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文檔簡介

何為條件極值？課題導(dǎo)入要設(shè)計(jì)一個容量為V的長方形開口水箱，試問長方形的長、寬、高各等于多少時，其表面積最??？為此，設(shè)水箱的長、寬、高分別為x,y,z，則表面積為S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy.依題意，上述表面積函數(shù)的自變量不僅要符合定義域的要求（x>o,y>0,z>0）,而且還必須滿足條件xyz=V.這類附有約束條件的極值問題稱為條件極值問題.現(xiàn)在，我們重新回去解決水箱問題。這時所求的問題的拉格朗日函數(shù)是：L（x,y,z,）=2(xz+yz)+xy+(xyz-V)對L求偏導(dǎo)數(shù),并令它們都等于0求方程組的解，解得此時，水箱的面積在約束條件下確實(shí)存在最小值例：拋物面

被平面x+y+z=1截成一個橢圓,求該橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長和最短距離.解：設(shè)橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y,z），所求問題即轉(zhuǎn)化為求在限制條件

與

下的極小值問題。

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