滁州學(xué)院離散數(shù)學(xué)試卷

滁州學(xué)院離散數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.在集合論中，下列哪個概念表示一個元素屬于該集合？

A.子集

B.真子集

C.父集

D.元素

2.設(shè)集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，則集合A與集合B的交集是什么？

A.{1,2,3}

B.{3}

C.{1,2,4,5}

D.空集

3.下列哪個命題是永真命題？

A.1=2

B.對于任意實數(shù)x，x^2≥0

C.所有的鳥都會飛

D.1+1=3

4.在圖論中，一個無向圖有8個頂點和12條邊，則該圖至少有多少個環(huán)？

A.0

B.1

C.2

D.3

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2，則該函數(shù)的圖像是？

A.拋物線

B.直線

C.雙曲線

D.圓

6.在邏輯代數(shù)中，下列哪個表達式是恒等式？

A.A+AB=B

B.A+AB=A

C.A+AB=1

D.A+AB=A+B

7.在關(guān)系數(shù)據(jù)庫中，下列哪個操作是用于刪除記錄的？

A.INSERT

B.UPDATE

C.DELETE

D.SELECT

8.在圖論中，一個有向圖有6個頂點和9條邊，則該圖至少有多少個有向環(huán)？

A.0

B.1

C.2

D.3

9.在數(shù)學(xué)歸納法中，假設(shè)對于某個自然數(shù)n，命題P(n)成立，那么要證明命題P(n+1)也成立，我們需要證明什么？

A.P(n)成立

B.P(n+1)成立

C.P(n)和P(n+1)同時成立

D.P(n)和P(n+1)同時不成立

10.在組合數(shù)學(xué)中，從5個不同的元素中取出3個元素的組合數(shù)是多少？

A.10

B.20

C.30

D.40

二、判斷題

1.在集合論中，空集是任何集合的子集。（）

2.在圖論中，連通圖一定有歐拉回路。（）

3.在邏輯代數(shù)中，德摩根定律是成立的。（）

4.在數(shù)據(jù)庫理論中，關(guān)系數(shù)據(jù)庫中的關(guān)系必須是規(guī)范化的，以避免數(shù)據(jù)冗余。（）

5.在組合數(shù)學(xué)中，二項式定理可以用來計算任意兩個多項式的乘積。（）

三、填空題

1.在集合論中，集合A的冪集包含______個元素。

2.一個圖中有______個頂點和______條邊時，它是一個無向完全圖。

3.在邏輯代數(shù)中，表達式(A+B)(A+B)可以簡化為______。

4.在數(shù)據(jù)庫理論中，第一范式（1NF）要求關(guān)系中的每個屬性______。

5.在組合數(shù)學(xué)中，二項式系數(shù)C(n,k)表示從n個不同元素中取出k個元素的______。

四、簡答題

1.簡述集合論中笛卡爾積的定義及其應(yīng)用場景。

2.解釋圖論中圖的連通性和路徑的概念，并說明它們在圖中的應(yīng)用。

3.舉例說明邏輯代數(shù)中的吸收律和分配律，并解釋它們在簡化邏輯表達式中的作用。

4.描述關(guān)系數(shù)據(jù)庫中第三范式（3NF）的定義，并說明它與第一范式（1NF）和第二范式（2NF）的關(guān)系。

5.簡要介紹組合數(shù)學(xué)中的排列和組合的區(qū)別，并給出計算排列和組合數(shù)的方法。

五、計算題

1.計算集合A={1,2,3,4}和集合B={2,4,5,6}的笛卡爾積。

2.已知無向圖G有5個頂點，邊數(shù)E=7，求G的最小度數(shù)和最大度數(shù)。

3.簡化邏輯表達式：(A+B)(A+C)+(A+B)(B+C)。

4.設(shè)關(guān)系R是關(guān)系數(shù)據(jù)庫中的一個關(guān)系，其屬性集合為{A,B,C,D}，其中A是主鍵，B是外鍵，且滿足第二范式（2NF）。請用關(guān)系規(guī)范化理論說明R是否滿足第三范式（3NF）。

5.計算組合數(shù)C(10,3)和排列數(shù)P(10,3)。

六、案例分析題

1.案例背景：某電子商務(wù)公司在其網(wǎng)站上線了一款新商品，需要根據(jù)用戶點擊購買行為來優(yōu)化網(wǎng)站推薦算法。公司收集了1000名用戶在一個月內(nèi)的點擊購買數(shù)據(jù)，其中包含了用戶ID、商品ID、用戶點擊時間、購買時間等信息。

案例分析：

（1）請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，設(shè)計一個圖模型來表示用戶與商品之間的關(guān)系，并說明其類型（例如：有向圖、無向圖）。

（2）分析圖中用戶的點擊購買行為，找出哪些商品與哪些用戶有較高的相關(guān)性，并提出優(yōu)化網(wǎng)站推薦算法的建議。

2.案例背景：某在線教育平臺為了提高學(xué)生參與度，決定對課程學(xué)習(xí)進度進行跟蹤，并設(shè)計了一個學(xué)生成績管理系統(tǒng)。系統(tǒng)需要記錄每個學(xué)生在每門課程中的學(xué)習(xí)情況，包括課程ID、學(xué)生ID、學(xué)習(xí)時長、作業(yè)提交情況等。

案例分析：

（1）請設(shè)計一個關(guān)系數(shù)據(jù)庫模式來存儲上述數(shù)據(jù)，包括所需表的結(jié)構(gòu)和表之間的關(guān)系。

（2）分析該數(shù)據(jù)庫模式可能存在的問題，并提出相應(yīng)的優(yōu)化方案，例如考慮數(shù)據(jù)冗余、完整性約束等。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：假設(shè)有一個包含10個學(xué)生的班級，每個學(xué)生參加了3門不同的課程，課程分別為數(shù)學(xué)、英語和物理。請設(shè)計一個算法，計算每個學(xué)生的平均成績，并輸出每個學(xué)生的課程平均成績和班級的平均成績。

2.應(yīng)用題：在一個無向圖中，有5個頂點，分別是A、B、C、D、E，邊的情況如下：AB、AC、AD、BC、BD、BE。請編寫代碼實現(xiàn)一個算法，判斷該圖是否為連通圖，并輸出結(jié)果。

3.應(yīng)用題：在邏輯代數(shù)中，有一個表達式F=A(B+C)+D(A+B)。請使用分配律和吸收律簡化這個表達式，并寫出簡化后的結(jié)果。

4.應(yīng)用題：設(shè)計一個數(shù)據(jù)庫查詢，假設(shè)有一個學(xué)生表（Students）和一個成績表（Grades），學(xué)生表包含學(xué)生ID和姓名，成績表包含學(xué)生ID和成績。查詢所有學(xué)生的姓名和他們的最高成績。假設(shè)成績表中的成績是按學(xué)生ID分組最高的。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.D

2.B

3.B

4.B

5.A

6.B

7.C

8.B

9.B

10.A

二、判斷題答案：

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空題答案：

1.2^n

2.n,n*(n-1)/2

3.A

4.原子

5.排列

四、簡答題答案：

1.笛卡爾積是兩個集合A和B的所有可能的有序?qū)?a,b)的集合，其中a屬于A，b屬于B。它廣泛應(yīng)用于關(guān)系數(shù)據(jù)庫的連接操作、集合的笛卡爾積運算等。

2.圖的連通性指的是圖中任意兩個頂點之間都存在路徑。路徑是指頂點序列，其中任意兩個相鄰頂點之間都有一條邊。圖中的路徑可以是簡單的（不重復(fù)經(jīng)過頂點）或復(fù)雜的（重復(fù)經(jīng)過頂點）。

3.吸收律：A+AB=A，表示在邏輯代數(shù)中，一個元素與其與另一個元素的或運算的結(jié)果相等。分配律：A(B+C)=AB+AC，表示邏輯代數(shù)中，一個元素與兩個元素的或運算的結(jié)果等于該元素與每個元素的或運算的結(jié)果的和。

4.第三范式（3NF）要求關(guān)系中的屬性必須直接依賴于主鍵，且不存在傳遞依賴。與1NF和2NF的關(guān)系是：1NF是關(guān)系數(shù)據(jù)庫的基本要求，2NF要求關(guān)系中的非主屬性完全依賴于主鍵，而3NF在此基礎(chǔ)上要求非主屬性不依賴于其他非主屬性。

5.排列是指從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同順序的排列。組合是指從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合，不考慮順序。

五、計算題答案：

1.集合A×B={(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(3,5),(4,2),(4,4),(4,5)}

2.最小度數(shù)=2，最大度數(shù)=3

3.簡化后的表達式為：F=A+D

4.第三范式不滿足，因為屬性C依賴于屬性B，而B依賴于主鍵A，存在傳遞依賴。

5.C(10,3)=120,P(10,3)=720

七、應(yīng)用題答案：

1.算法設(shè)計：

-遍歷學(xué)生表，對每個學(xué)生，遍歷課程表，計算每門課程的平均成績。

-將每個學(xué)生的平均成績存儲在一個列表中。

-計算班級的平均成績，即所有學(xué)生平均成績的平均值。

2.代碼示例：

```python

defis_connected(graph):

visited=set()

stack=[graph[0]]

whilestack:

node=stack.pop()

ifnodenotinvisited:

visited.add(node)

stack.extend(graph[node])

returnlen(visited)==