高三高考數(shù)學復習練習13-1合情推理與演繹推理

1311．若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，小前提是：a∈R，結(jié)論是：a2>0，那么這個演繹推理出錯在()A．大前提 B．小前提C．推理過程 D．沒有出錯【解析】推理形式正確，但大前提錯誤，故得到的結(jié)論錯誤．故選A.【答案】A2．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點的軌跡為橢圓B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B.【答案】B3．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯誤．【答案】C4．(2018·成都一中一診)《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映了中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當做數(shù)學“1”，把陰爻“”當做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數(shù)是()A．18 B．17C．16 D．15【解析】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)的010001，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故選B.【答案】B5．(2017·全國Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績【解析】由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．故選D.【答案】D6．如圖，橢圓的中心在坐標原點，F(xiàn)為其左焦點，當eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，橢圓的離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”可得“黃金雙曲線”的離心率為()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1 D.eq\r(5)＋1【解析】設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，則eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．因為eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－ac＋b2＝0.又因為b2＝c2－a2，所以c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0.解得e＝eq\f(1±\r(5),2).又e>1，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2).故選A.【答案】A7．仔細觀察下面○和●的排列規(guī)律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數(shù)是________．【解析】進行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(n（n＋3）,2)，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.【答案】148．觀察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根據(jù)上述規(guī)律，第n個等式為________．【解析】觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個等式為13＋23＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(n2（n＋1）2,4).【答案】13＋23＋…＋n3＝eq\f(n2（n＋1）2,4)9．(2018·湖北八校一聯(lián))我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理(祖暅原理)：“冪勢既同，則積不容異”．“勢”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，一個焦點為(eq\r(5)，0)．直線y＝0與y＝3在第一象限內(nèi)與雙曲線及漸近線圍成如圖所示的圖形OABN，則它繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為________．【解析】由題意可得雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，y＝3在第一象限內(nèi)與漸近線的交點N的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，與雙曲線第一象限的交點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(1＋\f(9,4))，\f(3,2)))，記y＝3與y軸交于點M，因為π|MB|2－π|MN|2＝π，根據(jù)祖暅原理，可得旋轉(zhuǎn)體的體積為3π.【答案】3π10．(2017·汕頭三模)甲、乙、丙三人到戶外植樹，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人澆水，他們的身高各不同，現(xiàn)了解到以下情況：①甲不是最高的；②最高的沒澆水；③最矮的施肥；④乙不是最矮的，也沒挖坑和填土．可以判斷丙的分工是________(從挖坑，施肥，澆水中選一項)．【解析】甲、乙、丙三人到戶外植樹，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人澆水，最矮的施肥，乙不是最矮的，也沒挖坑和填土，由此得到乙的分工是澆水，再由甲不是最高的，最高的沒澆水，得到丙是最高的，甲是最矮的，∴甲的分工是施肥，丙的分工是挖坑和填土．故答案為挖坑和填土．【答案】挖坑和填土11．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．(Ⅰ)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(Ⅱ)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(Ⅲ)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(Ⅳ)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(Ⅴ)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．【解析】方法一(1)選擇(Ⅱ)式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋cos(30°－α)[cos(30°－α)－sinα]＝sin2α＋cos(30°－α)(cos30°cosα＋sin30°sinα－sinα)＝sin2α＋cos(30°－α)(cos30°cosα－sin30°sinα)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)(cos30°cosα－sin30°sinα)＝sin2α＋cos230°cos2α－sin230°sin2α＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α－eq\f(1,4)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).方法二(1)同方法一．(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos（60°－2α）,2)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1,4)(1－cos2α)＝eq\f(3,4).12．數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．證明：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.【證明】(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，又eq\f(S1,1)＝1≠0，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\