2024屆高三年級上冊12月調(diào)研考試（零模） 數(shù)學（B）

2024屆高三上學期12月調(diào)研考試(零模)數(shù)學(B)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z+2=2,z-z=-4i,貝U|z|=()

A.1B.2C.V5D.2通

2.已知集合時={x|y=ln(l-2x)},N={y\y=ex},則MnN=()

A.(0,B.(-oo,1)C.(1,+oo)D.0

3.已知向量萬=(一2,4),5=(1,t),若五與5共線，則向量五+B在向量(0,1)上的投影向量

為()

A.jB.-JC.2]D.-2;

4.己知函數(shù)/"(X)=Q+4(Q匕H0)是奇函數(shù)，則()

3—1

A.2a+6=0B.?.a—h=0C.a+h=0D.a-h=0

5.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角

垛''的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，.……記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列{Q7J,且

{Qn+1-Qn}為等差數(shù)列，則數(shù)列{；}的前100項和為()

A200

A99R100r99門

TOOTOT50101

6.直線心y=kx—2與圓C：M+必—6x—7=0交于A,8兩點，則|4B|的取值范圍為()

A.[V7,4]B.[277,8]C.[V3,4]D.[2N/3,8]

7.已知0V0VaV3,cos(a+夕)=，sin(a-0)=g,則tanatan/?的值為()

A.1B.1C.5D.2

8.若函數(shù)/(%)=9/一。/+%+1在區(qū)間(0,2)上存在極小值點，則。的取值范圍為()

(1，|)B.[1,1)C.[1,2)D.(1,+8)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節(jié)能減排.現(xiàn)從某小區(qū)隨機調(diào)查了200戶家庭十月份

的用電量（單位：kW.h）,將數(shù)據(jù)進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布

A.圖中a的值為0.015

B.樣本的第25白分位數(shù)約為217

C.樣本平均數(shù)約為198.4

D.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在［170,230）內(nèi)的戶數(shù)為108

已知雙曲線E：弓一吟=1（Q>°）的左、右焦點別為尸1，尸2，過點尸2的直線/與雙曲線E的右

10.

支相交于P,Q兩點，則（）

A.若E的兩條漸近線相互垂直，貝心=在

B.若E的離心率為百，則E的實軸長為1

C.若Z&P司=90。,則|PF/?|PF2|=4

D.當Q變化時，△RPQ周長的最小值為8位

11.已知點P（濟1）是函數(shù)/（x）=sin（3+*）+b（3>0）的圖象的一個對稱中心，則（）

A./。一工）一1是奇函數(shù)

B.co=-看+暴，kEN”

c.若/（%）在區(qū)間（咨，半）上有且僅有2條對稱軸，則3=2

D.若/（乃在區(qū)間/，爭）上單調(diào)遞減，則3=2或3=￥

12.如圖，在樓長為2的正方體48。0-&8也1。1中，已知私MP分別是棱。山1，4公，8c的中

點,Q為平面PMN上的動點，且直線Q8i與直線0瓦的夾角為30。，則（）

A.DB1_L平面PMN

B.平面PMN截正方體所得的截面面積為3V5

C.點Q的軌跡長度為TT

D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的

最大值為空

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線C：V=2p》（p>0）的焦點為3點M在。上，MFlx軸，若△OFM（。為坐標

原點）的面積為2,貝ijp=.

14.Qd+x—yf的展開式中必丫2的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

15.己知三棱錐P-A8C的四個頂點均在同一球面上，PC1平面48C,PC=BC=遍，AB=

2n，且PA與平面4BC所成角的正弦值為電，則該球的表面積為.

O

16.已知函數(shù)/（%）=e2x-2a\x-2）ex-a2x2（a>0）恰有兩個零點，則Q=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17,設(shè)數(shù)列｛%J的前〃項和為工，且Sn=2Qn-l.

（1）求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

（2）若數(shù)列｛&｝滿足"=|唾2即，n為奇數(shù),求數(shù)列｛為｝的前2〃項和T2n.

an,n為偶數(shù)

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，CD//AB,^LABC=90°,AB=2BC=2CD=4,三棱錐B-

P4O的體積為蜉.

(1)求點P到平面4BCD的距離；

(2)若PA=PD,平面P4D1平面/8C0,點N在線段4P上，AN=2NP,求平面NCD與平面

ABC。夾角的余弦值.

19.記△48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinB+csinC—asin/=2bsin8sinC且

C班.

(1)求證：B=A+冬

(2)求cos4+sinB+sinC的取值范圍.

20.已知函數(shù)/'(x)=(x+2)ln(x+1)-我.

(1)當a=0時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)當一1cxV0時，/(x><0,求。的取值范圍.

21.杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭

大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人

文精神.甲同學可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒19元，盲盒

外觀完全相同，內(nèi)部隨機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開才會知道買到吉祥物的款

式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物：每個30元.

(1)甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開.當甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式

時，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；

(2)為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個，若未集齊再直接購買

吉祥物，以所需費用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個盲盒？

22.在平面直角坐標系xOy中，點F(一8，0)，點P(x,y)是平面內(nèi)的動點.若以P尸為直徑的圓與圓

0：/+y2=4內(nèi)切，記點P的軌跡為曲線E.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)點4(0,1),M(匕0),N(4—30)(士工2),直線AM,AN分別與曲線E交于點S,T

（S,7異于八），AH±ST,垂足為〃，求|。小的最小值.

答案解析

1.【答案】C

【解析】【解答】解'：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b￡R,因為z-^z=a+bi+a—bi=2,z-z=a+

bi—a+bi=-4i?所以Q=1,b=—2,即z=1—23

故|z|=Vl2+(-2)2=V5.

故答案為：C.

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=Q+bi,a,bER,根據(jù)已知條件求得z,再根據(jù)復(fù)數(shù)求模公式求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】由1一2%>0,解得x<4，所以集合乂={.曰％<》，因為y=e”>0,所以集合

N={y\y>0},故MnN=(0,1).

故答案為：A.

【分析】先求對數(shù)函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)的值域得集合M,N,再根據(jù)集合的交集運算法則求MC

N即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】因為向量值=(一2,4),B=(l,t),且方與族共線，所以一2亡一4=0,解得￡=

-2,所以,+石=(-1,2),

所以向量五+B在向量j=(0,1)上的投影向量為：/&2*1)j=2j.

\J\ul1

故答案為：C.

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量，與石共線，可得-2t-4=0,求得t的值，再利用向量1+E在向量

；=(0,1)上的投影I句量為四步?，，計算即可求解.

4.【答案】B

【解析】【解答】函數(shù)f(x)=Q+占的定義域為"僅云0},由于/(x)是奇函數(shù)，所以/(r)+

/)=0,

xx

訴I'l?b,,ob-3b_ob(l-3)_o_n

〃「以a4-3-7_]+Q+3J]=2a-+3x_1=2Q+=2a-6=0.

故答案為：B.

【分析】先求函數(shù)的定義域，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性列式求解即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】易得即=1,。2=3,%=6,。2-。1=2,。3—。2=3，

因為數(shù)列｛斯+1-Q〃｝為等差數(shù)列，所以%+1-冊=2+(n-1)X1=幾+1,所以%=為+(02-

。1)+(。3-。2)+…+(%-Qn-1)

=1+2+3+■??+幾=^^幾，%=1滿足上式，所以斯=M夕1),\=以4])=2(A1J)，

所以數(shù)列｛/｝的前100項和為Si。。=2(1—2+2----IUo—TUT^=2(1-y^y)=

故答案為：D.

【分析】根據(jù)己知條件，利用累加法求得斯，再利用裂項求和法即可求得數(shù)列｛[｝的前100項和.

an

6.【答案】D

【解析】【解答】解：由題易知，直線/：y=依一2恒過定點M(0,-2),化圓C：x2+y2-6x-

7-0為標準方程可得c：0—3)2+y2=16,即圓心為c(3,0),半徑r=4,則圓心到M(0,-2)

的距離|CM|=J(3—0)2+(0+2￥=g<4,所以M(0,—2)在圓C內(nèi)，則直線2與圓C交點弦

|48|的最大值為直徑,即|A8|m也=8；|A8|最小時即為圓心到直線距離最大時,即CM11時,此時

\AB\=2V42-13=2百，

所以|A8|的取值范圍為[275,8].

故答案為：D.

【分析】根據(jù)直線方程可知直線恒過定點M(0,-2),找出弦長取得最值的位置，即可求出|48|的

取值范圍.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：由兩角和、差余弦公式可得：cos(a+/?)=cosacos0—sinasin^=1①,

—cosasin0='②，

sin(a—/?)=sinacos/?

端黑耨黑^4分子分母再同時除以C，可彳咤霽f=,由于0V

a-/?>0

<。,所以0Va-6<方所以cos(a_/?)=Jl-(|)2=所以

{0<a<

tan(。一夕)=黑精即;XS=9'tana-tar”打箝natan/?,代入③可得:

1-tanatan/?_1a

行tanata邛」3解得tanatanS=亍

故答案為：B.

【分析】先根據(jù)兩角和、差的公式化簡，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合已知條件即可求得

tanatan6的值.

8.【答案】A

【解析】【解答】函數(shù)/'(》)=#—Q/+X+1,求導(dǎo)可得/(%)=屈一2g+1，

因為/■(%)=/-2依+1的開口向上，對稱軸為X=Q，與y軸的交點為(0,1),

所以當a<0,xG(0,+8)時，/(x)>0,f。)單調(diào)遞增，沒有極值點，所以當a>0時，

要使/■(%)在區(qū)間(0,2)上存在極小值點，則，。)="2一2以+1=0在(0,2)有兩個不等的正根，則

a>0

=^a<2°,解得1<”率所以Q的取值范圍是(1，1).

(/(2)=5-4a>0

故答案為：A.

【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)f'(x)的零點、f(x)的極值點的情況列不等式，由此求得a的取值范圍.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】解：對于A,依題意，由頻率分布直方圖得出(170—150)x0.007+(190—170)x

0.012+(210-190)xQ+(230-210)X0.010+(250-230)X0.006=1,所以a=O.OI5,所以A

對；

對于B,設(shè)樣本的第25百分位數(shù)約為b,

則20X0.007=0.14<0.25,20X60.007+0.012)=0.38>0.25,

所以b￡[170,190],所以B錯；

對于C,樣本平均數(shù)約為：

20X(160X0.007+180x0.0124-200X0.015+220X0.01+240x0.006)=198.4,所以C對；

對于D,用電量落在[170,230)內(nèi)的戶數(shù)為：20x(0.012+0.015+0.01)x200=148,所以D

錯。

故答案為：AC.

【分析】利用已知條件結(jié)合頻率分步直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，再結(jié)合頻率

之和等于1,進而得出。的值，從而判斷出選項A；利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖求百分位數(shù)的

方法，進而判斷出選項B：利用頻率分布宜方圖求平均數(shù)公式，進而判斷出選項C；利用頻率分別

直方圖求頻率的方法和頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量公式，進而判斷出選項D,從而找出正確的選

項。

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：易得b=江,

A、若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，所以Q=b=灰，故A正確；

B、若E的離心率為0，則^=￡=%+公=w，解得Q=l,則雙曲線的實軸長為2a=2,故B錯

誤；

\ppI_\ppI_2a

C、若乙F1PF2=90。，則j+仍/卞:4c2,整理得2|PF1|?IPF2I=4c2-4a2=4b2=8,

|P/1|-|PF2|=4,故C正確；

D、根據(jù)雙曲線的定義可知，｛?二康|二名兩式相加得|P&|+|Q&|-|PQ|=4Q,1PF/+

2

\QF1\=4a+\PQ\,所以周長為4Q+2|PQ|,當PQ1RF?時，|PQ|取得最小值勁_=匕所以

aa

4a+2\PQ\>4a+1>2^4a=8>/2?當且僅當4Q=*即。=魚時等號成立，故△F〔PQ周長的

最小值為8或，故D正確.

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項進行分析判斷即可.

11.【答案】B,C

【解析】【解答】解：B、因為點p（浮1）是函數(shù)/?（%）=5而（3%+9+匕（3>0）的圖象的一個對稱

中心，

所以b=1,且咨3+與=攵兀，fc6Z?解得3=—g+gk,kEZf故B正確；

28

-+-+

A、則/Q)=sin[(—可+可+舟+1,kWZ,所以——133

2828

■

-+-+T-r-2k）］,由于1-2〃是奇數(shù)，所以/（工一轡）一-+-

33233

多（1—2k）］是偶函數(shù)，故A錯誤;

C、等竿3+*V3%+曰<^^0)+$將3=—￡+'匕AEZ代入得：竿(一g+

8281128288k

三

X四

十

十

十

-<-+---+--十<+27T

7-T7rX7_r幾7r-3

3/f)4(-33433/c)43343

由于/㈤江區(qū)間(停，等)上杓且僅有2條對稱軸，所以竽〈學一冬w挈解得棄VAW票，由

OO乙。。乙XUXU

8

-

于kwZ,所以k=l,對應(yīng)3=一看+32,故C正確;

D、/(x)在區(qū)間(卷，卷)上單調(diào)遞減，<x<o)<a)x<o),geo+5V3%+與<geo+

7T

甲

將60=4+乳kez代入得:氯一打")+左<(一|+§加+*等(一,+制)+親

整理得知+嗇<(一"就X+X翌”益

則罌k一青一(罌k+黑)工加解得14人工￥,而k￡Z,所以k=l或k=2,

—時，覆+益普"看)=(鬻，部)，符合單調(diào)性，

k=2時，(物+薪，符攵一給二(錯，霧)，不符合單調(diào)性，所以上=2舍去

28

-+-

33

故答案為：BC.

【分析】先根據(jù)函數(shù)/(%)的解析式以及對稱中心求得b,3,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性

逐項判斷即可.

12.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、以Z)為包標原點，建立如圖所示空間直角位標系，易得

P(l,2,0),M(0,1,2),N(2,0,1),D(0,0,0),B式2,2,2),則西=(2,2,2),PM=

(-1,-1,2),麗=(1,-2,1),設(shè)平面0MN的法向量為罰=(x,y,z)，則

m-PM=(x,y,z)-(-1,-1,2)=-x-y4-2z=0/.._

一'''"'z，令z=1,則n％l=y=1,故沅=

沅?PN=(x,y,z)?(1,—2,l)=x—2y+z=0

(1,1,1),

因為西=2萬，所以0/_L平面PMN,故A正確;

B、取A］。］,AB,CCi的中點E,F,Q，連接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,AYBfCDV因為

MN,P分別是棱C1D1，AAlfAC的中點,所以NF〃&8,MQ//CDV又CO"/EP〃A］B,所以

NF//MQ//EP,所以平面PMN截正方體所得的截面為正六邊形FPQMEN,其中邊長為魚，故平面

PMN截正方體所得的截面面積為6x*x（企產(chǎn)=38，故B正確;

C、。為平面PMN上的動點，直線QB1與直線0%的夾角為30。，又因為0/1平面PMN,設(shè)垂足為

S,以S為圓心，丁=坐81S為半徑作圓，即為點Q的軌跡，其中小。=|瓦萬|=04+4+4=28,

由對稱性可知，BIS=、BID=6,故半徑r=v?xg=1，

故點Q的軌跡長度為2m故C錯誤；

D、因為M,N,P分別是棱Q%,4Ai，8c的中點，所以平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾

何體對稱，

不妨求能放入含有頂點。的空間幾何體的球的半徑最大值，該球與平面PMN切與點S,與平面

ADD1A],平面A0C8,平面0以山1相切，由對稱性可知，球心在々0上，設(shè)球心為R（33￡），則

半徑為3S（l,1,1），故|而|=3即遍（1一。=3解得￡=女第，故球的半徑的最大值為

苧，故D正確.

故答案為：ABD.

【分析】建立空間直角坐標系，求出平面PMN的法向量，得到線面垂直即可判斷A；作出輔助線，

找到平面PMN截正方體所得的截面，求出面積即可判斷B：作出輔助線，得到點Q的軌跡，并求出

軌跡長度即可判斷C；由對稱性得到平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，由對稱性

可知，球心在上，設(shè)球心為R（33￡）,由|同=1得到方程，求出半徑的最大值即可判斷D.

13.【答案】2V2

【解析】【解答】解：拋物線C：、2=2口穴口＞0）的焦點為尸得，0）,令％=耳代入可得|y|=p,所

以SAO打M=：?今?1川=4=2,

所以p2=8,解得P=2V2.

故答案為：2企.

【分析】易得焦點械，0），再令x斗代入拋物線可得|y|二p,利用面積公式可得SWM=＜計

算即可求解.

14.【答案】120

【解析】【解答】解：（2/+x-的展開式中含無牙的項為（2%2+%一y）5=Cl（2xz+x）3（—y）2=

底或（2工2）2工1（_曠）2=120%5y2,

所以（2好+%_y）5的展開式中x5y2的系數(shù)為120.

故答案為：120.

【分析】根據(jù)二項式展開式求解即可.

15.【答案】367r

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，因為PCL平面ABC,PA與平面48c所成角的為乙P4C,則

sin^PAC=電，

O

又因為PC=BC=V6?AB=2布'所以sin"4c=造=華=AP-6，則力C=yjAP2-PC2=

6AP

V30，

X.4C2=30=AB2+BC2=^AB±BC,即三角形/BC為直角三角形，取21c中點則。1為三角形

ABC外接圓圓心，

取AP中點。，貝3。1IIPC,且00]=竽=整，所以。0=OC=OA=OB,即。為三棱錐P-ABC的

外接球球心，

其半徑R2=OA2=602+00=（乎）+（?。?9,所以三棱錐P-A8C的外接球的表面積為

4nR2—367T.

故答案為：367T.

【分析】求出三角形48c外接圓圓心Oi，過。1作。。1_L平面月8C,且001=2尸。=苧，則。為三棱

錐P-4BC的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.

9

16.【答案】今

【解析】【解答】解.：函數(shù)/?。）=，》一2a陵一2）〃一。2%2（。＞（））的定義域為/?,求導(dǎo)可得/（%）=

2e2x—2a[ex+(x—2')ex]—2a2x=2(ex—ax)(ex+a)令y=ex—ax,則y'=ex—a?令y'>0>

故當x>時y'>0,函數(shù)y=ax為增函數(shù)，當xVbia時y'v0,函數(shù)y=e，一ax為減函數(shù),

即當％=Ina時函數(shù)y=當一ar有最小值a(l—Ina)?

若以1一ma)NO,即0<QWe時/*'(x)NO,此時函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，與題意不符，且當a=

e時，/(%)的零點為1：

若a(l-Ind)<0,即a>e時，此時函數(shù)y-ex-ax,(a>0)與x軸有兩個不同交點,設(shè)交點為

(占，0),(%2，0)，且即二:'，所以當XV工1或%>%2時y>0，即/'(X)>

0,此時函數(shù)/?(%)為增函數(shù)，

當M<XVX2時yvo,即/■'(X)<O,此時函數(shù)/?(%)為減函數(shù)，依題意，函數(shù)/'(%)恰有兩個零點即函

xz2

數(shù)f(K)與x軸有兩個不同的交點,即/(與)=0或f(%2)=0,所以一2a(xx-2)ei-dxy=0或

2r222

e-—2a(x2—2)e*2—ax2=0,

x2

所以<1<%2=2,所以Q=-p-2=-5p-.

x2Z

2

故答案為：

【分析】先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)人工)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)八為恰有兩個零

點即函數(shù)/(%)與工軸有兩個不同的交點，從而建立等量關(guān)系求解即可得a的值.

17.【答案】(1)解：依題意，Sn=2an-1,

當n—1時，Qi—2al1?a1=1,

當幾>2時，Sn_i=2an_1-1,

所以%=Sn-Sn_i=2an-2%_i，an=2an_i(n>2),

所以數(shù)列｛斯｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)歹lj,

所以％=2"-1,5也符合.

所以即=2/T.

n-1,n為奇數(shù)

(2)解：由(1)得勾=2，T,m為偶數(shù)'1

2n-1

T2n=(0+2+4+…+2九-2)+(2+23+…+2)

0+2n—22(1—針)

xn+

21—4

22

x4n4-n2

=3n~3

22

-H--

3

【解析】【分析】（1）依題意，根據(jù)%=n=1即可求解冊；

fn-Sa，n>2

（2）[1J（1）得以=卜二:'再利用分組求和法求和即可.

2n-i,n為偶數(shù)

18.【答案】⑴解:設(shè)點P到平面ABCD的距離為九,

則力-P/1D-^P-ABD=gh?S&ABD=鼻'

由題可知?8C=4，

所以h=助=里=0

,△ABD4

所以點P到平面ABCD的距離為、0

（2）解：取A0的中點M,連接PM,因為PA=PO,PM1AD^

又平面P/W_L平面ABCO且交線為力0,PMu平面PAD,PMLAD,

所以PM_L平面4BCD,由（1）知PM=&.

由題意可得BD=272,AD="4-2尸+22=2/，

所以+=4口2,所以/WJ.BD.

以D點為坐標原點，ZM為x軸，D8為y軸，過點。作PM的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系，則4（2或，0,0）,P（或,0,V2）,C（-V2,V2,0）；

依題意反=（一混，V2,0）,AP=（-V2,0,V2）,而=|而=（一孥，0,孥），

所以而=麗+麗=（警，0,孥）.

設(shè)平面NCO的法向量為4=（/，％，zi）,

（n^-DC=—V2%i+y[2y1=0

則而7-4&,2V2故可設(shè)/=（1,1,一2）,

平面力8c。的一個法向量為布=（0,0,1）,

設(shè)平面NCD與平面ABC。的夾角為。，

則cos。=|cos體，砌=|裔篇|=|烹?|=等’

所以平面NCO與平面48co夾角的余弦值為華.

【解析】【分析】(1)設(shè)點P到平面48co的距離為/I,根據(jù)等體積法即可求得點P到平面48CD的距

離；

(2)以0為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解平面NCO與平面48。。夾角的余弦

值即可.

19.【答案】(1)解：因為bsinB+csinC-Qsin/1=2bsinBsinC,

由正弦定理得,Z>2+c2—a2=2bcsinB>由余弦定理得必+c?—標=2bccos4=2bcsinB，

所以cosA=sinB,又cos4=sing-4),所以sing_4)=sinB.

又0VAVyr,0<B<n,所以2一4=8或2-4+8=7T,

所以4+8=§或8=4+臺

又C工多所以4+8="一0工占所以8=4+冬，得證.

rr77

(2)解：由(1)知8=4+泉所以。=五一4一8=攝一24

又cos4=sinB,所以cos4+sinB+sinC=2sin8+sinf=2sin(4+5)+sin(*—2A)

=2cos4+cos2/l=2cos2A+2cosA-1=2(COSJ4+i)2—

O<A<

7r

o<F40

為

因-7-r

2所以。<4<百，所以，Vcos/Vl，

C-

o

<7_r-

2

因為函數(shù)y=2（cosA+；）2-楙在cos4G（孝，1）單調(diào)遞增，

所以2（孝+1）2-1=V2<2（cos4+一|V2（1+一|=3,

所以cosA+sinB+sinC的取值范圍為(或，3).

【蟀析】【分析】(1)由題意，根據(jù)正弦、余弦定理化邊為角可得cosA=sinB,結(jié)合誘導(dǎo)公式及CW

狎可證8=A+3

(2)由(1)中8=4+?及cos/l=sinB,結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式將cos4+sinB+sinC化

為2(cos4+》2一率先求出角A的范闈，再利用余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得cos4+sinB+

sin。的取值范圍.

20.【答案】(I)解：因為a=0,所以/■(%)=Q+2)ln(x+l),

/(0)=(0+2)xlnl=0,由切點為(0,0),

/(x)=ln(x+1)+哥，所以/(0)=ln(0+1)+霜=2,

所以曲線y=/(x)在(0,0)處的切線方程為y-0=2(x-0),

即2x—y=0.

(2)解：由/''(%)=ln(x+l)+哥-Q,令g(x)(—1,0))

則?④=擊-舟=帚<°，

故f'(x)在XC(-1,0)上為減函數(shù).

又f'(0)=2-Q，

①當QW2時，/(x)>/(0)>0?故/(%)在(一1,0)上為增函數(shù)，

所以f(x)</(0)=0恒成立，故a<2符合題意；

②當a>2時，由于/''(())=2-a<0，

由一1<e~a—1<。且當a>2^tf(e~a-1)=-a+1+ea-a=ea-2a4-1>0,

根據(jù)零點存在定理，必存在￡G(―1>0),使得/(t)=0，

由于/(X)在(一1,0)上為減函數(shù)，

故當。時，/(X)>o,Xe(t,0)時/'(x)vo，

故/(%)在％e(一1,。上為增函數(shù)，

fQ)在x6(30)上為減函數(shù)

所以當%€(七，0)時，/-(%)>/(o)=o,故/"(工)<0在(—1,0)上不恒成立,

所以Q>2不符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(一8,2].

【解析】【分析】（1）當Q=0時，函數(shù)/（X）=（x+2）ln（x+l）,求導(dǎo)可得/'（%）=in（x+l）+雪,

人"iJL

再求切線的斜率，最后求曲線y=/（x）在（0,0）處的切線方程即可；

（2）由/'（幻=巾。+1）+事一0,令或切=〃（%）（%E（-I,0），則g'（”）=,一^7二

x

荷/<°，故/'&）在（一1,0）上為減函數(shù)，再討論Q42和Q>2時函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

2L【答案】（1）解：由題意可知X所有可能取值為2,3,4,

31屆CZ；4

P(X=2)=娘=@，P(X=3)=^J=g,

JJ

24

(其他解法：P(X=2)=程x0)21p(x=3)X-=-

=39

2

p(x=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=4.)

z)

則X的分布列如下:

X234

142

p

399

（2）設(shè)甲一次性購買％個吉祥物盲盒，集齊三款吉祥物需要的總費用為Z.

依題意，工可取0,1,2,3.

方案1：不購買盲盒時，則需要直接購買三款吉祥物，總費用Zi=3x30=90元.

方案2：購買1個盲盒時，則需要直接購買另外兩款吉祥物，

總費用Z2=19+2x30=79元.

方案3：購買2個盲盒時，

當2個盲盒打開后款式不同，貝I只需要直接購買剩下一款吉祥物，總費用Z3=2x19+30=

68,P（Z3=68）=與=,；

<122

（或P（Z3=68）=C3x5x=2）

當2個盲盒打開后款式相同，貝J需要直接購買另外兩款吉祥物，總費用Z3=2x19+2x30=

98,P（Z3=98）=Clxjxj=

所以EG）=68X1+98X1