2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測 數(shù)列（含解析）理

單元檢測（六）數(shù)列

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.[2024?江西五校聯(lián)考]在等差數(shù)列｛aj中，&=1,生=2,則公差d的值是（）

全

1111

A.一尹尹一產(chǎn)4

2.公比為2的等比數(shù)列｛a〃｝的各項都是正數(shù)，則a3a“=16,則（）

A.4B.5C.6D.7

3.[2024?蓉城名校高三聯(lián)考]若等差數(shù)列｛a｝的前〃項和為S,且&=20,a=6,則

a2的值為（）

A.OB.IC.2D.3

4.[2024?吉林長春模擬]已知等差數(shù)列｛aj的前〃項和為S,若&<0,Sz〉0,則在數(shù)

列中肯定值最小的項為（）

A.第5項B.第6項

C.第7項D.第8項

5.已知S為數(shù)列｛2｝的前〃項和,且log?（S+1）=〃+1,則數(shù)列｛aj的通項公式為（）

[3,77=1,

A.C2=2/7B.o.~\

/7n〔2",n，2

C.a0=2"—'D.a?=2n+l

/!+1

6.若數(shù)列｛若的通項公式是a=（―l）?（3/7—2）（77eN*）,則ai+a24----aa）/=

（）

A.-3027B.3027

C.-3030D.3030

7.[2024?廣東七校聯(lián)考]已知等差數(shù)列｛aj的前n項和為S?,劣+a=6,￡—&=3,

則S取得最大值時〃的值為（）

A.5B.6C.7D.8

8.[2024?山東青島模擬]設(shè)S是等差數(shù)列｛&｝的前〃項和，若a?=也I則s詈=（）

<->6O012

3111

A.-B,-C,-D.-

9.在數(shù)列｛a｝中，已知對隨意正整數(shù)有&+&+…+a=2"—1,則石；+1+…+

4=（）

A.(2°-l)2B.1(2"-1)2

J

C.4"-ID.g(4"-1)

10.［2024?湖北武漢部分重點中學(xué)聯(lián)考］等比數(shù)列｛aj的前〃項和為S,若對隨意的正

整數(shù)〃，$+2=45+3恒成立，則&的值為()

A.-3B.1

C.-3或ID.1或3

11.［2024?內(nèi)蒙古巴彥淖爾月考］定義上上為〃個正數(shù)",”…，的的

“均倒數(shù)”，已知數(shù)列｛a｝的前〃項的“均倒數(shù)”為白7?若6產(chǎn)中,則/廠+/廠+…

2/7+14bikbzbi

+—為()

biobn

±911

A11R1112

12.數(shù)列｛a｝滿意a=|,.J列訃*),若對〃￡N*,都有k>—+--\------成立，

Oo，n1Hl石2Hn

則最小的整數(shù)才是()

A.3B.4C.5D.6

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.在公差為2的等差數(shù)列｛aj中，a3-2a5=4,則a-2a7=.

14.已知等差數(shù)列｛cj的首項。=1,若｛2以+3｝為等比數(shù)列，則的海=.

15.已知數(shù)列｛&｝滿意遞推關(guān)系式d+尸22+2〃一1(〃GN*),且［2受j為等差數(shù)列，則

實數(shù)/的值是.

16.［2024?安徽五校檢測］設(shè)數(shù)列｛aj滿意&=5,且對隨意正整數(shù)〃，總有(a〃+i+3)(a〃

+3)=4a0+4成立，則數(shù)列｛aj的前2024項的和為.

三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

已知｛a〃｝為等差數(shù)列，M31+33=8,32+134=12.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)記｛aj的前〃項和為S,若a,ak,￡+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)A的值.

18.（本小題滿分12分）

已知由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列｛aj滿意ai=2,ai+a3+a5=42.

⑴求數(shù)列｛劣｝的通項公式；

（2）求as+ai+aeH------Faz”的值.

19.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛aj的前〃項和為Sn,S=〃2+〃+a+l（a為常數(shù)）.

⑴若a=2,求數(shù)列｛aj的通項公式；

（2）若數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，4=上＞，求數(shù)列｛4｝的前〃項和7；.

n?S+i

20.(本小題滿分12分)

已知“GN*,設(shè)S是單調(diào)遞減的等比數(shù)列｛aj的前〃項和，a2=(,且￡+a,&+&，&

+a,成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑵若數(shù)列｛4｝滿意4=—logza-—1),數(shù)列的前〃項和北滿意人

=2024,求實數(shù)4的值.

21.(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列｛&｝的各項均為正數(shù)，其前〃項和為S,且人因=a〃+l(〃GN*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

1

(2)記b?=,若61+益H---\-bn>l,求正整數(shù)〃的最小值.

y[an+yja?+i

22.（本小題滿分12分）

[2024?河南林州調(diào)研]已知數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，首項國=1,公比17〉0,其前“項和為

Sn,且S+ai,&+&,S+a2成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑵若數(shù)列伉｝滿意&+1=0bn,7；為數(shù)列｛4｝的前〃項和，若北三勿恒成立，求加的

最大值.

單元檢測（六）數(shù)列

1.答案：A

解析：方法一由*2,得k2a5,所以&+5d=2（&+4小又&=1,所以d=一

1

3-

方法二由a一a5=d,-=2,得as=d,因為as=&+4d,所以占4+44又a=,

所以＜7=—1.

2.答案：B

解析：因為a；=a3ali=16,且劣〉0,所以a?=4.因為公比g=2,所以&o=a7/=4><23

55

=2,所以log25io=log22=5.

3.答案：C

解析：1”備)=5as=20,解得as=4,依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有2a3=2+國,所

以及=2&—々=816=2.

4.答案：C

77(a+為)[513^0,]劭+〃13〈0,

解析:依據(jù)等差數(shù)列｛a｝的前n項和公式S尸—L、，因為L5所以,s

，t1512/0,[國十〃12〉0,

]助+為3=22,[*&<(),

由,I得I…所以數(shù)列｛2｝中肯定值最小的項為第7項.

[國+@12-36~\~3,7〔&十乃7〉0,

5.答案：B

解析：由log2(S+1)=〃+1,得S+l=2"i.當?shù)?1時，<31=51=3；當〃22時，an

f3,27=1,

=S—S—1=2".經(jīng)檢驗，4=3不符合上式，所以數(shù)列｛a｝的通項公式為a=J〃.

6.答案：A

解析：ai+a2H-----F32024=(ai+a2)+(as+a)H-------H(awn+32024)—(1-4)+(7

-10)H------F[(3X2017-2)-(3X2024-2)]=(-3)X1009=-3027.

7.答案：D

ai+5d+a1+7d=6,

解析：方法一設(shè)｛aj的公差為d,則由題意得,解得

ai+6d+ai+7d+ai+8d—3，

ai=15,

所以a=—2〃+17,因為a>0,a<0,所以S取得最大值時〃的值為8.

d=-2.

方法二設(shè)由的公差為”則由題意得，L[ai++5d+6ai+-7d+=6,8X，解得[kai=-15,2,

77(n—1)

則S=15〃+——-——X(-2)=-(77-8)2+64,所以當〃=8時，S取得最大值.

8.答案：A

解析：不妨令￡=1,則&=3.因為｛aj是等差數(shù)列，所以國,慶一S,￡—友,見一S

成等差數(shù)列.又&=1,&=3,￡—&=2,所以S—&=3,Sz—S=4.于是&=&+3=6,

CQ

512=5)+4=10,所以

9.答案：D

解析：由4+a2d-------a?=2"—1,

得ai+a2+…+a〃-i=2"1—1,

兩式作差可得a〃=2〃一20T=20T,

則a：=(2*T)2=2*2=41,又/=41=1,

故數(shù)列｛a：｝是首項為1,公比為4的等比數(shù)列.

IX(IT")1

結(jié)合等比數(shù)列前〃項和公式得a2：+富2+-+42=一=5?—I).

10.答案：C

解析：設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為。.當°=1時，S+2=(刀+2)si,Sn=nax.

由S+2=4S+3,得(刀+2)51=4/751+3,即32〃=2%一3.

若對隨意的正整數(shù)〃，3&〃=2&-3恒成立，則功=0且2Q—3=0,沖突,

所以gWl,于是S=&「),S「(,產(chǎn))

l~q1一0

代入S+2=4S+3并化簡，得a(4—/)0"=3+34—30.若對隨意的正整數(shù)刀，該等式

==

則有[4—二/=吁0,…,I<211,31-35

恒成立,解得由此可得31=1或-3.

⑦=2q=12

11.答案：C

771

解析：由已知得a-a-Ta廣向,ai+52H-----\-an=n(2〃+1)=S.當n

=1時，&=3；當〃22時，a=S—S-i=4〃-1.驗證知當?shù)?1時也成立,

a+1

??&=4z?1,??bn~~~=n-

念rUr???￡+表+…+￡=lH)+lH)+(H)+…+

12.答案：C

3+]-16

解析：由&=~一得Q，n(Qn-1)=a+1-19?2=三，??8?>1,

an—15

??4+1一1&(an-1)an-l^an-lan+i-V

?3+…+、C—上+上―4+…+C—

a\&an卜劭―13,2—1J卜色-1a3-lj\an-1an+i-ljai-l

]

2+1-1'

1,11111

;?一+--|--\--=5----------r<5.

色改ana+i—l

又對都有己+(+???+之成立,

???425.故最小的整數(shù)A是5.

13.答案：一2

解析：在公差為2的等差數(shù)列｛a｝中，/―2al=(&+d)—2(a+2d)=&-2與-3d

=4—3X2=-2.

14.答案：1

解析：設(shè)等差數(shù)列｛cj的公差為d,又。=1,則2a+3=5,2c2+3=24+5,2c3+3=

2

4d+5,由｛2c0+3｝為等比數(shù)列得(2ci+3)(2c3+3)=(2c2+3),貝lj5(4d+5)=(2d

+5)°,解得d=0,則C2O24=C1—1.

15.答案：-1

什/a”+a+i+4a〃+42a〃+2"-1+4a”+4a?\

解析：右彳一［■為等差數(shù)列，則一a》一--齊-=----產(chǎn)i--------------不「=歹+5+

［乙J乙乙乙乙乙乙

2—1A4A一1A

2〃+i之〃2^-5+-2〃+i2〃^^吊，即2〃+i5^=0，貝U4一1_24=0,解得幾=一

1.

16.答案：一835

_48?+4_a-5

解析:由(4+1+3)(a+3)=4a+4,得a+i劣+3°an+3,因為包=5,所以

5

勿=0,&=—§,々=-5,戊=5,所以數(shù)列｛4｝是以4為周期的周期數(shù)列，因為2024=504X4

555

+2,且@+勿+&+&=一可，即一個周期的和為一可，所以數(shù)列｛2｝的前2024項的和為一不

JJO

X504+5+0=—835.

17.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為4

2囪+2d=8,1&=2,

由題意知解得4

(a+d)+(a+3d)=12,[d=2.

則a=&+(77—1)d=2+2(77—1)=2n.

(2)由(1)可得4=2,an=2n,則S=-("；"，4=刀(刀+1).

若&,ak,￡+2成等比數(shù)列，則(2k)2=2(A+2)(A+3),

即42=2_^+104+12,解得A=6或A=—1(舍)，故A=6.

18.解析：(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為0,

[<31=2,

由彳可得2(1+/+04)=42,

[3，i-?&\a42,

由數(shù)列｛&｝各項為實數(shù)，解得，=4,g=±2.

所以數(shù)列｛aj的通項公式為&=2〃或&=(-1)

4(1-4")4

(2)當&?=2"時，/+叢+乃6+~+&〃=::-T(4"-1)；

i—4J

,(—4)?(1—4”)4

當a=(-1)1?2”時，功+2+為+…+::-T(1一4”).

n1—43

19.解析：(1)當3=2時，Sn=n+77+3.

當〃=1時，a=S=5；

當時，劣=SLSn-i=2n.

經(jīng)檢驗，功=5不符合上式，

[5,72=1,

故數(shù)列｛4｝的通項公式為劣=°

[2n,啟2.

(2)當?shù)?1時，4=5=3+乃；

當z?22時，a=S—S-1=2/7.

??,數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，??.3+a=2,解得〃=—1,

an=2n,Sn=n+n.

n2(77+1)______________2(刀+1)_____________2_______11

"nn?[(〃+l)2+??+1]n?(〃+l)(刀+2)n?(〃+2)n〃+2'

，—+…+b=1j+...+_1___X_+1__X_=!

J?！?/p>

〃+221n~\~2)

20.解析：(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為Q,

由2(&+a)=2+a+W+z5,得(&-&)+(S&—￡)+2a=a+含，

即4a=&,??Q=].

??,{&}是單調(diào)遞減數(shù)列，???°=；.

(2)由(1)得5〃=—log2出十幾方=(4+1)77—1,

,_J________________________1____________________

?bnbn+1[(4+1)n—1],[(4+1)(刀+1)—1]

=一______11[

A+(A+1)n—1(-A+1)(n-\-1)—1

2024

--L麗—2024,A=—1或A=

A(2024^+2024)

2024,?--L??4=2024,

=

21.解析：(1)由2yj~Sn3n~\~1f兩邊平方，得4S=(劣+1)。則4S+i=(a+i+1)

22

兩式相減，得4a+i=(a+i+l)—(a+1),整理得(為+i—1)2—(an-\-1)2=0,

即(&?+1+劣)(dn+\—a―2)=0.

因為a〉0