高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第04講113空間向量的坐標與空間直角坐標系

1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系TOC\o"13"\h\u題型1空間向量的坐標表示 ⑦當a≠0且b≠0時，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．(2)設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB=OBOA=（x2x1，y2y1，z2z1）.即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.2.空間向量平行、垂直的坐標表示（1）已知空間向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，則a//b?b=λa?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3.空間向量坐標的應(yīng)用(1)點P(x，y，z)到坐標原點O(0,0,0)的距離OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．題型1空間向量的坐標表示【例題1】（2023·高三課時練習）若ABCD為平行四邊形，且已知點A4,1,3、B2,?5,1、【答案】?1,13,?3【分析】設(shè)Dx,y【詳解】設(shè)Dx,y所以AB=DC，所以所以?3?x=?27?y=?6故答案為：?1,13,?3.【變式11】1．（2023秋·高二課時練習）三棱錐P?ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB=BC=PB=1，M為PC【答案】1【分析】利用中位線和向量的線性運算，將MN用基底表示，表示系數(shù)即為所求坐標.【詳解】M為PC的中點，N為AC中點，則MN為△ACP故MN=12PA=12故答案為：1【變式11】2．（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標系中，已知三點O(0,0,0),A(1,2,1),A．(?1,?1,3) B．(3,0,1) C．(1,1,2) D．(1,?1,2)【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算可得OA=(1,2,1)，OB=(1,?1,0)，由OA，OB不共線，結(jié)合向量基本定理可得OC=【詳解】由OA=(1,2,1)，OB顯然OA，OB不共線，根據(jù)向量基本定理可得OC=故C點坐標為(λ經(jīng)驗算只有B選項符合條件，此時λ=1,故選：B【變式11】3．（2021秋·山西太原·高二太原市外國語學(xué)校校考期中）定義：設(shè)a1,a2,a3是空間向量的一個基底，若向量p=xa1+ya2+za3，則稱實數(shù)組x【答案】3,1,2【分析】化簡得到m=3【詳解】m→故m在基底a,b,故答案為：(3,1,2).【變式11】4．（2022秋·江蘇徐州·高二校考階段練習）在△ABC中，A(1)求頂點B,(2)求CA?【答案】(1)B(6,?4,5),(2)CA【分析】根據(jù)向量的坐標表示求出B,C的坐標，利用向量數(shù)量積的坐標運算可求得【詳解】（1）設(shè)B(xB∴xB?2=4設(shè)C(xC∴xC?6=3（2）∵CA∴CA【變式11】5．（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D【答案】EF=1【分析】根據(jù)空間直角坐標系，求出E,F,C1【詳解】由已知可得點E0,0,12，F(xiàn)12因為H是C1G的中點，所以H點坐標為故EF=12題型2空間向量的坐標運算【方法總結(jié)】關(guān)于空間向量坐標運算的兩類問題（1）直接計算問題首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.（2）由條件求向量或點的坐標首先把向量用坐標形式設(shè)出來，然后通過建立方程（組），解方程（組）求出其坐標..◆類型1加減數(shù)乘與數(shù)量積【例題21】（2022·全國·高二專題練習）已知a=(2,?3,1)，b=(2,0,3)，c=(0,1,?2)A．(4,?4,6) B．?6,?6,?5 C．(10,0,7) D．10,?6,19【答案】D【分析】利用向量的坐標運算計算即可．【詳解】a+4故選：D．【變式21】1．（2022·全國·高二專題練習）若向量a、b的坐標滿足a+b=?2，?1，2，A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【答案】B【分析】利用向量的運算和數(shù)量積運算即可得出．【詳解】∵a=b=∴a?故選：B．【變式21】2．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎臻g直角坐標系O?xyz中，OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2)，點QA．(12,34,13)【答案】C【分析】利用向量OQ//OP表示出點Q坐標，再求出QA，【詳解】因點Q在直線OP上運動，則OQ//OP，設(shè)OQ=因為OA=(1,2,3)，OB=(2,1,2)，所以A1,2,3因此QA=(1?t,2?于是得QA=6t則當t=43時，QA所以當QA?QB取得最小值時，點Q的坐標為故選：C【變式21】3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谥校┮阎粋€正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P?Q分別為DF?BF的中點，則AP?AQ=__________；若EG=2GB，過點G的直線分別交直線FE【答案】48【分析】補形成正方體，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算可得AP?【詳解】補形成正方體，如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為a，則(a2則A所以P所以AP所以AP在平面BEF中，如圖，因為EG=2GB又FE=所以FG因為G，N，M三點共線，所以m所以2當且僅當4n3m所以2m+故答案為：4；8【變式21】4．定義a?b=a2?aA．0,6 B．6,12 C．0,6 D．?1,5【答案】B【分析】根據(jù)a?【詳解】解：由題意知|a|=3,|b|=1．設(shè)a與則a?b=|∴cosθ∈[?1,1]．故選：B．◆類型2空間向量模長問題【例題22】（2022秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄縜=(2,?1,1)，b=(?1,1,x)，若a與【答案】5【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直關(guān)系求出x，再結(jié)合向量的坐標運算及模的運算計算作答.【詳解】向量a=(2,?1,1)與b=(?1,1,x)垂直，則有于是a+2所以a+2故答案為：5【變式22】1．（2023秋·高二課時練習）棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1【答案】248【分析】因為正方體ABCD?A1B1【詳解】因為正方體ABCD?A1體對角線長為12因為正方體有12條面對交線，而每條對角線對應(yīng)兩個向量，如AC,所以模長等于2的向量有24個，正方體有4條體對角線，故模長為3的向量有8個.故答案為：24；8.

【變式22】2．（2023·高二校考課時練習）已知向量a=(2,1,?2)，c=(?1,0,1)，向量b同時滿足下列三個條件：①a?b=?1(1)求a+2(2)求向量b的坐標.【答案】(1)1(2)b=(2,?1,2)或b【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算及模的公式計算即可；（2）設(shè)b=(【詳解】（1）∵a=(2,1,?2)，∴a∴|a（2）設(shè)b=(則a?b=2x+由①②③得x=2,y∴b=(2,?1,2)或【變式22】3．（2023秋·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰诶忾L為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點EA．14 B．12 C．3【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)E、F坐標，根據(jù)C1【詳解】如圖所示，以C1為中心建立空間直角坐標系，設(shè)E則C1E=AF=2?y=故選：B【變式22】4．（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P?ABCD中，△PCD為正三角形，底面為正方形，且邊長均為1．平面PCD⊥平面【答案】52/【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的方法求得M點在底面內(nèi)的軌跡，進而求得其長度.【詳解】取AB中點N，CD中點O，連接OP,因為平面PCD⊥平面ABCD，OP⊥CD，平面PCD∩平面ABCD=所以O(shè)P⊥平面ABCD由題意可得OP,以O(shè)為原點，分別以O(shè)N,OC,則P(0,0,32則AM由AM=PM，可得則x?12+則M點在底面內(nèi)的軌跡為線段4x?2y所以軌跡的端點的坐標為0,?則M點在底面內(nèi)的軌跡長度為(0?故答案為：5【變式22】5．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F(xiàn)A．433 B．463 C．【答案】D【分析】以O(shè)為原點，分別以O(shè)C，OD，OP的方向為x軸、y軸和z軸軸的正方向建立的空間直角坐標系，設(shè)PE=λPD=0,【詳解】如圖所以，連接AC，BD，記AC∩由正四棱錐的性質(zhì)可知OC，OD，OP兩兩垂直，則以O(shè)為原點，分別以O(shè)C，OD，OP的方向為x軸、y軸和z軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，因為PA=AB=2，所以A?2,0,0，則CA=?22設(shè)PE=λPD從而CE=故點A到直線CE的距離d=即AF的最小值是26故選：D.◆類型3空間向量夾角問題【例題23】（2023·全國·高三對口高考）已知向量a=1,2,3,b=【答案】120°【分析】設(shè)c→=x【詳解】設(shè)c→=x,y∴a→+b→=?1,?2,?3，∴x2∵0°≤θ≤180°，故答案為：120°【變式23】1．（2022·高二課時練習）已知：a=x,4,1,b=?2,y,?1(1)a，b，c；(2)a+c與【答案】(1)a(2)?【分析】（1）由空間向量平行與垂直坐標公式列出方程組，即可求解.（2）利用空間向量的夾角坐標公式，即得.【詳解】（1）∵a∥b，∴x?2解得x=2,故a=又因為b⊥c，所以即?2×3+?4×故c=（2）由（1）可得a→+c設(shè)向量a+c與b+則cos=5×1+2×【變式23】2．（（2023春·北京海淀·高一人大附中?？计谥校┤舜蟾街信e辦了“陽春德澤·歐以詠志”春日合唱比賽大獲成功．數(shù)學(xué)組想舉辦“響亮（諧音向量）學(xué)生音樂節(jié)”獨唱比：想在獨唱比賽取得好的成績?nèi)Q于三個要素：情感投入a，唱歌技巧b和舞臺效果c（單位：分）．每個參賽同學(xué)各有優(yōu)勢．最多只能分配10分到三個不同的要素中．根據(jù)經(jīng)驗，數(shù)學(xué)組老師約定三個要素a:b:c為3:3:4時會達到最佳效果．計分方式是計算參賽同學(xué)的三維要素向量a,同學(xué)情感投入a唱歌技巧b每臺效果cA631B144C234D243A．同學(xué)A B．同學(xué)B C．同學(xué)C D．同學(xué)D【答案】C【分析】根據(jù)題意得到四位同學(xué)的三維要素向量，再逐一利用公式計算得對應(yīng)的cosθ【詳解】易得32對于A同學(xué)，其三維要素向量為6,3,1，則62則其對應(yīng)的cosθ對于B同學(xué)，其三維要素向量為1,4,4，則12則其對應(yīng)的cosθ對于C同學(xué)，其三維要素向量為2,3,4，則22則其對應(yīng)的cosθ對于D同學(xué)，其三維要素向量為2,4,3，則22則其對應(yīng)的cosθ易得3146×34所以cosθA<cos故C同學(xué)的三維要素向量a,b,故選：C.【變式23】3．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐P?ABCD中，棱長為2的側(cè)棱PD垂直底面邊長為2的正方形ABCD，M為棱PD的中點，過直線BM的平面α分別與側(cè)棱PA、PC相交于點E、F，當PE=A．22 B．2 C．33【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，利用向量共面確定點的坐標，利用向量數(shù)量積及三角形面積公式即可求出.【詳解】由題意，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，

則C0,2,0，P0,0,2，A2,0,0，M0,0,1，B2,2,0設(shè)PE=tPA=2又PE=PF，PA=PC，所以由題意，M、E、所以?2=(2t?2)x所以E43,0,23所以cos<BE,BF所以sin∠EBF所以S△又ME=所以cos<ME,MF所以sin∠EMF所以S△所以截面MEBF的面積為S=故選：A◆類型4投影向量問題【例題24】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知A1,1,0，B0,3,0，C2,2,2，則向量ABA．16,1C．?16,?【答案】D【分析】先求AB,【詳解】因為A1,1,0，B0,3,0，所以AB=所以AB=?12AB?所以向量AB在AC上的投影向量是AB?所以向量AB在AC上的投影向量的坐標是16故選：D.【變式24】1.（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量a,b滿足a=(1,1,2),|b|=2，且|【答案】23【分析】對a+b=【詳解】a+b=因為a=1,1,2又b=2，代入①得：8?8a?a+所以，a+b在a+故答案為：2，32【變式24】2.（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習）已知向量a=1,3,0,b=2,1,1，則向量A．52,54,54 B．【答案】B【分析】利用投影向量的定義求解作答.【詳解】向量a=1,3,0,b=所以向量a在向量b上的投影向量c=故選：B題型3空間向量平行、垂直的坐標表示及應(yīng)用◆類型1空間向量平行問題【例題31】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量a=1,t,2，b=A．?2 B．2 C．?4 D．?5【答案】D【分析】根據(jù)共線向量基本定理確定a與b的關(guān)系，再分別求出t和s，進而求解.【詳解】解：若a∥b，則因為已知向量a=1,t,2，b=所以t?故選：D.【變式31】1．已知空間三點A?2,0,2，B?1,1,2，C?3,0,4，設(shè)a=AB，b=AC【答案】?2,?1,2或2,1,?2【分析】先求得b?a，然后根據(jù)向量共線以及向量的模求得【詳解】b?由于c//b?所以c=所以c為?2,?1,2或2,1,?2.故答案為：?2,?1,2或2,1,?2【變式31】2．已知向量a=(1,1,0)，則與a共線的單位向量eA．(22,?22,0) C．(22,22,0) D．【答案】C【分析】利用向量共線定理、模的計算公式即可判斷出結(jié)論.【詳解】因為向量a與e共線，故a=λe，對于C：向量(22,22,0)=22a，另驗證向量(22,2故選：C．【變式31】3．（2023春·高二課時練習）已知向量a=(1,2,1)，b=(3,2,2)，且A．?2512 C．?12 【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運算的坐標表示，結(jié)合向量共線條件列式計算作答.【詳解】向量a=(1,2,1)，b=(3,2,2)，則因為(ka+b)//(所以實數(shù)k的值為?1故選：C【變式31】4.（2023秋·高二課時練習）已知空間三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB(1)設(shè)|c|=3，c∥(2)求a與b的夾角；(3)若ka+b【答案】(1)c=(?2,?1,2)或(2)π?arccos(3)k=2或【分析】（1）由空間向量平行，得出c=kBC，設(shè)c=?2（2）先求得a=1,1,0，b=（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于k的方程，解之即可求得k的值．【詳解】（1）由題可知，BC=(?2,?1,2)由c∥BC，得c=因為|c所以(?2k)2所以c=(?2,?1,2)或c（2）因為A(?2,0,2)、B(?1,1,2)、C(?3,0,4)，a所以a=(1,1,0)，b則cos<a所以a與b的夾角為π?arccos10（3）因為ka+b又ka+b所以ka解得k=?52◆類型2空間向量垂直問題【例題32】（2023春·高二課時練習）已知向量a=x,1,2，b=1,y,?2(1)求x，y，z的值；(2)求向量a+c與【答案】(1)x(2)5【分析】（1）根據(jù)空間向量的平行以及垂直關(guān)系列出方程，求解方程組即可.（2）根據(jù)兩個向量所成角的余弦公式求解即可.【詳解】（1）∵a=x,1,2，b=1,因為a//b，設(shè)存在實數(shù)λ，使得所以x=λ1=因為b⊥c，b?∴所以x=?1（2）由（1）知a=?1,1,2，b=∴a+c=∴a+a+c=∴cosa∴向量a+c與b+【變式32】1．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習）已知向量a=(1)求a?2(2)當c=22時，若向量ka+b與c(3)若向量c與向量a,b共面向量，求【答案】(1)13(2)x=0，(3)x【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長公式求解即可.（2）根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運算，可得坐標表示，根據(jù)空間向量垂直的坐標計算公式，求解即可.（3）根據(jù)向量共面定理，建立向量c與向量a,【詳解】（1）∵a=?2,?1,2∴a∴a（2）因為|c所以x2+2因為ka+b=(?2k所以(ka即2?2k∴k所以實數(shù)x和k的值分別為0和?3；（3）解：設(shè)c=λa則(解得，x即c=?所以向量c與向量a，b共面．【變式32】2．（多選）（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且AB=2，若線段DE上存在點P，使得GPA．2 B．22 C．4 D．【答案】CD【分析】以D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)CG=a,P（x,0,z）【詳解】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)CG=a,Px又B2,2,0所以BP=由PB⊥得PB?顯然x≠0且x≠2，則所以a2因為x∈0,2，所以所以a2=16故選：CD.【變式32】3.（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知正方體ABCD?A1B1C1①?t∈0,1②?t∈0,1，都存在s③?t∈0,1④HB+HC其中所有真命題的序號是______．【答案】①②③【分析】以點A為坐標原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可判斷①③；利用空間向量的坐標運算可判斷②；將側(cè)面ABB1A1與面ACC1A1延展至同一平面，分析可知當點【詳解】以點A為坐標原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、

因為正方體ABCD?A1B1C1則A0,0,0、B2,0,0、C2,2,0、D0,2,0、C12,2,2、D1對于①，CH=?2,?2,2t?t∈0,1對于②，CA=?2,?2,0，?t∈0,1，都存在s則sCA由CH=sCA+1?對于③，DH=0,?2,2t若?t∈0,1，使得DH⊥C對于④，在正方體ABCD?A1B1因為AC?平面ABCD，則A又因為AA1//CC1且易知四邊形ABB將側(cè)面ABB1A

當點B、H、C1共線時，HB且HB+當且僅當點B、H、C1共線時，等號成立，故HB+H故答案為：①②③.【變式32】4．已知a=1,?4,5，b=?2,3,2，點(1)求2a(2)在線段AB上，是否存在一點E，使得OE⊥【答案】(1)13(2)存在，E【分析】（1）利用空間向量的線性運算及模的運算公式即可得解；（2）利用空間向量共線定理得到OE關(guān)于λ的關(guān)系式，再由空間向量垂直的坐標表示求得λ，從而得到點E的坐標.【詳解】（1）因為a=1,?4,5，所以2a則2a（2）假設(shè)線段AB上存在一點E，使得OE⊥b，則設(shè)因為A?3,?2,3，B?2,?3,2，所以又因為OE?所以O(shè)E=因為OE⊥b，所以?2λ?3+3?λ所以O(shè)E=67所以線段AB上存在一點E，使得OE⊥b，且【變式32】5．已知A(1,2,0),(1)求cosAB(2)已知點P(?3,m,n)(3)當λ為何值時，AB與AB+【答案】(1)55(2)?14(3)λ【分析】（1）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算直接求解；（2）利用空間向量共線的坐標表示求解；（3）利用空間向量垂直的坐標表示求解.【詳解】（1）AB=(?1,2,0),∴|AB∴cosAB（2）因為點P(?3,m,n)在直線AC則存在μ∈R使得AP=μ∴?4=μm（3）AB+∵AB與AB+∴?1×(λ∴λ∴λ=?5時，AB與◆類型3銳角鈍角問題【例題33】（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習）若a=?1,x+1,x，b=2?A．?∞,12 B．12,+∞ C．【答案】C【分析】令a與b共線，求出x的值，依題意a?b<0且a【詳解】因為a=?1,x令a與b共線，則a=λb，即?1,x+1,此時a=?1,0,?1，b=3,0,3，即b=?3又a與b的夾角為鈍角，所以a?b<0且a即?2?x+3解得x<12故選：C【變式33】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習）已知a=1,?2,λ,b【答案】λ>?5且【分析】根據(jù)題意得出a?b<0且a【詳解】因為a與b的夾角為鈍角，所以a?b<0且a因為a=1,?2,λ,b當a與b共線時，a=kb，即1,?2,λ=所以λ>?5且λ故答案為：λ>?5且λ題型4含參取值（范圍）最值問題【例題4】（2023·上海黃浦·格致中學(xué)?？既＃┰诶忾L為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知E為線段BA．當λ=12B．當μ=12時，四棱錐C．PE+PFD．存在唯一的實數(shù)對λ,μ，使得【答案】C【分析】由線面平行的判定可知BD1//平面EFD，知三棱錐P?EFD底面積和高均為定值，A正確；根據(jù)正棱錐外接球的球法，可構(gòu)造關(guān)于外接球半徑R的方程，求得R后知B正確；將C中問題轉(zhuǎn)化為在平面ABC1D1內(nèi)求解PE+PF的最小值，作E【詳解】對于A，當λ=12時，F(xiàn)為C1D1中點，又

∵EF?平面EFD，BD1?平面EFD，則當P在線段BD1上移動時，其到平面∴三棱錐P?對于B，當μ=12時，取AC,BD交點O∴PO⊥平面設(shè)四棱錐P?ABCD的外接球的球心為O′，半徑為R，則O

∵OC=22，OO解得：R=34，∴四棱錐P對于C，將問題轉(zhuǎn)化為在平面ABC1D作E關(guān)于線段BD1的對稱點E1，過E1作HG//

∵PE=PE1，∴∵∠E∴sin∠E∴E1G即PE+PF的最小值為對于D，以D為坐標原點，DA,DC,

則D0,0,0，E12,1,1∴EP=μ?1若EP⊥平面PDF，則EP∴EP解得：μ=3+3∴存在唯一的實數(shù)對λ,μ=3?1故選：C.【變式41】1．（多選）（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，AC=A．平面PAC⊥B．△WMN面積的最小值為C．平面WMN截該三棱錐所得截面不可能是菱形D．若三棱錐P－ABC可以在一個正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則此正方體的體積最小值為2【答案】ABD【分析】由面面垂直的判定定理可判斷A；以N為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)NM，NW所成角為θ，由空間向量的數(shù)量積定義可求出cosθ=12λλ2【詳解】對于A，因為PA2+故PC⊥PA，AB⊥BC，則所以PN2+因為PA=PC，N為AC的中點，所以則AC∩NB=PN?平面PAC，則平面PAC

對于B，因為PN⊥平面ABC，BN⊥AC則A22,0,0所以NW=所以NM=0,24,而NM?又NM?NW=sinθ所以△WMN的面積為S

故B正確；對于C，當W為PA中點，取BC的中點D，連接MD,因為MW//AB//且四邊形MWND為平行四邊形，又因為WN=故四邊形MWND為菱形，所以當W為PA中點時，平面WMN截該三棱錐所得截面MWND為是菱形，故C不正確；

對于D，因為PC⊥PA，AB⊥故三棱錐P－ABC的外接球半徑為22，故該外接球的內(nèi)接正方形的棱長為2若三棱錐P－ABC可以在一個正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則此正方體的體積最小值為V=故選：ABD.【點睛】本題的關(guān)鍵點在于由空間向量的數(shù)量積定義可求出cosθ=12λ【變式41】2．（2023春·高二課時練習）如圖所示，正方體的棱長為1，以正方體的同一頂點上的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O?xyz，點P在正方體的體對角線AB上，點Q在正方體的棱C