2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7.2定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-1.7.2定積分在物理中的應(yīng)用[目標(biāo)]1.能夠利用定積分求做變速直線運動的物體的位移和路程.2.學(xué)會利用定積分求變力做功問題.3.感受定積分在物理中的應(yīng)用，加深對定積分的相識．[重點]用定積分求做變速直線運動的物體的位移和路程．[難點]用定積分求變力做功問題．學(xué)問點一變速直線運動的路程[填一填]作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.[答一答]1．一輛汽車在1min內(nèi)的速度—時間曲線如圖所示，那么汽車的速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系式是什么？提示：v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t，0≤t≤10，,30，10<t<40，,－\f(3,2)t＋90，40≤t≤60.))2．上述問題中汽車在[0,10]，[10,40]，[40,60](單位：s)三個時段內(nèi)行駛的路程，用定積分分別如何表示？提示：eq\i\in(0,10,)3tdt；eq\i\in(10,40,)30dt；eq\i\in(40,60,)(－eq\f(3,2)t＋90)dt.3．假如v(t)的方向有正有負(fù)，怎樣表示t∈[a，b]時物體經(jīng)過的路程和位移？提示：路程可表示為s＝eq\i\in(a,b,)|v(t)|dt，位移可表示為s′＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.學(xué)問點二變力做功[填一填]1．恒力F的做功公式一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，假如物體沿著與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所做的功為W＝Fs.2．變力F(x)的做功公式假如物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動到x＝b(a<b)，那么變力F(x)所做的功為W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.[答一答]4．依據(jù)變力做功公式W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx，回答下列問題．(1)物理上進(jìn)行功的計算時，力、位移的單位是什么？相應(yīng)功的單位是什么？(2)計算變力做功時，力與位移的方向有什么關(guān)系？提示：(1)在一般情形下，力、位移的單位依次為N，m，功的相應(yīng)單位為J.在解題時單位肯定要統(tǒng)一．(2)力與位移的方向必需一樣．1．路程計算公式路程是位移的肯定值和，從時刻t＝a到時刻t＝b所經(jīng)過的路程：(1)若v(t)≥0，s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt；(2)若v(t)≤0，s＝－eq\i\in(a,b,)v(t)dt；(3)若在區(qū)間[a，c]上v(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上v(t)<0，則s＝eq\i\in(a,c,)v(t)dt－eq\i\in(c,b,)v(t)dt.2．求變力做功的方法(1)求變力做功，要依據(jù)物理學(xué)的實際意義，求出變力F的表達(dá)式，這是求功的關(guān)鍵．(2)由功的物理意義知，物體在變力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直線運動，使物體從x＝a移到x＝b(a<b)．因此，求功之前還應(yīng)求出位移起始位置與終止位置．(3)依據(jù)變力做功公式W＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx即可求出變力F(x)所做的功．類型一變速直線運動的路程【例1】A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站開往B站，電車開出ts后到達(dá)途中C點，這一段的速度為1.2tm/s，到C點的速度為24m/s，從C點到B點前的D點以等速行駛，從D點起先剎車，速度為(24－1.2t)m/s，經(jīng)ts后，在B點恰好停車，試求：(1)A、C間的距離；(2)B、D間的距離．【解】(1)設(shè)A到C的時間為t1，則1.2t1＝24，t1＝20(s)，則AC＝eq\i\in(0,20,)1.2tdt＝0.6t|2eq\o\al(20,0)＝240(m)．(2)設(shè)D到B的時間為t2，則24－1.2t2＝0，t2＝20(s)，則DB＝eq\i\in(0,20,)(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|eq\o\al(20,0)＝240(m)．求變速直線運動的路程、位移應(yīng)關(guān)注三點1分清運動過程中的改變狀況；2假如速度方程是分段函數(shù)，那么要用分段的定積分表示；3明確是求位移還是求路程，求位移可以正負(fù)抵消，求路程不能正負(fù)抵消.汽車以每小時36km的速度行駛，到某處須要減速停車，設(shè)汽車以加速度－2m/s2勻減速剎車，問起先剎車到停車，汽車行駛了多少千米？解：由題意，知v0＝36km/h＝10m/s.所以v(t)＝v0＋at＝10－2t，令v(t)＝0，則t＝5，則t＝5s時，汽車將停止，所以汽車由剎車到停車行駛的路程s＝eq\i\in(0,5,)v(t)dt＝eq\i\in(0,5,)(10－2t)dt＝(10t－t2)|eq\o\al(5,0)＝25(m)＝0.025(km)．類型二變力做功【例2】設(shè)有一根長25cm的彈簧，若加以100N的力，則彈簧伸長到30cm，又已知彈簧伸長所須要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由25cm伸長到40cm所做的功．【思路分析】先求出拉力F(x)，然后再求功．【解】設(shè)x表示彈簧伸長的量(單位：m)，F(xiàn)(x)表示加在彈簧上的力(單位：N)．由題意F(x)＝kx，且當(dāng)x＝0.05m時，F(xiàn)(0.05)＝100N，即0.05k＝100，∴k＝2000，∴F(x)＝2000x.∴將彈簧由25cm伸長到40cm時所做的功為W＝eq\i\in(0,0.15,)2000xdx＝1000x2eq\o\al(0.15,0)＝22.5(J)．(1)變力做功問題，首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵一步．(2)依據(jù)變力做功的公式，將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題．一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向運動，力—位移曲線如圖所示．求該物體從x＝0處運動到x＝4(單位：m)外力F(x)做的功．解：由力—位移曲線可知F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，0≤x≤2,3x＋4，2<x≤4))，因此該物體從x＝0處運動到x＝4處力F(x)做的功為W＝eq\i\in(0,2,)10dx＋eq\i\in(2,4,)(3x＋4)dx＝10x|eq\o\al(2,0)＋(eq\f(3,2)x2＋4x)|eq\o\al(4,2)＝46(J)．正確區(qū)分變速直線運動的位移與路程【例3】有一動點P沿x軸運動，在時間t的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一樣)．求(1)P從原點動身，當(dāng)t＝3時，求離開原點的路程；(2)當(dāng)t＝5時，P點的位置；(3)從t＝0到t＝5時，點P經(jīng)過的路程；(4)P從原點動身，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值．【思路分析】首先要確定的是所要求的是路程還是位移，然后用相應(yīng)的方法求解．【解】(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即當(dāng)0≤t≤4時，P點向x軸正方向運動，t>4時，P點向x軸負(fù)方向運動．故t＝3時，點P離開原點的路程s1＝∫eq\o\al(3,0)(8t－2t2)dt＝(4t2－eq\f(2,3)t3)|eq\o\al(3,0)＝18.(2)s2＝∫eq\o\al(5,0)(8t－2t2)dt＝(4t2－eq\f(2,3)t3)|eq\o\al(5,0)＝eq\f(50,3).∴點P在x軸正方向上距原點eq\f(50,3)處．(3)s3＝∫eq\o\al(4,0)(8t－2t2)dt－∫eq\o\al(5,4)(8t－2t2)dt＝(4t2－eq\f(2,3)t3)|eq\o\al(4,0)－(4t2－eq\f(2,3)t3)|eq\o\al(5,4)＝26.(4)依題意∫eq\o\al(t,0)(8t－2t2)dt＝0，即4t2－eq\f(2,3)t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0對應(yīng)于P點剛起先從原點動身的狀況，t＝6是所求的值．【解后反思】(1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．(2)路程是位移的肯定值之和，因此在求路程時，要先推斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號不定，應(yīng)求出訪速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間，然后分別計算，否則會出現(xiàn)計算失誤．一點在直線上從時刻t＝0s起先以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運動，求：(1)在t＝4s時的位置；(2)在t＝4s時運動的路程．解：(1)在時刻t＝4s時該點的位置為：eq\i\in(0,4,)(t2－4t＋3)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(4,0)＝eq\f(4,3)(m)，即在t＝4s時該點距離動身點eq\f(4,3)m.(2)因為v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在區(qū)間[0,1]和[3,4]上v(t)≥0，在區(qū)間[1,3]上v(t)≤0，所以在t＝4s時運動的路程為：1．做直線運動的質(zhì)點在隨意位置x處，所受的力F(x)＝1＋ex，則質(zhì)點沿著與F(x)相同的方向，從點x1＝0處運動到點x2＝1處，力F(x)所做的功是(B)A．1＋eB．eC.eq\f(1,e)D．e－1解析：所做的功W＝eq\i\in(0,1,)F(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(1＋ex)dx＝(x＋ex)|eq\o\al(1,0)＝e.2．物體以速度v(t)＝2－t做直線運動，則它在t＝1到t＝3這段時間的路程為(B)A．0B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)解析：當(dāng)t∈[1,2]時，v(t)≥0，t∈[2,3]時，v(t)≤0，故路程為.3．假如1N力能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，所耗費的功為0.18_J.解析：設(shè)F(x)＝kx，當(dāng)F＝1N時，x＝0.01m，∴k＝eq\f(1,0.01)＝100，即F(x)＝100x，于是拉長6cm所耗費的功為W＝eq\i\in(0,0.06,)F(x)dx＝eq\i\in(0,0.06,)100xdx＝50x2eq\o\al(0.06,0)＝0.18(J)．4．質(zhì)點做直線運動，其速度v(t)＝t2－2t＋1(單位：m/s)，則它在第2秒內(nèi)所走的路程為eq\f(1,3)