高中數(shù)學(xué)全部知識點總結(jié)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。A表示函數(shù)y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數(shù)上的點的軌跡2進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題?？占且磺屑系淖蛹?，是一切非空集合的真子集。顯然，這里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。3.注意下列性質(zhì)：要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2,a3,……an,都有2種選擇，所以，總共有2n種選擇，即集合A有2n個子集。當(dāng)然，我們也要注意到，這2n種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數(shù)為2n?1，非空真子集個數(shù)為2n?2（2）若A?B?A∩B=A，AUB=B；（3）德摩根定律：UUBUUAUB)有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂AUB=A∩B,A∩B=AUB4.你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)如：已知關(guān)于x的不等式的解集為M，若3∈M且5?M，求實數(shù)a的取值范圍。）注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過；如告訴你函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在(?∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，就應(yīng)該馬上知道函數(shù)對稱軸是x=1.或者，我說在上，也應(yīng)該馬上可以想到m，n實際上就是方程的2個根5、熟悉命題的幾種形式、若?p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。6、熟悉充要條件的性質(zhì)（高考經(jīng)?？迹〢={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，若；則p是q的充分非必要條件?AB；若；則p是q的必要非充分條件?AB；若；則p是q的充要條件?AB；若；則p是q的既非充分又非必要條件?;7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）注意映射個數(shù)的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數(shù)有nm個。永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)如：若A={1,2,3,4}，B={a,b,c}；問：A到B的映射有個，B到A的映射有個；A到B的函數(shù)有個，若A={1,2,3}，則A到B的一一映射有個。函數(shù)y=φ(x)的圖象與直線x=a交點的個數(shù)為個。8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？）函數(shù)定義域求法：l分式中的分母不為零；l偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；l指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；l對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。,l正切函數(shù)y=tanx?(x∈R,且x≠kπ+π,k,l余切函數(shù)y=cotx(x∈R,且x≠kπ,k∈Ζ)l反三角函數(shù)的定義域值域是(0,π).當(dāng)以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？）復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知y=f(x)的定義域為[m,n]，求y=fm≤g(x)≤n解出x的范圍，即為y=fg(x)]的定義域。永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)例若函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為。分析：由函數(shù)y=f(x)的定義域為可知：≤x≤2；所以y=f中有≤log2x≤2。解：依題意知：≤log2x≤2 解之，得2≤x≤4f2x的定義域為x|2≤f2x的定義域為x|2≤x≤411、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例求函數(shù)y=1的值域x2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=x2-2x+5，x∈[-1，2]的值域。3、判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進(jìn)行化簡，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細(xì)寫出來，希望大家能夠看懂a(chǎn).型：直接用不等式性質(zhì)b.型,先化簡，再用均值不等式d.y=型永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例求函數(shù)y=值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例求函數(shù)，y=的值域。2sinθ?ycosθ=1+y=1+y,即sin6、函數(shù)單調(diào)性法通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容例求函數(shù)y=2x?5+log3sx?1（2≤x≤10）的值域7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例求函數(shù)y=x+的值域。8數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點P（x.y）在圓x2+y2=1上，永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)的取值范圍(2)令y-2x=b,即y?2x?b=0,也是直線dd≤R例求函數(shù)的值域。上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當(dāng)點P在線段AB上時，當(dāng)點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為：[10，+∞)例求函數(shù)y=+2+1x?6x+132+4x+4x+5的值域解：原函數(shù)可變形為口上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2B（-2，-1）的距離之和，故所求函數(shù)的值域為[-，+∞)。例求函數(shù)的值域解：將函數(shù)變形為上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣由圖可知1）當(dāng)點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1,則構(gòu)成△ABP1,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，2626即：-2626即：-26綜上所述，可知函數(shù)的值域為軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使兩點A，B在x軸的同側(cè)。注：求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使兩點A，B在x軸的同側(cè)。3（a，b，c∈R+3（a，b，c∈R+求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求ab，a+b+c≥3積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：33≥3=xxx33≥3=xxxx+3-2xxx+3-2xxxxx+(3abc=xx(3-2x)(應(yīng)用公式3333(應(yīng)用公+(3abc=xx(3-2x)(應(yīng)用公式3333時時，應(yīng)注意使3者之和變成常數(shù)）倒數(shù)法有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況的值域例求函數(shù)的值域永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)x+2=0時，y=0:0≤y≤多種方法綜合運(yùn)用總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。12.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)年的錯誤，與到手的滿分失之交臂如：f=ex+x，求f(x). ∴f(t)=et2?1+t2?1∴f(x)=ex2?1+x2?13.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應(yīng)函數(shù)）求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？(①反解x；②互換x、y；③注明定義域）在更多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：(2004.全國理)函數(shù)y=·+1(x≥1)的反函數(shù)是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)當(dāng)然，心情好的同學(xué)，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現(xiàn)計算問題的話，答案還是可以做出來的?？上?，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習(xí)慣計算。下面請看一下我的思原函數(shù)定義域為x〉=1，那反函數(shù)值域也為y>=1.排除選項C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y>=1,則反函數(shù)定義域為x>=1,答案為B.我題目已經(jīng)做完了，好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？反函數(shù)性質(zhì)：1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的x對應(yīng)原函數(shù)中的y）2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的y對應(yīng)原函數(shù)中的x）3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y，x）關(guān)于直線y=x對稱①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04.上海春季高考）已知函數(shù)f(x)=log3，則方程f?1(x)=4的解x=.1對于這一類題目，其實方法特別簡單，呵呵。已知反函數(shù)的y,不就是原函數(shù)的x嗎？那代進(jìn)去阿，答案是不是已經(jīng)出來了呢？（也可能是告訴你反函數(shù)的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我15.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）①若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調(diào)；（①函數(shù)f(x)與f(x)＋c(c是常數(shù))是同向變化的永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)⑤函數(shù)f(x)與在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。增增增增增增減減//減增減//減減增減減（設(shè)u=?x2+2x，由u>0則0<x<2且log1u22?x+22u>>2216.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若f'(x)≤0呢？值是()A.0B.1C.2D.3永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) a a\3\3 aa17.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點對稱）若f(?x)=?f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱若f(?x)=f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱注意如下結(jié)論：（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)=0。如為奇函數(shù)，則實數(shù)a=(∵f(x)為奇函數(shù)，x∈R，又0∈R，∴f(0)=0，，又f(x)為奇函數(shù)，永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)判斷函數(shù)奇偶性的方法一、定義域法一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)..二、奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下，計算f(?x)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、復(fù)合函數(shù)奇偶性奇奇奇奇偶奇偶偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶18.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？），（答：f(x)是周期函數(shù)，T=2a為f(x)的一個周期）我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時說這個函數(shù)周期2t.推導(dǎo)：同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)關(guān)于直線對稱，對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a，x=b即f(a+x)=f(a?x)，f(b+x)=f(b?x)令t=2a?x,則2b?x=t+2b?2a,f(t)=f(t+2b?2a)即f(x)=f(x+2b?2a)所以,函數(shù)f(x)以2|b?a|為周期(因不知道a,b的大小關(guān)系,19.你掌握常用的圖象變換了嗎？f(x)與f(?x)的圖象關(guān)于y軸對稱聯(lián)想點（x,y）,(-x,y)f(x)與?f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱聯(lián)想點（x,y）,(x,-y)f(x)與?f(?x)的圖象關(guān)于原點對稱聯(lián)想點（x,y）,(-x,-y)f(x)與f?1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱聯(lián)想點（x,y）,(y,x)f(x)與f(2a?x)f(x)與?f(2a?將y=f(x)圖象的圖象關(guān)于直線x=a對稱聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,y)x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,0)?右移a(a>0)個單位y=f(x?a)（這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標(biāo)?？袋c和原點的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。）永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)注意如下“翻折”變換：f(x)??→|f(x)|把x軸下方的圖像翻到上面f(x)??→f(|x|)把y軸右方的圖像翻到上面y>y>y=log2x19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？(k<0)y(k>0)y=bO’(a,b)xxx=a（1）一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)(k為斜永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)f(x)=ax2+bx+c(一般式)f(x)=a(x?m)2+n(頂點式m，n）為頂點f(x)=a(x?x1)(x?x2)(x1,x2是方程的2個根）f(x)=a(x?x1)(x?x2)+h(函數(shù)經(jīng)過點（x1,h)(x2,h)應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程ax2+bx+c=0，1、x2為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點，也是二次不等式ax2+bx+c>0(<0)解集②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。fmax=f(m),fmin=f(n)fmax=f,ff區(qū)間在對稱軸2邊（n<?<m）③求區(qū)間定（動對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)yyA(a>0)>O>Okx1x2x一根大于k，一根小于k?f(k)<0f(m)f(n)<0由圖象記性質(zhì)注意底數(shù)的限定y1>>xx利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么均值不等式一定要注意等號成立的條件）y>>xOx永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯誤嗎？?p=a(M×N)=logaM+logaN(M>0，N>0)loga=logaM?logaN，logalogaM對數(shù)恒等式：alogax=xab=?logamlogab21.如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）如1）x∈R，f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。（先令x=y=0?f(0)=0再令y=?x，……）（2）x∈R，f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。（先令x=y=?t?f[(?t)(?t)]=f(t·t)∴f(?t)+f(?t)=f(t)+f(t)∴f(?t)=f(t)……）（對于這種抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=—x；求單調(diào)性：令x+y=x1幾類常見的抽象函數(shù)1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)f（xkx（k≠0）----------------ff（x±yf（x）±f（y）永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)2.冪函數(shù)型的抽象函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（xlogax（a>0且a≠1）------ff（x·yf（xf（yff（xf（y）5.三角函數(shù)型的抽象函數(shù)例1已知函數(shù)fff(x)>0，f(－1)=-2求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2fx1x1]＝f（x2－x1f（x1再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y2＝f（xf（y且當(dāng)x>0時，f(x)>2，f=5，求不等式f2a－2）<3的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1再求出f（13；最后脫去函數(shù)符號.例3已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有fff11，f（279，當(dāng)0f（1）判斷f（2）判斷f（x）在[0，+∞]上的單調(diào)性，并給出證明； （3）若a≥0且f39，求a的取值范圍.分析1）令y1；利用f（3）0≤a≤2.例4設(shè)函數(shù)ff對任何x和y，fff永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)（2）對任意值x，判斷f分析1）令x=y＝02）令y＝x≠0.例5是否存在函數(shù)f（x使下列三個條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋bff③f（2）＝4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，+∞)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x·yf（xf（yff（2）若f（xf（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析1）利用3＝1×3；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）.如果fg（b）是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f（am，f（bn，則g（ma，g（nb，進(jìn)而m＋n＝f（af（bf（abf[g（m）g（n）]….例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三個條件：1x1、x2是定義域中的數(shù)時 2f（a1（a＞0，a是定義域中的一個數(shù)ff（x）的奇偶性如何？說明理由；f（x）的單調(diào)性如何？說明理由.分析1）利用f[x1－x2）]f[（x1－x