)字不能取0.【解】(1)完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分四步完成：第一步：選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字，有5種選取方法；其次步：選取左邊其次個(gè)位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步：選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步：選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可組成不同的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼共有5×4×3×2＝120(個(gè))．(2)完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步完成：第一步：從1,2,3,4中選取一個(gè)數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；其次步：從剩余的四個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步：從剩余的三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步：從剩余的兩個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作個(gè)位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可組成不同的四位數(shù)共有4×4×3×2＝96(個(gè))．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理的一般思路：首先將完成這件事的過(guò)程分步，然后找出每一步中的方法有多少種，求其積.留意各步之間的相互聯(lián)系，都完成后，才能完成這件事.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中取四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，問(wèn)：(1)能組成多少個(gè)四位數(shù)？(2)能被5整除的四位數(shù)有多少個(gè)？解析：(1)第1步，千位上的數(shù)不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5種選擇；第2步，因?yàn)榍蝗×艘粋€(gè)數(shù)，還剩下5個(gè)數(shù)供百位取，所以有5種選擇；第3步，因?yàn)榍?、百位分別取了一個(gè)數(shù)，還剩下4個(gè)數(shù)供十位取，所以有4種選擇；第4步，因?yàn)榍?、百位、十位分別取了一個(gè)數(shù)，還剩下3個(gè)數(shù)供個(gè)位取，所以有3種選擇．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，組成的四位數(shù)共有5×5×4×3＝300(個(gè))．(2)因?yàn)闈M意要求的四位數(shù)能被5整除，所以個(gè)位上的數(shù)字只能是0或5.第1類，當(dāng)個(gè)位上的數(shù)字為0時(shí)，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有5種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有5×4×3＝60個(gè)滿意要求的四位數(shù)；第2類，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有4種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有4×4×3＝48個(gè)滿意要求的四位數(shù)．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，能被5整除的四位數(shù)共有60＋48＝108(個(gè))．類型二選取問(wèn)題【例2】已知在直線ax＋by＋c＝0中，a，b，c的值是集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求滿意條件的直線的條數(shù)．【分析】依據(jù)直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，即一條直線的傾斜角(不包括傾斜角為直角的狀況)的正切值等于這條直線的斜率，由斜率確定a與b的符號(hào)．【解】設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ＝－eq\f(a,b)(a，b≠0)，因?yàn)棣仁卿J角，所以tanθ>0，所以a與b異號(hào)．(1)當(dāng)c＝0時(shí)，因?yàn)閍與b異號(hào)，所以a有3種取法，b有3種取法，解除兩個(gè)重復(fù)的(3x－3y＝0,2x－2y＝0和x－y＝0為同一條直線)，故這樣的直線有3×3－2＝7條．(2)當(dāng)c≠0時(shí)，a有3種取法，b有3種取法，c有4種取法，其中隨意兩條直線都不相同，故這樣的直線有3×3×4＝36條．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得符合條件的直線共有7＋36＝43條．本題依據(jù)c是否為0來(lái)進(jìn)行分類，當(dāng)c＝0時(shí)，留意解除重復(fù)的直線；當(dāng)c≠0時(shí)，留意分步計(jì)算.滿意a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為(B)A．14 B．13C．12 D．10解析：a＝0時(shí)，方程變?yōu)?x＋b＝0，則b為－1,0,1,2都有解；a≠0時(shí)，若方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，則Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.當(dāng)a＝－1時(shí)，b可?。?,0,1,2.當(dāng)a＝1時(shí)，b可?。?,0,1.當(dāng)a＝2時(shí)，b可取－1,0，故滿意條件的有序?qū)?a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.類型三涂色問(wèn)題【例3】一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，四周的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．(1)如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a1，a2，a3，有多少種不同的種植方法？(2)如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a1，a2，a3，a4，有多少種不同的種植方法？【解】(1)如題圖1，先對(duì)a1部分種植，有3種不同的種植方法，再對(duì)a2，a3種植．因?yàn)閍2，a3與a1不同顏色，a2，a3也不同，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得3×2×1＝6(種)．(2)如題圖2，當(dāng)a1，a3不同色時(shí)，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當(dāng)a1，a3同色時(shí)，有3×2×2×1＝12(種)種植方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6＋12＝18(種)種植方法．1涂色問(wèn)題的基本要求是相鄰區(qū)域不同色，但是不相鄰的區(qū)域可以同色.解決此類問(wèn)題要特殊關(guān)注圖形的結(jié)構(gòu)特征.假如圖形不很規(guī)則，往往從某一塊動(dòng)身進(jìn)行分步涂色，從而選用分步乘法計(jì)數(shù)原理；假如圖形具有肯定的對(duì)稱性，那么先對(duì)涂色方案進(jìn)行分類，每一類再進(jìn)行分步.2涂色問(wèn)題往往涉及兩計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，因此，要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，在兼顧條件的狀況下分步涂色.有6種不同顏色的彩色粉筆寫(xiě)黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆．則該板報(bào)有多少種書(shū)寫(xiě)方案？解：第一步選英語(yǔ)角用的彩色粉筆有6種不同的選法；其次步選語(yǔ)文學(xué)苑用的彩色粉筆，不能與英語(yǔ)角相同，有5種不同的選法；第三步，選理綜世界用的彩色粉筆，與英語(yǔ)角和語(yǔ)文學(xué)苑用的顏色都不相同，有4種不同的選法；第四步，選數(shù)學(xué)天地用的彩色粉筆，只要與理綜世界不同即可，有5種不同的選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×5×4×5＝600種不同的書(shū)寫(xiě)方案．模型法解決計(jì)數(shù)問(wèn)題模型法就是通過(guò)構(gòu)造圖形，如樹(shù)形圖、表格等，利用形象、直觀的圖形幫助我們分析、解決問(wèn)題的方法．模型法是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的重要方法．【例4】三人傳球，由甲起先發(fā)球，并作為第1次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有多少種？【思路分析】【解】如圖．甲→□→□→□→□→甲第一個(gè)空與第四個(gè)空不能是甲，分三類探討：(1)若其次個(gè)空是甲，則第一個(gè)空有2種選擇方式，第三個(gè)空有2種選擇方式，第四個(gè)空僅有1種選擇方式，所以有2×2＝4種方式；(2)若第三個(gè)空是甲，同上，有2×2＝4種方式；(3)若其次個(gè)、第三個(gè)空都不是甲，則僅有如下兩種傳球方式：甲→乙→丙→乙→丙→甲；甲→丙→乙→丙→乙→甲．所以共有4＋4＋2＝10種方式．【解后反思】在這里以“□”來(lái)構(gòu)造模型，從而使看不見(jiàn)摸不著的動(dòng)態(tài)傳球問(wèn)題變得形象直觀起來(lái)．甲、乙、丙、丁四人各寫(xiě)一張賀年卡，放在一起，然后每人取一張不是自己寫(xiě)的賀年卡，共有多少種不同的取法？解：設(shè)甲、乙、丙、丁寫(xiě)出的4張賀年卡分別為1,2,3,4號(hào)，則將取不是自己寫(xiě)的賀年卡的各種方法全部列舉出來(lái)，如下表：方法編號(hào)法1法2法3法4法5法6法7法8法9甲222333444乙134144133丙441412212丁313221321故共有9種方法．1．某一數(shù)學(xué)問(wèn)題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3名同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個(gè)問(wèn)題，不同的選法種數(shù)為(A)A．8 B．15C．18 D．30解析：共有5＋3＝8種不同的選法．2．某市電話號(hào)碼由7位數(shù)組成，其中前4位是固定不變的，后3位數(shù)字是由0到9之間的隨意數(shù)字組成(數(shù)字可以重復(fù))，則該市最多有________個(gè)不同的電話號(hào)碼．(A)A．10×10×10 B．10×9×8C．9×9×9 D．9×8×73．某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)當(dāng)班長(zhǎng)，其中至少有1名女生當(dāng)選的選法種數(shù)是15.解析：至少有1名女生當(dāng)選，所以有兩種可能：(1)只有1名女生擔(dān)當(dāng)班長(zhǎng)，有4×3＝12種選法．(2)有2名女生擔(dān)當(dāng)班長(zhǎng)，有3種選法．故至少有1名女生當(dāng)選的選法為12＋3＝15種．4．若在登錄某網(wǎng)站時(shí)彈出一個(gè)4位的驗(yàn)證碼：××××(如2a8t)，第一位和第三位分別為0到9這10個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，其次位和第四位分別為a到z這26個(gè)英文字母中的一個(gè)，則這樣的驗(yàn)證碼共有67_600解析：要完成這件事可分四步：第一步，確定驗(yàn)證碼的第一位，共有10種方法；其次步，確定驗(yàn)證碼的其次位，共有26種方法；第三步，確定驗(yàn)證碼的第三位，共有10種方法；第四步，確定驗(yàn)證碼的第四位，共有26種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，這樣的驗(yàn)