2019年高三一輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)7-1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

[課時(shí)跟蹤檢測(cè)][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是()A．三棱錐 B．四棱錐C．四棱臺(tái) D．三棱臺(tái)解析：因?yàn)檎?主)視圖和側(cè)(左)視圖都為三角形，可知幾何體為錐體，又因?yàn)楦┮晥D為三角形，故該幾何體為三棱錐．答案：A2．(2017年浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3解析：由圖可知，幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)三棱錐構(gòu)成，∵半圓錐的體積V1＝eq\f(1,2)×(π×12)×3×eq\f(1,3)＝eq\f(π,2)，三棱錐的體積V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1×\f(1,2)))×3×eq\f(1,3)＝1，∴該幾何體的體積V＝V1＋V2＝eq\f(π,2)＋1.答案：A3．(2017年全國(guó)卷Ⅱ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)解析：過(guò)圓柱的軸作截面，所得截面如圖，則圓柱的底面半徑為r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，所以圓柱的體積為πr2·h＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).答案：B4．(2017年全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16解析：由三視圖可畫出立體圖形，如圖所示．該多面體有兩個(gè)面是梯形，其面積之和為2×(2＋4)×2÷2＝12.故選B.答案：B5.把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起形成的三棱錐A－BCD的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),4) D．eq\f(1,4)解析：由正(主)視圖與俯視圖可得三棱錐A－BCD的一個(gè)側(cè)面與底面垂直，其側(cè)視圖是直角三角形，且直角邊長(zhǎng)均為eq\f(\r(2),2)，所以側(cè)(左)視圖的面積為S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).答案：D6．已知四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P－ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是()A．3 B．2eq\r(5)C．6 D．8解析：四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PM＝3，PN＝eq\r(5)，S△PAD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PAB＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6.答案：C7．(2018屆山東泰安統(tǒng)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，且其側(cè)(左)視圖是一個(gè)等邊三角形，則這個(gè)幾何體的體積為()A.eq\f(4＋π\(zhòng)r(3),3) B．(4＋π)eq\r(3)C.eq\f(8＋π\(zhòng)r(3),2) D．eq\f(8＋π\(zhòng)r(3),6)解析：該幾何體為一個(gè)四棱錐與一個(gè)半圓錐的組合體，四棱錐的高為eq\r(3)，底面為正方形；半圓錐高為eq\r(3)，底面是半徑為1的半圓，因此體積為eq\f(1,3)×eq\r(3)×22＋eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(π×12,2)＝eq\f(8＋π\(zhòng)r(3),6).答案：D8．(2017屆山西太原三模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

A．2 B．eq\f(8,3)C．4 D．eq\f(20,9)解析：觀察三視圖并依托正方體，可得該幾何體直觀圖為A1－ABEF，如圖所示，其體積為V正方體－VAFD－BEC－VA1－BEC1B1－VA1－FEC1D1＝2×2×2－eq\f(1,2)×2×1×2－eq\f(1,3)×2×(1＋2)×2×eq\f(1,2)－eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(8,3).答案：B9.一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，此圖為一個(gè)邊長(zhǎng)是1的正方形，則原平面四邊形OABC的面積為_(kāi)_______．解析：因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)10．(2017年江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設(shè)球的半徑為R，則V1＝2R×πR2＝2πR3，V2＝eq\f(4,3)πR3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)11．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______．解析：如圖，圖①、圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖．從圖②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),2)，所以C′D′＝O′C′sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),4).所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)12．已知正三棱錐V－ABC的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)(左)視圖的面積．解：(1)直觀圖如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2eq\r(3)，∴側(cè)視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.[能力提升]1.(2017年全國(guó)卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi)_______．解析：設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為x，則0<x<5eq\r(3)，連接OD交BC于點(diǎn)P(圖略)，則OP＝eq\f(\r(3),6)x，PD＝5－eq\f(\r(3),6)x，∴三棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(\r(3),6)x))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)x))2)＝eq\r(25－\f(5\r(3),3)x)，∴三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)x·x·eq\r(25－\f(5\r(3),3)x)＝eq\f(\r(5),12)eq\r(15x4－\r(3)x5).令f(x)＝15x4－eq\r(3)x5，則f′(x)＝60x3－5eq\r(3)x4＝5x3(12－eq\r(3)x)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝4eq\r(3).當(dāng)0<x<4eq\r(3)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>4eq\r(3)時(shí)，f′(x)<0，所以當(dāng)x＝4eq\r(3)時(shí)，f(x)取最大值．當(dāng)x＝4eq\r(3)時(shí)，最大體積V＝eq\f(\r(5),12)eq\r(15×4\r(3)4－\r(3)×4\r(3)5)＝4eq\r(15)(cm3)．答案：4eq\r(15)2．(2017年江蘇卷)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10eq\r(7)cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG，E1G1的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長(zhǎng)度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))(1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度；(2)將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度．解：(1)設(shè)玻璃棒在CC1上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，在平面ACM中，過(guò)N作NP∥MC交AC于點(diǎn)P.∵A1B1C1D1－ABCD∴CC1⊥平面ABCD.又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，即NP＝12cm，且AM2＝AC2＋MC2，解得MC＝30cm.∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∵eq\f(AN,AM)＝eq\f(NP,MC)，即eq\f(AN,40)＝eq\f(12,30)，則AN＝16cm.即l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為16cm.(2)設(shè)玻璃棒在GG1上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，在平面E1EGG1中，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥EG交EG于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥E1G1交E1G1于點(diǎn)∵EFGH－E1F1G1∴EE1＝GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G∴EE1G1G為等腰梯形，畫出平面E1∵E1G1＝62cm，EG＝14cm∴E1Q＝24cm，又在Rt△EE1Q中EQ＝32cm，根據(jù)勾股定理得E1E＝40cm.∴sin∠EE1Q＝eq\f(4,5)，sin∠EGM＝sin∠EE1G1＝eq\f(4,5)，cos∠EGM＝－eq\f(3,5)