2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)四含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE14-單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(四)(第五章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分，共40分)1.若集合M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}，則 ()A.M=N B.MNC.MN D.M∩N=?【解析】選C.M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}={x|x=(k+2)·45°，k∈Z}.因?yàn)閗∈Z，所以k+2∈Z，且2k+1為奇數(shù)，所以MN.2.已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由tanα<0，cosα<0，所以角α的終邊在其次象限.3.已知cosQUOTE=-QUOTE，且α是第四象限角，則cos(-3π+α)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.±QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.因?yàn)閏osQUOTE=sinα，所以sinα=-QUOTE.又α為第四象限角，所以cosα=QUOTE=QUOTE，所以cos(-3π+α)=cos(π-α)=-cosα=-QUOTE.4.設(shè)a=QUOTE(sin17°+cos17°)，b=2cos213°-1，c=sin37°·sin67°+sin53°sin23°，則 ()A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c【解析】選A.a=cos45°sin17°+sin45°cos17°=sin62°，b=cos26°=sin64°，c=sin37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°，故c<a<b.5.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0，0≤|φ|≤QUOTE的圖象(部分)如圖所示，則ω和φ的取值是 ()A.ω=1，φ=QUOTE B.ω=1，φ=-QUOTEC.ω=QUOTE，φ=QUOTE D.ω=QUOTE，φ=-QUOTE【解析】選C.由題中圖象知，T=4QUOTE=4π=QUOTE，所以ω=QUOTE.又當(dāng)x=QUOTE時(shí)，y=1，所以sinQUOTE=1，QUOTE+φ=2kπ+QUOTE，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，φ=QUOTE.6.(2024·內(nèi)江高一檢測(cè))已知α，β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3，4)，sin(α+β)=QUOTE，則cosβ= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE或QUOTE【解析】選B.α，β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3，4)，所以sinα=QUOTE，cosα=QUOTE，sin(α+β)=QUOTE<sinα，所以α+β為鈍角，所以cos(α+β)=-QUOTE=-QUOTE，則cosβ=cosQUOTE=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.7.函數(shù)y=2sinQUOTE(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為 ()A.2-QUOTE B.0C.-1 D.-1-QUOTE【解析】選A.因?yàn)?≤x≤9，所以-QUOTE≤QUOTEx-QUOTE≤QUOTE，-QUOTE≤sinQUOTE≤1，所以-QUOTE≤2sinQUOTE≤2.所以函數(shù)y=2sinQUOTE(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為2-QUOTE.8.(2024·荊州高一檢測(cè))設(shè)f(x)=asin2x+bcos2x(a，b∈R，ab≠0)，若f(x)≤QUOTE對(duì)一切x∈R恒成立，給出以下結(jié)論：①fQUOTE=0；②QUOTE=QUOTE；③f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是QUOTE(k∈Z)；④函數(shù)y=f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；⑤存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 【解析】選C.因?yàn)閒(x)=asin2x+bcos2x=QUOTEsin(2x+θ)，由f(x)≤QUOTE對(duì)一切x∈R恒成立，可得fQUOTE為函數(shù)f(x)的最大值或最小值，所以2×QUOTE+θ=kπ+QUOTE(k∈Z)，所以θ=kπ-QUOTE(k∈Z)，所以令f(x)=asin2x+bcos2x=QUOTEsin2x-QUOTE，或f(x)=QUOTEsinQUOTE.經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證①②正確.③f(x)的單調(diào)性分狀況探討知③錯(cuò)誤；④明顯f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故④正確；⑤因?yàn)?QUOTE≤a≤QUOTE，-QUOTE≤b≤QUOTE，所以不存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交，故⑤錯(cuò)誤.二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9.有下列四種變換方式，其中能將正弦曲線y=sinx的圖象變?yōu)閥=sinQUOTE的圖象的是 ()A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE，再向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE，再向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度【解析】選BC.A.y=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE，再向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=sin2x+QUOTE=sinQUOTE，故A不正確；B.y=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE，再向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=sinQUOTE=sinQUOTE，故B正確；C.y=sinx向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE，得y=sinQUOTE，故C正確；D.y=sinx向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE，得y=sinQUOTE，故D不正確.10.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)ω>0，QUOTE<QUOTE在x=-QUOTE時(shí)取最大值，與之最近的最小值在x=QUOTE時(shí)取到，則以下各式可能成立的是 ()A.f(0)=QUOTE B.fQUOTE=0C.fQUOTE=-1 D.fQUOTE=1【解析】選AC.設(shè)函數(shù)fQUOTE的周期為T，則QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE，所以T=QUOTE=π，即ω=2.又fQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=1，QUOTE<QUOTE，所以φ=QUOTE，即fQUOTE=cosQUOTE，所以fQUOTE=QUOTE，fQUOTE=-QUOTE，fQUOTE=-1，fQUOTE=QUOTE，故選AC.11.已知函數(shù)f(x)=sinQUOTE，那么下列式子恒成立的是 ()A.f(x+2π)=f(x-2π) B.fQUOTE=f(x)C.fQUOTE=f(x) D.fQUOTE=-f(x)【解析】選AB.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinQUOTE，所以f(x+2π)=sinQUOTE，f(x-2π)=sinQUOTE=sinQUOTE，故A成立.所以fQUOTE=sinQUOTE=-sinQUOTE=sinQUOTE，故B成立.又fQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE≠f(x)，故C不成立.又fQUOTE=sinQUOTE=cosQUOTE≠f(x)，故D不成立.12.若函數(shù)g(x)=asinxcosx(a>0)的最大值為QUOTE，則函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對(duì)稱軸方程為 ()A.x=0 B.x=-QUOTEC.x=-QUOTE D.x=QUOTE【解析】選BD.g(x)=QUOTEsin2x(a>0)的最大值為QUOTE，所以a=1，故f(x)=sinx+cosx=QUOTEsinQUOTE，令x+QUOTE=QUOTE+kπ，k∈Z得x=QUOTE+kπ，k∈Z.三、填空題(每小題5分，共20分)13.(2024·上海高一檢測(cè))已知扇形的半徑為6，圓心角為QUOTE，則扇形的面積為_(kāi)______.

【解析】依據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式可得l=αr=QUOTE×6=2π，依據(jù)扇形的面積公式可得S=QUOTElr=QUOTE·2π·6=6π.答案：6π14.已知α滿意sinα=QUOTE，那么cosQUOTEcosQUOTE-α的值為_(kāi)______.

【解析】因?yàn)閏osQUOTE=cosQUOTE=sinQUOTE，所以cosQUOTEcosQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcos2α=QUOTE(1-2sin2α)=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE15.設(shè)x∈(0，π)，則f(x)=cos2x+sinx的最大值是_______.

【解析】因?yàn)閒(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-QUOTE+QUOTE.又因?yàn)閤∈(0，π)，所以0<sinx≤1，所以當(dāng)sinx=QUOTE時(shí)，f(x)的最大值是QUOTE.答案：QUOTE16.已知cos(π+α)=-QUOTE，QUOTE<α<2π，則cosα=_______，sin(2π-α)=_______.

【解析】由cos(π+α)=-QUOTE，得-cosα=-QUOTE，則cosα=QUOTE；又QUOTE<α<2π，所以sin(2π-α)=-sinα=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTEQUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-1，2).(1)求sinα，tanα.(2)求QUOTE.【解析】(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P(-1，2)，所以|OP|=QUOTE.則sinα=QUOTE=QUOTE，tanα=-2.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-5.18.(12分)已知α，β為銳角，sinα=QUOTE，cos(α+β)=QUOTE.(1)求sinQUOTE的值；(2)求cosβ的值.【解析】(1)因?yàn)棣翞殇J角，sinα=QUOTE，所以cosα=QUOTE=QUOTE，所以sinQUOTE=sinαcosQUOTE+cosαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)因?yàn)棣粒聻殇J角，所以α+β∈(0，π)，由cos(α+β)=QUOTE，得sin(α+β)=QUOTE=QUOTE，所以cosβ=cosQUOTE=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.19.(12分)已知函數(shù)y=3sinQUOTE.(1)用“五點(diǎn)法”在坐標(biāo)系中作出上述函數(shù)在QUOTE上的圖象.(2)請(qǐng)描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)y=sinx怎樣變換而來(lái)？【解析】(1)因?yàn)閤∈QUOTE，所以2x-QUOTE∈QUOTE.列表如下：x2x-QUOTE0π2πy=3sinQUOTE030-30描點(diǎn)、連線，得出所要求作的圖象如圖：(2)第一步：把y=sinx的圖象向右平移QUOTE個(gè)單位，可得y=sinQUOTE的圖象；其次步：把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的QUOTE，縱坐標(biāo)不變，可得y=sinQUOTE的圖象；第三步：把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變，可得y=3sinQUOTE的圖象.(答案不唯一)20.(12分)已知函數(shù)f(x)=QUOTEcosQUOTE，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對(duì)稱中心；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上的最小值和最大值，并求出取得最值時(shí)x的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=QUOTEcosQUOTE，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=QUOTE=π.由2x-QUOTE=QUOTE+kπ，k∈Z，所以2x=QUOTE+kπ，k∈Z，所以x=QUOTE+QUOTEπ，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為QUOTE，k∈Z.(2)因?yàn)閒(x)=QUOTEcosQUOTE在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增，在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減，又fQUOTE=0，fQUOTE=QUOTE，fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=-QUOTEcosQUOTE=-1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上的最大值為QUOTE，此時(shí)x=QUOTE；最小值為-1，此時(shí)x=QUOTE.21.(12分)港口一天內(nèi)的水深y(單位：米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：時(shí))的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t/時(shí)03691215182124y/米10139.97101310.1710依據(jù)表中數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦型函數(shù)y=Asinωt+B(A>0，ω>0)的圖象.(1)試依據(jù)數(shù)據(jù)和曲線，求出y=Asinωt+B的解析式；(2)一般狀況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是平安的，假如某船的吃水度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠平安進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天平安離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？(【解析】(1)從擬合的曲線可知，函數(shù)y=Asinωt+B的一個(gè)周期為12小時(shí)，因此ω=QUOTE=QUOTE.又因?yàn)閥min=7，ymax=13，所以A=QUOTE(ymax-ymin)=3，B=QUOTE(ymax+ymin)=10.所以函數(shù)的解析式為y=3sinQUOTEt+10(0≤t≤24).(2)由題意知，水深y≥4.5+7，即y=3sinQUOTEt+10≥11.5，t∈QUOTE，所以sinQUOTEt≥QUOTE，所以QUOT