2025年岳麓版高二數(shù)學(xué)下冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年岳麓版高二數(shù)學(xué)下冊月考試卷156考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、過橢圓的右焦點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B橢圓上不同的兩點A（x1，y1）B（x2，y2）滿足條件：|F2A||F2B||F2C|成等差數(shù)列；則弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍是（）

A.

B.

C.

D.

2、已知雙曲線的離心率為且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程是()A.B.C.D.3、【題文】執(zhí)行右面的程序框圖；如果輸入的N是5，那么輸出的S是（）

A.-385B.-399C.-45.D.-554、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則當(dāng)n＞1時，Sn=（）A.（）n﹣1B.2n﹣1C.（）n﹣1D.（﹣1）5、a，b∈R，下列命題正確的是（）A.若a＞b，則a2＞b2B.若a＞|b|，則a2＞b2C.若|a|＞b，則a2＞b2D.若|a|≠b，則a2≠b26、若圓臺兩底面周長的比是1：4，過高的中點作平行于底面的平面，則圓臺被分成兩部分的體積比是（）A.1：16B.39：129C.13：129D.3：27評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)7、中心在原點，長軸長為8，準(zhǔn)線方程為x=±8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為____．8、已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為____．9、已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)記為f′（x），且滿足：f（x）=f′（）sinx+cosx，則f（）的值為____．10、如右圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第行有個數(shù)且兩端的數(shù)均為()，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如，則第8行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為____．11、【題文】在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別為如果

是圍成的區(qū)域(含邊界)上的點，那么當(dāng)取到最大值時，點的坐標(biāo)是____________.12、如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為____米．13、已知雙曲線x2a2鈭?y2=1

的一條漸近線為3x+y=0

則a=

______．評卷人得分三、作圖題(共9題，共18分)14、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

15、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）16、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）17、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

18、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）19、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）20、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共2題，共4分)21、已知橢圓過右焦點F2的直線l交橢圓于A、B兩點，若|AB|=求直線l的方程．

22、由經(jīng)驗得知；在某商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及概率如表：

。排隊人數(shù)012345

人以上概率0.10.160.30.30.10.04(

Ⅰ)

至多有2

人排隊的概率是多少？

(

Ⅱ)

至少有2

人排隊的概率是多少．評卷人得分五、計算題(共4題，共24分)23、如圖，已知正方形ABCD的邊長是8，點E在BC邊上，且CE=2，點P是對角線BD上的一個動點，求PE+PC的最小值．24、已知等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，那么x的值為____．25、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．26、求證：ac+bd≤?．評卷人得分六、綜合題(共4題，共28分)27、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標(biāo)是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．28、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時點D的坐標(biāo)；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標(biāo)：____．29、已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，S3=0．30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、C【分析】

對|F2A|+|F2C|=

使用焦半徑公式得：5-x1+5-x2=?x1+x2=8．

此后，可以設(shè)AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達(dá)定理；也可以用“點差”：記AC中點M（4，y）；將A；C兩點的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差得：

?

∴kAC=-

于是有：AC的中垂線的方程為：

y-y=（x-4）；

當(dāng)x=0時：y=-此即AC的中垂線在y軸上的截距；

∵M（4，y）在橢圓“內(nèi)”；

∴

得-＜y＜

∴-＜-＜．

故選：C．

【解析】【答案】使用焦半徑公式求得x1+x2的值，可以設(shè)AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達(dá)定理；也可以用“點差法”：記AC中點M（4，y），將A、C兩點的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差，求得AC的斜率表達(dá)式，表示出AC的中垂線方程，把x=0代入求得AC的中垂線在y軸上的截距，根據(jù)M在圓內(nèi)求得y的范圍，進而求得的范圍即弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍．

2、A【分析】【解析】試題分析：雙曲線的離心率為所以又拋物線的準(zhǔn)線所以雙曲線中所以考點：雙曲線拋物線性質(zhì)【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】：依題意可知：當(dāng)N=5時，第一步k=1,s=-1,此時滿足k≤5；第二步k=3,s=-9,此時滿足k≤5；第三步k=5,s=-55,此時滿足k≤5；第四步k=7,s=-399，此時終止循環(huán)輸出s的值，即s=-399.選B【解析】【答案】B.4、A【分析】【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1；

∴a1=2a2，解得a2=．

當(dāng)n≥2時，Sn﹣1=2an；

∴an=2an+1﹣2an；

化為=．

∴數(shù)列{an}從第二項起為等比數(shù)列，公比為．

∴Sn=2an+1=2××=．

故選：A．

【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．5、B【分析】【解答】解：A．取a=1，b=﹣2時；不成立；

B．∵a＞|b|，則a2＞b2；成立．

C．取a=1，b=﹣2時；不成立；

D．取a=1，b=﹣1時，a2=b2；因此不成立．

故選：B．

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．6、B【分析】解：如圖所示，不妨設(shè)圓臺上底面為1，則下底面半徑為4，中截面半徑為r．

設(shè)半徑為1，r，4的3個圓錐的體積分別為V1，V2，V3．

設(shè)PO1=h，OO1=OO2=x；

∵O1A1∥OA∥O2A2；

∴

解得x=．

∴V2-V1=π=

V3-V2==

∴圓臺被分成兩部分的體積比=39：129．

故選：B．

如圖所示，不妨設(shè)圓臺上底面為1，則下底面半徑為4，中截面半徑為r．設(shè)半徑為1，r，4的3個圓錐的體積分別為V1，V2，V3．設(shè)PO1=h，OO1=OO2=x，由于O1A1∥OA∥O2A2，可得解得r；x．再利用圓臺的體積計算公式即可得出．

本題考查了圓臺的體積計算公式、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【解析】【答案】B二、填空題(共7題，共14分)7、略

【分析】

設(shè)a為半長軸，b為半短軸；c為焦距的一半；

根據(jù)題意可知：±=±8即a2=8c①；

2a=8②；

把②代入①解得：c=2，a=4，所以b==

又橢圓的中心在原點，則所求橢圓的方程為：．

故答案為：．

【解析】【答案】設(shè)出a，b，c分別為橢圓的半長軸，半短軸及焦距的一半，根據(jù)橢圓的準(zhǔn)線方程公式列出a與c的方程記作①，根據(jù)長軸長為8列出a的方程記作②，聯(lián)立①②即可求出a與c的值，根據(jù)a2=b2+c2即可求出b的值，由橢圓的中心在原點，利用a與b的值寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

8、略

【分析】

設(shè)PA與PO的夾角為a，則|PA|=|PB|=

==

=

記cos2a=u．則=

即的最小值為

故答案為：

【解析】【答案】利用圓切線的性質(zhì)：與圓心切點連線垂直；設(shè)出一個角；通過解直角三角形求出PA，PB的長；利用向量的數(shù)量積公式表示出。

利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)；通過換元，再利用基本不等式求出最值．

9、略

【分析】

∵∴解得．

∴

∴==-1．

故答案為-1．

【解析】【答案】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可得出．

10、略

【分析】【解析】

設(shè)第n行第m個數(shù)為a（n，m），由題意知a（6，1）=1/6，a(7，1)=1/7，∴a（7，2）=a（6，1）-a（7，1）=1/6-1/7=142，a（6，2）=a（5，1）-a（6，1）=1/5-1/6=130，a（7，3）=a（6，2）-a（7，2）=1/30-1/42=1105，a（6，3）=a（5，2）-a（6，2）=1/20-1/30=1/60，．a(chǎn)（8，3）=a（7，2）-a（7，3）=1/280【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】：∵點A；B，C的坐標(biāo)分別為（0，1），（4，2），（2，6）．

∴△ABC圍成的區(qū)域（含邊界）如下圖示：

由圖可知：當(dāng)ω=xy取到最大值時，點P在線段BC上，由線段BC上的點滿足：y=-2x+10，x∈[2，4]，∴ω=xy=x（-2x+10），故當(dāng)x=y=5時，ω取到最大值．故答案為：【解析】【答案】12、2【分析】【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=my，將A（2，﹣2）代入x2=my；

得m=﹣2

∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=

故水面寬為2m．

故答案為：2．

【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將A點代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把y=﹣3代入拋物線方程求得x0進而得到答案．13、略

【分析】解：雙曲線x2a2鈭?y2=1

的一條漸近線方程為1ax+y=0

可知1a=3

隆脿a=33

故答案為：33

．

通過雙曲線方程求出漸近線方程；與已知方程比較即可求出a

的值．

本題考查雙曲線的基本性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，考查計算能力．【解析】33

三、作圖題(共9題，共18分)14、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

15、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．17、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

18、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．20、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共2題，共4分)21、略

【分析】

由題可知：通徑長是故所求直線斜率存在。

設(shè)直線l方程為x=ty+1

由可得（4t2+5）y2+8ty-16=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）

則

∴

∴

解得t=±1

所以所求的直線方程為x-y-1=0或x+y-1=0

【解析】【答案】先根據(jù)通徑長是故所求直線斜率存在，設(shè)出直線方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理以及兩點間的距離公式求出|AB|的長；最后與條件|AB|=聯(lián)立；即可求直線l的方程．

22、略

【分析】

(

Ⅰ)

“至多2

人排隊”是“沒有人排隊”；“1

人排隊”，“2

人排隊”三個事件的和事件，三個事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出至多2

人排隊的概率．

(

Ⅱ)

“至少2

人排隊”與“少于2

人排隊”是對立事件；“少于2

人排隊”是“沒有人排隊”；“1

人排隊”二個事件的和事件，二個事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出“少于2

人排隊”的概率；再利用對立事件的概率公式求出)

“至少2

人排隊”的概率．

本題考查互斥事件的概率公式、考查對立事件的概率公式.

考查計算能力．【解析】解：(

Ⅰ)

記沒有人排隊為事件A1

人排隊為事件B.2

人排隊為事件CABC

彼此互斥．

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56

(

Ⅱ)

記至少2

人排隊為事件D

少于2

人排隊為事件A+B

那么事件D

與A+B

是對立事件；

則P(D)=P(A+B.)=1鈭?(P(A)+P(B))=1鈭?(0.1+0.16)=0.74

．五、計算題(共4題，共24分)23、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PE，PC的值，從而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如圖；連接AE；

因為點C關(guān)于BD的對稱點為點A；

所以PE+PC=PE+AP；

根據(jù)兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的邊長為8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．24、略

【分析】【分析】先移項并整理得到=，然后兩邊進行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化為=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案為：1或2．25、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入關(guān)系式，化簡即可26、證明：∵（a2+b2）?（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）?（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤?

∴ac+bd≤?【分析】【分析】作差（a2+b2）?（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可證明．六、綜合題(共4題，共28分)27、略

【分析】【分析】根據(jù)OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標(biāo)是b，因而F點的縱坐標(biāo)是b，即FM=b，則得到AF=b，同理BE=a，根據(jù)（a，b）是函數(shù)y=的圖象上的點，因而b=，ab=，則即可求出AF?BE．【解析】【解答】解：∵P的坐標(biāo)為（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐標(biāo)為（0，）；M點的坐標(biāo)為（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F點的坐標(biāo)為（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E點的坐標(biāo)為（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF?BE=1．

故答案為：1．28、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點B與點A關(guān)于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標(biāo)．

（3）由（2）可知，當(dāng)AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標(biāo)，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現(xiàn)在的點D關(guān)于x軸對稱，所以另一點D的坐標(biāo)為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關(guān)于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最??；點D的位置即為所求．（5分）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點D的坐標(biāo)為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數(shù)求點D的坐標(biāo)也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接