2025年中考數(shù)學二輪復習：圓 壓軸解答題練習題（含答案解析）

第第頁2025年中考數(shù)學二輪復習：圓壓軸解答題練習題一．解答題（共25小題）1．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，對于點P，Q和⊙O的弦AB，給出如下定義：若弦AB上存在點C，使得點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與點Q重合，則稱點Q是點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”．（1）如圖，點P（﹣2，0），直線x＝1與⊙O交于點A，B．①點B的坐標為，點B（填“是”或“不是”）點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”；②若點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”為點Q，則PQ的最小值為，當PQ與⊙O相切時，點Q的坐標為；（2）已知點D（t，0），E（﹣1，0），若對于線段OE上的每一點M，都存在⊙O的長為23的弦GH，使得點M是點D關于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，直接寫出t2．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點C，給出如下定義：若∠ACB＝α，且點C關于弦AB的中點M的對稱點在⊙O上或其內(nèi)部，則稱點C為弦AB的“α關聯(lián)點”．（1）已知點A(?1①在點C1(?1，?1)，C2(2，0)，C3(0，3②若直線y=?3x+b上存在AB的“60°關聯(lián)點”，則b的取值范圍是（2）若點C是AB的“60°關聯(lián)點”，且OC=3，直接寫出弦AB3．（1）如圖1，在扇形AOB中，點O為扇形所在圓的圓心，AO=23，∠AOB＝120°，點C是AB上一點，則△ABC面積的最大值為（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC．若AC＝6，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖3，菱形ABCD是一個廣場示意圖，其中菱形邊長AB為120米，∠A＝60°，市政部門準備在這塊菱形廣場中修建一個四邊形景觀區(qū)DEBF，這塊四邊形區(qū)域需要滿足BE＝BF，∠EBF＝60°，∠EDF＝75°，則這塊四邊形區(qū)域DEBF的面積是否存在最小值？若存在，請計算出面積的最小值及此時線段BF的長，若不存在，請說明理由．（結(jié)果保留根號）4．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．則圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？請說明理由．（2）知識應用：如圖，PN、PD、DE分別與⊙O相切于點A、B、C，且DE∥PN，連接OD、OP，延長PO交⊙O于點M，交DE于點E，過點M作MN∥OD交PN于N．①求證：MN是⊙O的切線；②當OD＝3cm，OP＝4cm時，求⊙O的半徑及圖中陰影部分的面積．5．如圖1，在正方形ABCD中，AB＝8，點O與點B重合，以點O為圓心，作半徑長為5的半圓O，交AB于點E，交AB的延長線于點F，點M，N是弧EF的三等分點（點M在點N的左側(cè)）．將半圓O繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°），旋轉(zhuǎn)后，點F的對應點為點F′．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當EF′經(jīng)過點N時．①求α的度數(shù)；并求EN的長；②連接FF′，求FF′與FN的長度，并比較大小；（3取1.7，π取3）（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓O與正方形ABCD的邊相切，請直接寫出點A到切點的距離．6．如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，⊙O經(jīng)過A，B，C三個格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中畫BC的中點D；（2）如圖（2），延長BA至格點F處，連接CF．①直接寫出∠F的度數(shù)，∠F＝（度）；②P為CF上一點，連接BP，將PB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到QB，畫出線段QB，并簡要說明．7．定義：對于凸四邊形，對角線相等的四邊形稱為“等對”四邊形，對角線垂直的四邊形稱為“垂對”四邊形．（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）①平行四邊形一定不是“等對”四邊形；②“垂對”四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半；③順次連接“等對”四邊形四邊中點而成的四邊形是“垂對”四邊形；（2）如圖1，已知四邊形ABCD（AD≠BC）既是“等對”四邊形，又是“垂對”四邊形，且四邊形的四個頂點都在⊙O上，連接四邊形的對角線AC，BD交于點P．①記△ADP，△BCP，四邊形ABCD的面積分別為S1，S2，S，求證：S=②如圖2，點M為AB的中點，連接MP并延長交CD于點N，若AD+BC＝m，MN＝n，求⊙O的半徑（用含m，n的式子表示）．8．我們在八年級上冊曾經(jīng)探索：把一個直立的火柴盒放倒（如圖1），通過對梯形ABCD面積的不同方法計算，來驗證勾股定理．a(chǎn)、b、c分別是Rt△ABE和Rt△CDE的邊長，易知AD=2c，這時我們把關于x的形如請解決下列問題：（1）方程x2+2x+1＝0（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求證：關于x的“勾氏方程”ax（3）如圖2，⊙O的半徑為10，AB、CD是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若關于x的方程mx2+102x+n=0是“勾氏方程”，連接OD9．課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數(shù)學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，則∠B＝∠D＝度，∠BAD+∠BCD＝度．（2）如果⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC不是⊙O的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形ABC的腰AB是⊙O的直徑，底邊和另一條腰分別與⊙O交于點D，E．點F是線段CE的中點，連接DF，求證：DF是⊙O的切線．10．[模型建立]如圖①、②，點P分別在⊙O外、在⊙O內(nèi)，直線PO分別交⊙O于點A、B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離，PB是點P到⊙O上的點的最長距離．[問題解決]請就圖①中PB為何最長進行證明．[初步應用]（1）已知點P到⊙O上的點的最短距離為3，最長距離為7．則⊙O的半徑為．（2）如圖③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．點E在邊BC上，且CE＝2，動點P在半徑為2的⊙E上，則AP的最小值是．[拓展延伸]如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為．11．AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，AB=2BC（1）如圖1，求證：AC=（2）如圖2，AD，AE為⊙O的弦，AD交BC于點F，連接EF，OG⊥AE，點G為垂足，過G作EF的平行線交AF于點H，求證：AH＝HF；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CO交AF于點P，點Q在AO上，連接FQ交OC于點I，連接HI，若FQ+QO＝OB，PC＝8，BQ＝23，求HI的長．12．如圖1，在銳角△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，連結(jié)BO并延長交AC于點D，交⊙O于點G，設∠BAC＝α．（1）填空：當α＝20°時，則∠BDC＝．（2）如圖2，當0°＜α＜60°時，在BG左側(cè)圓弧上取點E，使BE=BC，連結(jié)AE，DE，EG，設EG與AC交于點①求證：EG平分∠AED．②若△EDG的一邊與BC平行，且AF＝1，求DE的長．13．如圖1，C，D是半圓ACB上的兩點，若直徑AB上存在一點P，滿足∠APC＝∠BPD，則稱∠CPD是弧CD的“幸運角”．（1）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，D是弧BC上的一點，連接DE交AB于點P，連接CP．①∠CPD是弧CD的“幸運角”嗎？請說明理由；②設弧CD的度數(shù)為n，請用含n的式子表示弧CD的“幸運角”度數(shù)；（2）如圖3，在（1）的條件下，若直徑AB＝10，弧CD的“幸運角”為90°，DE＝8，求CE的長．14．在平面直角坐標系xOy中，已知點T（t，0），⊙T的半徑為1，它的一條弦MN作兩次變換：關于點M作中心對稱后得到線段MP，關于點N作中心對稱后得到線段NQ．我們稱點P、Q為⊙T的對稱點，稱線段PQ為⊙T的對稱弦．（1）如圖，點A，B，C，D的橫、縱坐標都是整數(shù)．①在線段AB，AD，CB，CD中，⊙O的對稱弦是；②若線段AC上的點都是⊙T的對稱點，求t的取值范圍；（2）若⊙O的對稱弦PQ過點（1，0），直線y=3x+b與線段PQ有公共點，b的取值范圍是15．數(shù)學課上，小明同學遇到了這樣的一個問題：如圖，點A、B、C、D在⊙O上，連結(jié)AB，AD，BC，CD，AC為⊙O的一條直徑，過點A作AE⊥BD交BD于點E．設∠ADE＝α．【證明】老師說：利用所學習的“圓的知識”可以證明△ABE∽△ACD，請你幫助小明網(wǎng)學完成，△ABE∽△ACD的證明過程．【應用】小明同學發(fā)現(xiàn)，利用△ABE∽△ACD可以解決如下問題：①若SABESACD=4②若AD＝5，CD＝10，sinα=35，則BD的長為16．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點C在直徑AB上運動，PC⊥AB，垂足為C，PC＝5，在PC右側(cè)作⊙O的切線PT，切點為T，連接PO．（1）如圖1，當點C與點A重合時，連接BT．①求證：PA＝PT；②直接寫出此時PO與BT的位置關系（不說理由）；（2）設線段OP與⊙O交于點Q，如圖2，當AC=4?7時，求劣弧QT（3）直接寫出PT長的最小值．17．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點P從點C出發(fā)，在線段CB上向點B以每秒2cm的速度移動，以點P為圓心，PB為半徑作⊙P．設運動時間為t秒．解答下列問題：（1）如圖1，當⊙P過點D時，求時間t的值．（2）如圖2，若在運動過程中，是否存在t的值，使得⊙P與直線AC相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當⊙P與直線AD相切時，切點為E，T為弧BE上的任意一點，過點T作⊙P的切線分別交AB，AD于點M，N，設BM長度為x．①求證：△AMN的周長PT②記△AMN的面積為S1，△PMN的面積為S2，當1S1+18．定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．（1）如圖1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．分別交AB、OA與點M、點E．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦；（3）已知⊙O的直徑為10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP＝3BP．求AB的長．19．如圖1，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC交于點D，∠CAD＝∠ABC，點M是直徑AB下方半圓上的一動點，連接AM，DM．DM交AB于點P．（1）若AB＝4，BC=26，求tanM（2）①記△ACD的面積為S△ACD，△ABD的面積為S△ABD，若S△ACD：S△ABD=14，②如圖2，當動點M運動到恰好使得P為DM的中點時，∠ABC的角平分線交DM于點E，交AD于點F，求DEDP（3）如圖3，連接BM，記△APD的面積為S1，△BPM的面積為S2，四邊形AMBD的面積為S，若滿足S=S120．【問題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，連接AC，BD，若AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為°；（提示：以點A為圓心，AB為半徑作⊙A）【問題解決】（2）如圖2，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，連接MC，求線段MC的最小值；【實踐應用】（3）如圖3，有一塊形狀為等腰直角三角形的空地ACD，∠CAD＝90°，在空地旁邊有一條與CD邊平行的小路a，小路a經(jīng)過點A，現(xiàn)計劃在小路a上找一點B，在DA的延長線上找一點P，沿著BC，BP修兩條水渠，同時保證∠CBP＝90°，當BP=502米，AD＝80米時，求兩條水渠的交匯點B到A21．【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結(jié)合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點P為端點的四條線段之間的數(shù)量關系；【探究應用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，當∠DAP最大時，求AD的長；22．如圖，以AB為直徑作⊙O，C為⊙O上一點，△OQP≌△ABC，OQ與BC交于點G，AC＝6，BC＝8．（1）如圖1，當OP經(jīng)過點C時，PC＝．（2）在（1）的條件下，求證：BG＝CG．（3）如圖2，將△OQP從圖1的位置開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（OP與OB重合時停止轉(zhuǎn)動），OP與BC交于點H，設PQ的中點M到BC的距離為d．①當OP⊥AB時，求BH的長；②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中d的最大值．23．已知，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，點T在（1）如圖1，求證：CD平分∠ACT；（2）如圖2，若AC是⊙O的直徑，BE平分∠ABC交CD延長線于E，交⊙O于F，連接AE，AF，DF．①求∠AED的度數(shù)；②若CDAB=58，△DEF的面積等于24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延長BC到點D，使CD＝1，P是BC邊上一點（不與點B，C重合）．點Q在射線BA上，PQ＝BP，以點P為圓心，PD的長為半徑作⊙P，交AC于點E，連接PQ，設PC＝x．（1）ABBD（填“＜”“＝”或“＞”），如圖1，當點Q在⊙P上時，x的值為．（2）如圖2，當C為PD中點時，連接PE，求扇形DPE的面積．（3）如圖3，當⊙P與AB相切時，求CDPC（4）若⊙P與△ABC的三邊有兩個公共點，直接寫出x的取值范圍．25．閱讀與思考下面是博學小組研究性學習報告的部分內(nèi)容，請認真閱讀，并完成相應任務．關于“等邊半正多邊形”的研究報告博學小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念—性質(zhì)—判定”的路徑，由一般到特殊進行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）—猜想—推理證明研究內(nèi)容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖①，我們學習過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形……【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖②，如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為°．對角線：……任務：（1）直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：；（2）如圖③，六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形．連接對角線AD，猜想∠BAD與∠FAD的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖④，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圓．請在圖4中作一個等邊半正六邊形ABCDEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．

參考答案與試題解析一．解答題（共25小題）1．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，對于點P，Q和⊙O的弦AB，給出如下定義：若弦AB上存在點C，使得點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與點Q重合，則稱點Q是點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”．（1）如圖，點P（﹣2，0），直線x＝1與⊙O交于點A，B．①點B的坐標為（﹣1，3），點B是（填“是”或“不是”）點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”；②若點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”為點Q，則PQ的最小值為3，當PQ與⊙O相切時，點Q的坐標為（﹣2，﹣23）；（2）已知點D（t，0），E（﹣1，0），若對于線段OE上的每一點M，都存在⊙O的長為23的弦GH，使得點M是點D關于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，直接寫出t【考點】圓的綜合題．【專題】新定義；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關的位置關系；運算能力；推理能力．【答案】（1）①（1，?3②3，（﹣2，﹣23）；（2）﹣2≤t≤?233或1≤【分析】（1）①連接OA，OB，設AB交x軸于點C，可求得∠AOB＝2∠AOC＝120°，AC＝BC=3②將PB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至PB′，可得出AB′上點是點P關于AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，當PQ⊥AB′時，PQ最小，當PQ與⊙O相切時，點Q在B′處，進一步得出結(jié)果；（2）將點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得O′，則點O′在直線y=3x上，對于線段OE上的每一點M，點M是點D關于GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”需要滿足在以O′為圓心，半徑為1和半徑為2形成的圓環(huán)覆蓋OM分類：當半徑為2的圓O′過點O時；當半徑為1的⊙O′與OD相切時，作O′H⊥x軸于H，則O′H＝1；當半徑為1的⊙O′與x軸相切時，OD＝O′O＝1；當半徑為2的⊙O′過點E時，連接O′E，作OF⊥DE于F，則O′E＝2，分別求得t的值，進一步得出結(jié)果．【解答】解：（1）①如圖1，連接OA，OB，設AB交x軸于點C，∵AB⊥x軸，cos∠AOC=OC∴∠AOC＝60°，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，AC＝BC＝OB?sin∠AOC＝2?cos60°=3∴∠P=12∠AOB=60°，AP＝BP，B∴△ABP是等邊三角形，∴點B是點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，故答案為：（1，?3②如圖2，將PB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至PB′，∴點B′是點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，∵點B是點P關于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，∴AB′上點是點P關于AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，∴當PQ⊥AB′時，PQ最小=32PB∵△PBB′是等邊三角形，∴∠BPB′＝60°，∵∠PBO＝30°，∴∠B′PO＝90°，∴B′P⊥OP，∴B′P是⊙O的切線，當PQ與⊙O相切時，點Q在B′處，∴Q（﹣2，﹣23），故答案為：3，（﹣2，﹣23）；（2）如圖3﹣1，將點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得O′，則點O′在直線y=3x對于線段OE上的每一點M，點M是點D關于GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”需要滿足在以O′為圓心，半徑為1和半徑為2形成的圓環(huán)覆蓋OM，當半徑為2的圓O′過點O時，∵△OO′D是等邊三角形，∴OD＝O′D＝2，此時t＝﹣2，如圖3﹣2，當半徑為1的⊙O′與OD相切時，作O′H⊥x軸于H，則O′H＝1，∴OH=33O′H∴OD＝2OH=2此時t=?2∴﹣2≤t≤?2如圖3﹣3，當半徑為1的⊙O′與x軸相切時，OD＝O′O＝1，此時t＝1，如圖3﹣4，當半徑為2的⊙O′過點E時，連接O′E，作OF⊥DE于F，則O′E＝2，設OF＝FD＝a，則O′F=3a，EF＝1+∵∠O′FE＝90°，∴O′F2+EF2＝O′E2，∴(3∴a=13?14或∴OD＝2a=13∴1≤t≤13綜上所述：﹣2≤t≤?233或1≤【點評】本題在新定義的基礎上，考查點和圓的位置關系，直線和圓的位置關系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關鍵根據(jù)定義作旋轉(zhuǎn)的輔助線．2．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點C，給出如下定義：若∠ACB＝α，且點C關于弦AB的中點M的對稱點在⊙O上或其內(nèi)部，則稱點C為弦AB的“α關聯(lián)點”．（1）已知點A(?1①在點C1(?1，?1)，C2(2，0)，C3(0，3)中，點②若直線y=?3x+b上存在AB的“60°關聯(lián)點”，則b的取值范圍是0＜b≤2+3（2）若點C是AB的“60°關聯(lián)點”，且OC=3，直接寫出弦AB【考點】圓的綜合題．【專題】新定義；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關的位置關系；運算能力；推理能力．【答案】（1）①C3，60°；②0＜b≤2+3（2）AB最?。?，AB最大=3【分析】（1）①畫出圖形，直觀判定；②作等邊三角形ABC，作△ABC的外接圓，當直線l：y=?3x+b與⊙I相切于點E時，連接AC3，連接IE，作C3F⊥DE于F，設l交y軸于點D，則⊙I的半徑為IE＝1，可得∠DC3F＝∠OAC3＝60°，AC3∥直線l（2）當△ABC是等邊三角形時，AB最小，此時OC⊥AB，設OC交AB于D，在Rt△AOD根據(jù)勾股定理列出方程，進一步得出結(jié)果；當∠CAB＝90°時，AB最大，作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，設AC＝2x，AE＝OB＝y(tǒng)，則AB=3AC=23x，OD=3【解答】解：（1）①如圖1，點C1和C2關于AB的中點的對稱點在⊙O外，∵C3′（1?12?0，0+∴（12）2+(∴點C3′在圓上，∴點C是弦AB的關聯(lián)點，∵tan∠ACO=|∴∠ACO＝60°，同理可得：∠BCO＝30°，∴∠ACB＝60°，故答案為：C3，60°；②如圖2，作等邊三角形ABC，作△ABC的外接圓，當直線l：y=?3x+b與⊙I相切于點E時，連接AC3，連接IE，作C3F⊥DE于F，設l交y軸于點D則⊙I的半徑為IE＝1，可得∠DC3F＝∠OAC3＝60°，AC3∥直線l，∴C3F＝IE＝1，∴DC3＝2C3F＝2，∴b＝OC3+CE＝2+3當直線y=?3x+b過點B時，∴0＜b≤2+3（2）如圖3，當△ABC是等邊三角形時，AB最小，此時OC⊥AB，設OC交AB于D，∴AD＝BD=12AB，∠ACD＝∠BCD∴CD=3AD在Rt△AOD中，∵AD2+OD2＝OA2，∴OD∴AD=1∴AB＝1，如圖4，當∠CAB＝90°時，AB最大，作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，設AC＝2x，AE＝OB＝y(tǒng)，則AB=3AC=23在Rt△AOD和Rt△COE中，由OD2+AD2＝OA2，CE2+OE2＝OC2得，(3∴x=1∴AB＝23x=∴AB最?。?，AB最大=3【點評】本題在新定義的基礎上，考查了直線和圓，圓與圓位置關系，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是確定點的運動位置．3．（1）如圖1，在扇形AOB中，點O為扇形所在圓的圓心，AO=23，∠AOB＝120°，點C是AB上一點，則△ABC面積的最大值為33（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC．若AC＝6，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖3，菱形ABCD是一個廣場示意圖，其中菱形邊長AB為120米，∠A＝60°，市政部門準備在這塊菱形廣場中修建一個四邊形景觀區(qū)DEBF，這塊四邊形區(qū)域需要滿足BE＝BF，∠EBF＝60°，∠EDF＝75°，則這塊四邊形區(qū)域DEBF的面積是否存在最小值？若存在，請計算出面積的最小值及此時線段BF的長，若不存在，請說明理由．（結(jié)果保留根號）【考點】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力．【答案】（1）33；（2）18；（3）四邊形DEBF的最小值為（36003?36002+3600）m2，BF＝（603?60【分析】（1）過O作OH⊥AB于H，延長OH交扇形AOB于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOH=12∠AOB=12×120°=60°，OH=12OA=3，根據(jù)勾股定理得到AH=OA2?OH2=3，求得AB＝2AH＝6，得到DH＝23（2）將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，說明∠ABE+∠ABC＝180°，則點E、B、C三點共線，得四邊形ABCD的面積＝S△ACE＝18；（3）連接CF，BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD＝BC，∠DBC＝60°，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△EBD≌△FBC（SAS），得到S△DEBF＝S△EBD+S△BDF＝S△BFC+S△BDF，求得∠DFC＝135°，作△DFC的外接圓，圓心為O，連接OD，OC，OF，得到OD＝OF＝OC＝602cm，過O作ON⊥OC于N，交⊙O于F′，過F作FM⊥CD于M，過O作OH⊥FM于H，由FO≥HF，四邊形MNOH是矩形，F(xiàn)′O＝FO，得到F′O≥HF，F(xiàn)′O﹣ON≥FH﹣MH，推出F′N≥FM，當F與F′重合時，F(xiàn)M最大為F′N，求得F′N＝（602?60）m【解答】解：（1）過O作OH⊥AB于H，延長OH交扇形AOB于D，∵AO＝BO＝23，∴∠AOH=12∠AOB∴OH=12OA∴AH=O∴AB＝2AH＝6，∴DH＝23?當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，∴當點C與點D重合時，點C到AB的距離最大，∴S△ACB=12AB?DH=12×即△ABC面積的最大值是33；故答案為：33；（2）如圖，將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，∴∠ADC＝∠ABE，AC＝AE，∠EAC＝90°，∵∠BAD＝∠DCB＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABE+∠ABC＝180°，∴點E、B、C三點共線，∴△ACE是等腰直角三角形，∴四邊形ABCD的面積＝S△ACE=1（3）連接CF，BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△DBC是等邊三角形，∴BD＝BC，∠DBC＝60°，∵∠EBF＝60°，BE＝BF，∴∠EBD＝∠FBC，∴△EBD≌△FBC（SAS），∴S△DEBF＝S△EBD+S△BDF＝S△BFC+S△BDF，∵∠EDF＝75°，∴∠E+∠DFB＝360°﹣60°﹣75°＝225°，∴∠BFC+∠DFB＝225°，∴∠DFC＝135°，作△DFC的外接圓，圓心為O，連接OD，OC，OF，∵∠DFC＝135°，OC＝120m，∴∠DOC＝90°，∴OD＝OF＝OC＝602cm，過O作ON⊥OC于N，交⊙O于F′，過F作FM⊥CD于M，過O作OH⊥FM于H，∵FO≥HF，四邊形MNOH是矩形，F(xiàn)′O＝FO，∴F′O≥HF，F(xiàn)′O﹣ON≥FH﹣MH，∴F′N≥FM，∴當F與F′重合時，F(xiàn)M最大為F′N，∵DN＝NO＝CN=12OC＝60（∴F′N＝（602?60）m∴S△DFC的最大值=12DC?F′N=12×120×(602∴S△BDF+S△BFC的最大值＝S△BDC﹣S△DFC=34×1202﹣（36002?3600）＝3600∴四邊形DEBF的最小值為（36003?36002+3600）此時，BF＝603?F′N＝603?（602?60）＝（603?60【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰直角三角形是解決問題（3）的關鍵．4．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．則圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？請說明理由．（2）知識應用：如圖，PN、PD、DE分別與⊙O相切于點A、B、C，且DE∥PN，連接OD、OP，延長PO交⊙O于點M，交DE于點E，過點M作MN∥OD交PN于N．①求證：MN是⊙O的切線；②當OD＝3cm，OP＝4cm時，求⊙O的半徑及圖中陰影部分的面積．【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）PA＝PB，∠APO＝∠BPO；（2）①證明見解析；②⊙O的半徑是2.4cm，圖中陰影部分的面積是（6﹣1.44π）cm2．【分析】（1）連接OA和OB，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題意求證MN∥OD，即可得出MN⊥OM，即可得出答案；②根據(jù)S△POD=1【解答】（1）解：PA＝PB，∠APO＝∠BPO；理由如下：如圖1，連接OA和OB，∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，在Rt△AOP和Rt△BOP中，OA=OBOP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO；（2）①證明：∵PN、PD、DE分別與⊙O相切于點A、B、C，∴OD、OP分別平分∠PDE、∠DPN，又∵DE∥PN，∴∠PDE+∠DPN＝180°，∴∠ODP+∠DPO=1∴∠POD＝90°．∴OD⊥DE，又∵MN∥OD，∴MN⊥OM，又∵MN經(jīng)過半徑OM的外端點M，∴MN是⊙O的切線．②解：連接OB，則OB⊥PD，∵OD＝3cm，OP＝4cm，∴PD=OD2∴S△POD∴OB=OP?ODPD即⊙O的半徑為2.4cm．∴S陰影綜上所述：⊙O的半徑是2.4cm，圖中陰影部分的面積是（6﹣1.44π）cm2．【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查圓的切線的證明、扇形的面積計算等，解題的關鍵在于熟練掌握圓的知識點，切線的證明與性質(zhì)，圓中的相關面積計算等．5．如圖1，在正方形ABCD中，AB＝8，點O與點B重合，以點O為圓心，作半徑長為5的半圓O，交AB于點E，交AB的延長線于點F，點M，N是弧EF的三等分點（點M在點N的左側(cè)）．將半圓O繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°），旋轉(zhuǎn)后，點F的對應點為點F′．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當EF′經(jīng)過點N時．①求α的度數(shù)；并求EN的長；②連接FF′，求FF′與FN的長度，并比較大??；（3取1.7，π取3）（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓O與正方形ABCD的邊相切，請直接寫出點A到切點的距離．【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）①α＝30°；EN=53②FN?的長為5π3；FF′=56?52（2）113或21或3．【分析】（1）①連接BN，過點B作BL⊥EN于點L，則EN＝2EL，根據(jù)題意可得∠NBF=13×180°=60°，再由BE②根據(jù)弧長公式求出FN?的長；過點F′W⊥EF于點W，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得F′W=12EF′=5，從而得到EW=53（2）分類討論當半圓O與CD、AD、AB相切的三種情況，畫出對應的幾何圖，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）①如圖2，連接BN，過點B作BL⊥EN于點L，則EN＝2EL，∵點M，N是弧EF的三等分點，∴∠NBF=1∵BE＝BN，∴∠BEN＝∠BNE，∵∠NBF＝∠BEN+∠BNE，∴∠BEN＝30°，即α＝30°；∴BL=1∴EL=5∴EN=2EL=53②根據(jù)題意得：∠FBN＝2∠FEN＝60°，∴FN?的長為60π×5如圖3，過點F′W⊥EF于點W，在Rt△EF′W中，∠BEN＝30°，EF′＝10，∴F′W=1∴EW=53∴WF=10?53∴FF′即FF′=F′W∵30＞52，∴FF′＞FN（2）解：點A到切點的距離為113或21或3；理由如下：有三種情況討論：當半圓O與CD相切時，如圖4：設切點為點G，連接OG并延長，交AB與點H，連接AG，∵∠HGC＝∠GCB＝∠CBH＝90°，∴四邊形GCBH為矩形，∴GH＝BC＝8，∴OH＝GH﹣OG＝3，∴EH=O∴BH＝BE﹣EH＝1，∴AH＝AB﹣BH＝7，∴AG=G當半圓O與AD相切時，如圖5：設切點為點G，連接OG，過點E作EH⊥OG，∵∠A＝∠AGH＝∠GHE＝90°，∴四邊形AGHE為矩形，∴AG＝EH，GH＝AE＝AB﹣BE＝3，∴OH＝OG﹣GH＝2，∴=21∴AG=21當半圓O與AB相切時，如圖6，AG＝AE＝AB﹣BE＝3；綜上所述，點A到切點的距離為113或21或3．【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握分類討論的數(shù)學思想是解題關鍵．6．如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，⊙O經(jīng)過A，B，C三個格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中畫BC的中點D；（2）如圖（2），延長BA至格點F處，連接CF．①直接寫出∠F的度數(shù)，∠F＝45（度）；②P為CF上一點，連接BP，將PB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到QB，畫出線段QB，并簡要說明．【考點】圓的綜合題．【專題】作圖題；幾何綜合題；運算能力；應用意識．【答案】（1）作圖見解析部分；（2）①45°；②作圖見解析部分．【分析】（1）取BC的中點T，連接OT，延長OT交⊙O于點D，點D即為所求；（2）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)判斷即可；②取格點M，連接CM，延長BP交⊙O于點K，作直徑KJ，連接BJ并延長交CM點Q，線段BQ即為所求．【解答】解：（1）如圖1中，點D即為所求；（2）①∵BC=22+42=25，BF=22∴BC＝BF，BC2+BF2＝CF2，∴△BCF是等腰直角三角形，∴∠F＝45°；故答案為：45；②如圖2中，線段BQ即為所求．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，垂徑定理，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．7．定義：對于凸四邊形，對角線相等的四邊形稱為“等對”四邊形，對角線垂直的四邊形稱為“垂對”四邊形．（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）①平行四邊形一定不是“等對”四邊形；×②“垂對”四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半；√③順次連接“等對”四邊形四邊中點而成的四邊形是“垂對”四邊形；√（2）如圖1，已知四邊形ABCD（AD≠BC）既是“等對”四邊形，又是“垂對”四邊形，且四邊形的四個頂點都在⊙O上，連接四邊形的對角線AC，BD交于點P．①記△ADP，△BCP，四邊形ABCD的面積分別為S1，S2，S，求證：S=②如圖2，點M為AB的中點，連接MP并延長交CD于點N，若AD+BC＝m，MN＝n，求⊙O的半徑（用含m，n的式子表示）．【考點】圓的綜合題．【專題】新定義；等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力．【答案】（1）①×；②√；③√；（2）①證明見解答過程；②R=2【分析】（1）根據(jù)“等對”四邊形，“垂對”四邊形的定義逐項判斷即可；（2）①證明∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝∠DBC，可得△ADP，△BCP為等腰直角三角形，設PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，則S1=12a2，S2=12b2，S=12(a+b②連接OA，OB，設PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，⊙O的半徑為R，可得a+b=22m，a2+b2＝AB2＝2R2，求出PM=BM=12AB=22R，ab=2nR?R2，代入（a+b）2＝【解答】（1）解：①平行四邊形可能是“等對”四邊形，故答案為：×；②對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半，即“垂對”四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半；故答案為：√；③順次連接“等對”四邊形四邊中點而成的四邊形是菱形，因此順次連接“等對”四邊形四邊中點而成的四邊形是“垂對”四邊形；故答案為：√；（2）①證明：∵四邊形ABCD是“等對”四邊形，∴AC＝BD，∴AC=∴AB=∴∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝∠DBC，∵四邊形ABCD是“垂對”四邊形，∴AC⊥BD，∴△ADP，△BCP為等腰直角三角形，設PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，則S1=12a∴S1+S2=22（a+b∴S=②解：如圖，連接OA，OB，由①可知△ADP，△BCP為等腰直角三角形，設PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，⊙O的半徑為R，∴AD+BC=m=2∴a+b=22∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∴AB=2在Rt△APB中，a2+b2＝AB2＝2R2，∵M為AB的中點，∴PM=BM=1∴∠MBP＝∠MPB，又∠MPB＝∠DPN，∠BAP＝∠CDP，∴∠DPN+∠CDP＝∠MBP+∠BAP＝90°，即PN⊥CD，∴PD?PC＝PN?CD，而CD＝AB=2R∴PN=ab∴MN=PM+PN=2∴ab=2∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴(2解得：R=2【點評】本題考查圓的綜合應用，涉及新定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及應用，三角形面積等，解題的關鍵是讀懂題意，理解“等對”四邊形，“垂對”四邊形的定義．8．我們在八年級上冊曾經(jīng)探索：把一個直立的火柴盒放倒（如圖1），通過對梯形ABCD面積的不同方法計算，來驗證勾股定理．a(chǎn)、b、c分別是Rt△ABE和Rt△CDE的邊長，易知AD=2c，這時我們把關于x的形如請解決下列問題：（1）方程x2+2x+1＝0是（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求證：關于x的“勾氏方程”ax（3）如圖2，⊙O的半徑為10，AB、CD是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若關于x的方程mx2+102x+n=0是“勾氏方程”，連接OD【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）是；（2）證明見解析過程；（3）90°．【分析】（1）根據(jù)“勾氏方程”的定義即可判斷；（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定義即可解決問題；（3）如圖，連接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延長線交AB于F，利用勾股定理求出OE＝m，OF＝n，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)推導出∠DOB＝90°即可解決問題．【解答】（1）解：∵x2+2x+1＝0中，a=1，2∴c=2∴a2+b2＝c2，a，b，c能構(gòu)成直角三角形，∴方程x2+2x+1＝0是“勾氏方程”，故答案為：是；（2）證明：∵關于x的方程ax∴a，b，c構(gòu)成直角三角形，c是斜邊，∴c2＝a2+b2，∵Δ＝2c2﹣4ab，∴Δ＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2≥0，∴關于x的“勾氏方程”ax（3）解：連接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延長線交AB于F，如圖：∵關于x的方程mx∴m，n，10構(gòu)成直角三角形，10是斜邊，∴m2+n2＝102，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，DE=1∴∠OED＝∠OFB＝90°，BF=1∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝102，OF2+m2＝102，又m2+n2＝102，∴OE＝m，OF＝n，∴DE＝OF，OE＝BF，∴△OED≌△BFO（SSS），∴∠EOD＝∠OBF，∵∠OBF+∠BOF＝90°，∴∠EOD+∠BOF＝90°，∴∠DOB＝90°．【點評】本題考查了勾股定理、一元二次方程根的判別式、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理等知識，解題關鍵是挖掘新定義中最本質(zhì)的關系：勾氏方程ax2+2cx+b=0滿足a2+b9．課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數(shù)學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，則∠B＝∠D＝90度，∠BAD+∠BCD＝180度．（2）如果⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC不是⊙O的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形ABC的腰AB是⊙O的直徑，底邊和另一條腰分別與⊙O交于點D，E．點F是線段CE的中點，連接DF，求證：DF是⊙O的切線．【考點】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）90，180；（2）證明見解答過程；（3）證明見解答過程．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是90°以及四邊形內(nèi)角和為360°進行作答即可；（2）以圖2為例證明，連接OB，OD，根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內(nèi)角和為360°進行作答；或者以圖3為例證明，連接OA，OC，根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內(nèi)角和為360°進行作答即可；（3）連接OD，DE，根據(jù)等邊對等角，即∠B＝∠ODB，又AB＝AC，得∠B＝∠C，∠ODB＝∠C，OD∥AC，再結(jié)合四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，得∠B＝∠DEC，∠C＝∠DEC，進而知道DC＝DE，又因為F是線段CE的中點，即可求證DF是⊙O的切線．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣（∠D+∠B）＝360°﹣180°＝180°，故答案為：90，180；（2）證明：以圖2為例證明，連接OB，OD，如圖2所示：∵BD=∴∠BOD＝2∠C，∠1＝2∠A，∵∠BOD+∠1＝360°∴2∠C+2∠A＝360°，∴∠A+∠C＝180°，在四邊形ABCD，∠ABC+∠ADC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；或者以圖3為例證明，連接OA，OC，如圖3所示：∵AC=∴∠AOC＝2∠B，∠1＝2∠D，∵∠AOC+∠1＝360°，∴2∠B+2∠D＝360°，∴∠B+∠D＝180°，在四邊形ABCD，∠BAD+∠DCB＝360°﹣（∠B+∠D）＝180°，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3）證明：連接OD，DE，如圖4所示：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，則∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠B＝∠DEC，則∠C＝∠DEC，∴DC＝DE，∵F是線段CE的中點，∴DF⊥AC，則DF⊥OD，∵OD是圓O的半徑，∴DF是圓O的切線．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形對角互補以及圓的基本性質(zhì)、切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識點內(nèi)容，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關鍵．10．[模型建立]如圖①、②，點P分別在⊙O外、在⊙O內(nèi)，直線PO分別交⊙O于點A、B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離，PB是點P到⊙O上的點的最長距離．[問題解決]請就圖①中PB為何最長進行證明．[初步應用]（1）已知點P到⊙O上的點的最短距離為3，最長距離為7．則⊙O的半徑為2或5．（2）如圖③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．點E在邊BC上，且CE＝2，動點P在半徑為2的⊙E上，則AP的最小值是217?2[拓展延伸]如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為1+7【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】[問題解決]證明見解析；[初步應用]（1）2或5；（2）217[拓展延伸]1+7【分析】[問題解決]點C為⊙O上任意一點，連接PC，OC，分兩種情況討論：當點C與點B不重合時，當點C與點B重合時，PB＝PC，推導出PB≥PC，進而得證；[初步應用]（1）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊即可得解；（2）分兩種情況討論：①點P在⊙O外，②點P在⊙O內(nèi)，根據(jù)線段的和差即可求解；連接AE，交⊙O于點D，則AP的最小值是AD的長，根據(jù)勾股定理即可求出AE，進而得到AD的長，即可解答；[拓展延伸]取AO的中點D，連接DQ，CD，OP，過點C作CE⊥AB，可得DQ是△OAP的中位線，則點Q在D為圓心，1為半徑的圓上運動．在Rt△CDE中，得出CD=7，進而可得CQ的最大值為CD+QD=1+【解答】[問題解決]證明：點P分別在⊙O外，直線PO分別交⊙O于點A、B，如圖①﹣1，點C為⊙O上任意一點，連接PC，OC，當點C與點B不重合時，在△POC中，PO+CO＞PC，又∵CO＝BO，∴PO+BO＞PC，即PB＞PC，當點C與點B重合時，PB＝PC，∴綜上可得：PB≥PC，∵點C為⊙O上任意一點，∴PB的長是點P到⊙O上的點的最長距離；[初步應用]解：（1）已知點P到⊙O上的點的最短距離為3，最長距離為7，分兩種情況討論：若點P在⊙O外，如圖①﹣2，則PA＝3，PB＝7，∴AB＝PB﹣PA＝7﹣3＝4，∴⊙O的半徑為2；若點P在⊙O內(nèi)，如圖②，則PA＝3，PB＝7，∴AB＝PB+PA＝7+3＝10，∴⊙O的半徑為5；綜上所述，⊙O的半徑為2或5，故答案為：2或5；（2）如圖③，連接AE，交⊙O于點D，由[模型建立]可得AD的長是點A到⊙E上的點的最短距離，∴AP的最小值是AD的長，∵在Rt△ACE中，AC＝8，CE＝2，由勾股定理得：AE=A∴AD=AE?DE=217∴AP的最小值是217故答案為：217[拓展延伸]解：如圖④，取AO的中點D，連接DQ，CD，OP，過點C作CE⊥AB，∵點Q是線段AP的中點，∴DQ=1∴點Q在D為圓心，1為半徑的圓上運動，∴當D在CQ上，線段CQ取得最大值，∵∠AOC＝120°，∴∠COE＝60°，∠OCE＝30°，∴OE=12OC=在Rt△CDE中，CD=D∴CQ的最大值為CD+QD=1+7故答案為：1+7【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查三角形三邊關系的應用，勾股定理，一點到圓上的距離的最值問題，解答本題的關鍵是熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．11．AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，AB=2BC（1）如圖1，求證：AC=（2）如圖2，AD，AE為⊙O的弦，AD交BC于點F，連接EF，OG⊥AE，點G為垂足，過G作EF的平行線交AF于點H，求證：AH＝HF；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CO交AF于點P，點Q在AO上，連接FQ交OC于點I，連接HI，若FQ+QO＝OB，PC＝8，BQ＝23，求HI的長．【考點】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1517【分析】（1）如圖1，連接AC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理得到AC＝BC，于是得到AC=（2）根據(jù)垂徑定理得到AG＝GE，由GH∥EF，得到AGEG=AHHF=（3）過F作FT⊥AB于T，連接HC，HT，HQ，根據(jù)FQ+QO＝OB，OQ+AQ＝OA，OA＝OB，得到AQ＝FQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到QH⊥AF，求得∠HAQ+∠AQH＝90°，得到OC⊥AB，推出∠CPH＝∠HQT，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CH＝AH＝HT=12AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠HAC＝∠ACH，∠HAT＝∠ATH，求得∠HAT＝∠HCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PC＝TQ＝8，根據(jù)勾股定理得到FQ=FT2+TQ2=152+82=17，求得AT＝AQ+TQ＝FQ+TQ＝25，過H作HM⊥AB于【解答】（1）證明：如圖1，連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC2+BC2＝AB2，AB=2BC∴AC2+BC2＝（2BC）2＝2BC2，∴AC＝BC，∴AC=（2）證明：∵點O為⊙O的圓心，OG⊥AE，∴AG＝GE，∵GH∥EF，∴AGEG∴AH＝FH；（3）如圖3，過F作FT⊥AB于T，連接HC，HT，HQ，∵FQ+QO＝OB，OQ+AQ＝OA，OA＝OB，∴AQ＝FQ，∵AH＝FH，∴QH⊥AF，∴∠HAQ+∠AQH＝90°，∵AC＝BC，AO＝BO，∴OC⊥AB，∴∠PAO+∠APO＝90°，∴∠APO＝∠AQH，∴∠CPH＝∠HQT，∵∠ACF＝∠ATF＝90°，∴CH＝AH＝HT=1∴∠HAC＝∠ACH，∠HAT＝∠ATH，∵∠CAH+∠HAT＝∠ACP+∠HCP＝45°，∴∠HAT＝∠HCP，∴∠HCP＝∠HTQ，∵∠HCP＝∠HTQ，∠HPC＝∠HQT，CH＝TH，∴△HCP≌△HTQ（AAS），∴PC＝TQ＝8，∴BT＝15，∵∠FTB＝90°，∠B＝45°，∴FT＝BT＝15，∴FQ=F∴AT＝AQ+TQ＝FQ+TQ＝25，過H作HM⊥AB于M，HN⊥OC于N，則四邊形HMON是正方形，∵AH＝HF，HM∥FT，∴HM＝HN＝ON=1∵IO∥FT，∴△QIO∽△QFT，∴OIFT∴OI15∴OI=75∴NI=75∴HI=H【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．12．如圖1，在銳角△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，連結(jié)BO并延長交AC于點D，交⊙O于點G，設∠BAC＝α．（1）填空：當α＝20°時，則∠BDC＝30°．（2）如圖2，當0°＜α＜60°時，在BG左側(cè)圓弧上取點E，使BE=BC，連結(jié)AE，DE，EG，設EG與AC交于點①求證：EG平分∠AED．②若△EDG的一邊與BC平行，且AF＝1，求DE的長．【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②DE=2+2或DE=1+【分析】（1）連結(jié)AO，根據(jù)AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，得出∠ABD＝∠BAO＝∠CAO＝10°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．（2）①如圖，由（1）得∠3=32α，根據(jù)BC=BE，得出∠EAB＝∠BAC＝∠G＝α，求出∠EDO＝∠CDO=32α，∠ABG=12α＝∠AEG，∠DEG=1②分為（i）當EG∥BC時，（ii）當ED∥BC時，分別求解即可．【解答】（1）解：如圖，連結(jié)AO，∵AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，∵∠BAC＝α＝20°，∴∠ABD＝∠BAO＝∠CAO＝10°，∴∠AOG＝20°，∴∠ADG＝∠AOG+∠CAO＝30°，∴∠BDC＝∠ADG＝30°，故答案為：30°；（2）①證明：如圖，由（1）得∠BDC=32連接EO，CO，∵BC=∴∠EAB＝∠BAC＝∠G＝α，∠EOB＝∠COB，∴∠EOD＝∠COD，在△EOD和△COD中，EO=CO∠EOD=∠COD∴△EOD≌△COD（SAS），∴∠EDO＝∠CDO=32∴∠ABG＝∠CDO﹣∠BAC=12α＝∠∠DEG＝∠EDO﹣∠G=12∴∠AEG＝∠DEG，即EG平分∠AED；②根據(jù)題意可得∠DBC＝180°﹣∠CDO﹣∠DCB＝180°?32α?180°?α（i）如圖，當EG∥BC時，則∠G＝∠DBC，∴α＝90°﹣α，解得：α＝45°．∴△AED是等腰直角三角形，∴∠AED＝∠ADE＝45°，過點F作FH⊥ED，∴∠DFH＝∠FDH＝45°，∴FH＝DH，∵EG平分∠AED，∴AF＝FH＝1，∴DF=2則AD=1+2∴DE=2（ii）如圖，當ED∥BC時，∠4＝∠DBC，則32解得：α＝36°，∴△AED是等腰直角三角形，∴AE＝DE，則AF＝DF＝1，∵∠EAC＝72°＝∠ADE，∠AED＝36°＝∠BAC，∴△ADM∽△EDA，∵AD＝AM＝EM＝2，∴ADDE=DM解得：DE=1+5綜上，DE=2+2或DE=1+【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．13．如圖1，C，D是半圓ACB上的兩點，若直徑AB上存在一點P，滿足∠APC＝∠BPD，則稱∠CPD是弧CD的“幸運角”．（1）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，D是弧BC上的一點，連接DE交AB于點P，連接CP．①∠CPD是弧CD的“幸運角”嗎？請說明理由；②設弧CD的度數(shù)為n，請用含n的式子表示弧CD的“幸運角”度數(shù)；（2）如圖3，在（1）的條件下，若直徑AB＝10，弧CD的“幸運角”為90°，DE＝8，求CE的長．【考點】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）①∠CPD是弧CD的“幸運角”，理由見解析過程；②用含n的式子表示弧CD的“幸運角”度數(shù)為n；（2）CE=2或7【分析】（1）①根據(jù)AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB可得CF＝EF，從而得到CP＝EP，結(jié)合等腰三角形底邊上三線合一即可得到答案；②根據(jù)圓周角定理可得，∠CED=n2，結(jié)合CP＝EP可得（2）連接CO，DO，由（1）可得∠COD＝90°，∠CED＝45°，∠CPD＝90°即可得到CD，EP＝CP，設PE＝x，則有PD＝8﹣x，根據(jù)“幸運角”為90°結(jié)合勾股定理即可得到答案．【解答】解：（1）①∠CPD是弧CD的“幸運角”，理由如下：∵AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，∴CF＝EF，∴CP＝EP，∵CE⊥AB，∴∠CPA＝∠EPA，∵∠DPB＝∠EPA，∴∠DPB＝∠CPA，∴∠CPD是弧CD的“幸運角”；②∵弧CD的度數(shù)為n，∴∠CED=n∵CP＝EP，∴∠CED=∠ECP=n∴∠CPD＝∠CED+∠ECP＝n，∴弧CD的“幸運角”度數(shù)為n；（2）連接CO，DO，如圖3，∵弧CD的“幸運角”為90°，∴∠COD＝90°，∠CED＝45°，∠CPD＝90°，∴∠CED＝∠ECP＝45°，∴EP＝CP，∵AB＝10，∴OC＝OD＝5，∴CD=5設PE＝x，則有PD＝8﹣x，∴x2+（8﹣x）2＝50，解得：x1＝1，x2＝7，∴CE=12+【點評】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，等腰直角三角形性質(zhì)，解題的關鍵是作輔助線．14．在平面直角坐標系xOy中，已知點T（t，0），⊙T的半徑為1，它的一條弦MN作兩次變換：關于點M作中心對稱后得到線段MP，關于點N作中心對稱后得到線段NQ．我們稱點P、Q為⊙T的對稱點，稱線段PQ為⊙T的對稱弦．（1）如圖，點A，B，C，D的橫、縱坐標都是整數(shù)．①在線段AB，AD，CB，CD中，⊙O的對稱弦是AB、CD；②若線段AC上的點都是⊙T的對稱點，求t的取值范圍；（2）若⊙O的對稱弦PQ過點（1，0），直線y=3x+b與線段PQ有公共點，b的取值范圍是?2?2【考點】圓的綜合題．【專題】新定義；線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；與圓有關的位置關系；運算能力；推理能力．【答案】（1）①AB、CD；②2?3＜t≤0（2）?2?23【分析】（1）①畫出圖形，根據(jù)定義判斷；②求出點A是對稱點的點T的位置及AC與⊙T相切時點T的位置，進而得出結(jié)果；（2）以E（﹣1，0）為圓心，2為半徑作⊙E，⊙E過A（﹣3，0），以F（1，0）為圓心，1為半徑作⊙F，⊙F，交x軸于點B（3，0），經(jīng)過D（1，0）⊙O的弦DK與⊙E和⊙F分別交于點P、Q，從而得出P和Q的軌跡，進而得出直線y=3x+b與⊙E和⊙F相切時的【解答】解：（1）①如圖1，AG＝弦FG＝BF＝2，CE＝EF＝DF=2，AH≠弦HQ，BC與⊙O故答案為：AB、CD；②如圖2，∵⊙O的直徑是2，∴點A是⊙T的對稱點時，t＝0，當⊙T與AC相切于W時，連接WT，則AT=2∴OT＝OA﹣AT＝3?2此時t=2∴2?3＜t≤0（2）如圖3，以E（﹣1，0）為圓心，2為半徑作⊙E，⊙E過A（﹣3，0），以F（1，0）為圓心，1為半徑作⊙F，⊙F，交x軸于點B（3，0），經(jīng)過D（1，0）⊙O的弦DK與⊙E和⊙F分別交于點P、Q，∴∠Q＝∠EKD＝90°，∠QDB＝∠EDK，DE＝BD＝2，∴△BDQ≌△EDK（AAS），∴DQ＝DK，∵∠DKE＝∠P＝90°，∴EK∥AP，∴DKPK∴PK＝DK，∴PQ是⊙O的對稱弦，設y=3x+b交x軸于點M，切⊙E于點G，連接∴∠EGM＝90°，∵EG＝2，∠GME＝60°，∴EM=2∴M（﹣1?4∴0=3∴b＝4+3設y=3x+b交x軸于點N，切⊙F于點H，連接∵∠FHN＝90°，∠FNH＝60°，F(xiàn)H＝1，∴FN=1∴N（2+2∴0=3∴b＝﹣2﹣23，∴?2?23故答案為：?2?23【點評】本題在新定義的基礎上，考查了直線和圓的位置關系，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識，解決問題的關鍵是尋找點P和點Q軌跡．15．數(shù)學課上，小明同學遇到了這樣的一個問題：如圖，點A、B、C、D在⊙O上，連結(jié)AB，AD，BC，CD，AC為⊙O的一條直徑，過點A作AE⊥BD交BD于點E．設∠ADE＝α．【證明】老師說：利用所學習的“圓的知識”可以證明△ABE∽△ACD，請你幫助小明網(wǎng)學完成，△ABE∽△ACD的證明過程．【應用】小明同學發(fā)現(xiàn)，利用△ABE∽△ACD可以解決如下問題：①若SABESACD=49，則sin②若AD＝5，CD＝10，sinα=35，則BD的長為【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】【證明】見詳解；【應用】①23②10．【分析】【證明】證明∠AEB＝∠ADC，∠ABE＝∠ACD，從而證明△ABE∽△ACD即可；【應用】①運用相似三角形面積比等于相似比的平方，sinα=AE②先利用AD=5，sinα=35求出AE，再用勾股定理求DE，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BE，再利用BD＝DE+【解答】【證明】證明：∵點A、B、C、D在⊙O上，AC為⊙O的一條直徑，AE⊥BD交BD于點E，∴∠ADC＝90°，∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠ADC，∵AD=∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD．【應用】解：①∵△ABE∽△ACD，∴S△ABE∴AEAD在Rt△ADE中，sinα=AE故答案為：23②∵sinα=AEAD=∴AE＝3，在直角三角形ADE中，由勾股定理得：DE=A∵△ABE∽△ACD，∴BECD=AE∴BE＝6，∴BD＝DE+BE＝10，故答案為：10．【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，圓周角定理等知識，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．16．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點C在直徑AB上運動，PC⊥AB，垂足為C，PC＝5，在PC右側(cè)作⊙O的切線PT，切點為T，連接PO．（1）如圖1，當點C與點A重合時，連接BT．①求證：PA＝PT；②直接寫出此時PO與BT的位置關系（不說理由）；（2）設線段OP與⊙O交于點Q，如圖2，當AC=4?7時，求劣弧QT（3）直接寫出PT長的最小值．【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；運算能力；推理能力．【答案】（1）①見解析；②PO∥BT，證明見解析；（2）π；（3）PT長的最小值為3．【分析】（1）①根據(jù)切線的判定定理得到PA是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA＝PT；②連接OT，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OT⊥PT，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠POA＝∠POT，求得∠OTB＝∠OBT，根據(jù)平行線的判定定理得到結(jié)論；（2）連接OT，如圖，根據(jù)勾股定理得到PT＝4，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠POT＝45°，于是得到劣弧QT的長=45π?4180（3）設PC交⊙O于點D，延長線交⊙O于點E，連接AD，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD2＝AC?BC，設AC＝x，則BC＝8﹣x，得到CD=x(8?x)，連接DT，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PT2＝PD?PE，設PT2＝y(tǒng)，求得y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x【解答】（1）①證明：∵AB是⊙O的直徑，PA⊥AB，∴PA是⊙O的切線，∵PT與⊙O相切于點T，∴PA＝PT；②解：PO∥BT，證明：連接OT，如圖，∵PT與⊙O相切于點T，∴OT⊥PT，在Rt△AOP和Rt△TOP中，OP=OPOA=OT∴Rt△AOP≌Rt△TOP（HL），∴∠POA＝∠POT，∵OT＝OB，∴∠OTB＝∠OBT，∵∠AOT＝∠OTB+∠OBT，∴∠POT＝∠OTB，∴PO∥BT；（2）解：連接OT，如圖，∵AB＝8，∴OA＝OB＝OT＝4，∵AC＝4?7∴OC＝OA﹣AC=7在Rt△OCP中，OC2+PC2＝OP2在Rt△OTP中，OT2+PT2＝OP2∴OC2+PC2＝OT2+PT2，∴（7）2+52＝42+PT2，解得PT＝4，∴tan∠POT=PT∴∠POT＝45°，∴劣弧QT的長=45π?4180（3）設PC交⊙O于點D，延長線交⊙O于點E，連接AD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD＝90°，∴∠A+∠ADC＝∠A+∠B＝90°，∴∠ADC＝∠B，∴△ADC∽△BDC，∴CDAC∴CD2＝AC?BC，設AC＝x，則BC＝8﹣x，∴CD=x(8?x)連接DT，∵PT∥BD，∴∠PTD＝∠TDB，∵∠TDB＝∠E，∴∠E＝∠PTD，∵∠TPD＝∠EPT，∴△PTD∽△PET，∴PTPE∴PT2＝PD?PE，設PT2＝y(tǒng)，∵PC＝5，∴y＝[5?x(8?x)][5+∴y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x+25，∴y最小＝9，即PT長的最小值為3．【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和勾股定理是解題的關鍵．17．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點P從點C出發(fā)，在線段CB上向點B以每秒2cm的速度移動，以點P為圓心，PB為半徑作⊙P．設運動時間為t秒．解答下列問題：（1）如圖1，當⊙P過點D時，求時間t的值．（2）如圖2，若在運動過程中，是否存在t的值，使得⊙P與直線AC相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當⊙P與直線AD相切時，切點為E，T為弧BE上的任意一點，過點T作⊙P的切線分別交AB，AD于點M，N，設BM長度為x．①求證：△AMN的周長PT②記△AMN的面積為S1，△PMN的面積為S2，當1S1+【考點】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）t=7（2）t=5（3）①證明詳見解析；②x的值為4+73或【分析】（1）由題可知PB＝PD＝4﹣2t，再利用Rt△PCD中建立勾股方程求解即可；（2）由相切可知PB＝PQ＝4﹣2t，再由sin∠ACB=PQ（3）①由⊙P與直線AD相切可得四邊形ABPE是正方形，所以AB＝AE＝3，再利用切線長定理TM＝BM，TN＝EN，從而△AMN的周長＝AB+AE＝6，進而得解即可；②有切線長定理易證S2=12S五邊形PBMNE，進而得到2S2＝9﹣S1，代入1S1+12S2【解答】解：（1）連接PD，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝4，AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，∵⊙P過點D，∴PB＝PD，∵CP＝2t，∴PB＝PD＝4﹣2t，在Rt△PCD中，PC2+CD2＝PD2，即4t2+9＝（4﹣2t）2，解得t=7（2）過P作PQ⊥AC于點Q，當⊙P與直線AC相切時，PQ為半徑，此時PQ＝PB，∵CP＝2t，∴PB＝PQ＝4﹣2t，∵AB＝3，BC＝4，∴AC=A∴sin∠ACB=PQ即4?2t2t解得t=5（3）①如圖，過P作PE⊥AD于點E，當⊙P與直線AD相切時，PE為半徑，此時PE＝PB，∵∠A＝∠ABP＝∠AEP＝90°，∴四邊形ABPE是正方形，∴AB＝AE＝3，∵MN與圓相切，AB與圓相切，AD與圓相切，由切線長定理可得，TM＝BM，TN＝EN，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+MT+NT+EN＝AM+BM+EN+AN＝AB+AE＝6，∵PT是半徑，∴PT＝3，∴△AMN的周長PT②在Rt△PBM和Rt△PTM中，PB=PTPM=PM∴Rt△PBM≌Rt△PTM（HL），同理可證Rt△PEN≌Rt△PTN（HL），∴S2＝S△PTM+S△PTN＝S△PBM+S△PEN=12S=12（S正方形ABPE﹣S=9?∴2S2＝9﹣S1，∵1S∴1S整理得，S12?9解得S1＝1或S1＝8，當S1＝1時，S2=9?∵S2=12∴MN=8∵BM＝x，∴AM＝3﹣x，MT＝x，∴TN＝EN＝MN﹣MT=83∴AN＝AE﹣EN＝x+1∵S1=12AM?∴12（3﹣x）（x+整理得3x2﹣8x+3＝0，解得x1=4+73，x當S1＝8時，S2=9?∵S2=12PT?MN=∴MN=1∵BM＝x，∴AM＝3﹣x，MT＝x，∴TN＝EN＝MN﹣MT=13∴AN＝AE﹣EN＝x+8∵S1=12AM?∴12（3﹣x）（x+整理得3x2﹣x﹣18＝0，解得x1=1+x2=1?綜上，x的值為4+73或【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、解直角三角形等內(nèi)容，綜合性強，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．18．定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．（1）如圖1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．分別交AB、OA與點M、點E．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦；（3）已知⊙O的直徑為10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP＝3BP．求AB的長．【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）45或2【分析】（1）根據(jù)AB⊥AC，OD⊥AB