2024年廣東省肇慶市某中學高考數(shù)學模擬試卷（附答案解析）

2024年廣東省肇慶市香山中學高考數(shù)學仿真試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.(5分)已知集合4={訃：2-2%>0},^={x|-V5<x<V5},則()

A.AUB=RB.ACB=0C.BEAD.AQB

2X,x>0

2.（5分）已知函數(shù)/（%）=，則/(-3)=(

/(%+2),%<0

A.1B.2C.4D.8

/y2

3.（5分）已知雙曲線/一言=l（a〉0,b〉0）的一條漸近線與直線第+百丫-4=0垂直，則該雙曲線

的離心率為（）

2V34

A.——B.-C.2D.4

33

4.（5分）已知等比數(shù)列｛即｝的前三項和為56,02-。5=14,貝I」。8=（）

11

A.4B.27D.-

4

―>

5.（5分）如圖，在平行四邊形/BCD中，"為5c的靠近點C的三等分點，/C與必）相交于點尸，若AP=

—>T

2934

A.-B.—CyD.-

3169

6.（5分）核酸檢測分析是用熒光定量尸CR法，通過化學物質的熒光信號，對在尸CR擴增進程中成指數(shù)

級增加的靶標QM4實時監(jiān)測，在尸CE擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閾值時，。犯4的數(shù)量為,

與擴增次數(shù)〃滿足位的=噸（ltP）+/鄉(xiāng)心，其中夕為擴增效率，8為QM4的初始數(shù)量.已知某被測標

本DNA擴增10次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴增效率P約為（）（參考數(shù)據(jù)：10°2

-1.585,10°-2^0.631)

A.0.369B.0.415C.0.585D.0.631

7.（5分）已知函數(shù)/（%）=2siv2（jL）x+Bsi九23%（3〉0）在（0,冗）上恰有兩個零點，則3的取值范圍是（）

22

A.6，1]B.(1，1]C.冷1)D.[1，|)

第1頁（共16頁）

8.（5分）若制作一個容積為目的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的

高是（）

A.V2B.2C.V6D.4

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（）

,常住人口/萬

736.00

740.00

730.00

720.00

710.00

700.00

690.00

680.00

670.00

A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬

B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢

C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為703.54萬

D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬

（多選）10.（6分）已知拋物線C：產=4》的焦點為產，準線為/,過拋物線C上一點尸作/的垂線，垂

足為。，則下列說法正確的是（）

A.準線/的方程為苫=-1

B.若過焦點下的直線交拋物線C于/（xi，月），B（X2,竺）兩點，且XI+X2=6,則|48|=7

C.若E（2,1）,則|PE|+|P同的最小值為3

D.延長尸尸交拋物線C于點若|PF|=*貝l]|PM|=￥

（多選）11.（6分）已知定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（x+2）+f（x）=0,且y=/（2-x）為偶函數(shù)，

則下列說法一定正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的周期為2

B.函數(shù)/G）的圖象關于（1,0）對稱

C.函數(shù)/G）為偶函數(shù)

第2頁（共16頁）

D.函數(shù)/(x)的圖象關于x=3對稱

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)已知復數(shù)z=l+ai(a€R),且z(2+3z)為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則a=

13.(5分)安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學生，

則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為.

14.(5分)在△48C中，內角B,C所對的邊分別為a,b,c,己知6cosc+ccosB=4acos/,若S為4

S

4BC的面積，則”的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.某校高三年級1000名學生的高考適應性演練數(shù)學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間

是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].

(1)求圖中。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位

數(shù)；

(2)從這次數(shù)學成績位于[50,70),[70,90)的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方.法抽取9

人,再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間[70,90)的人數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學

22V3L

16.已知橢圓C；r,+v方=l(a>b>0)的禺心率為焦距為2圓

(1)求C的方程；

(2)若斜率為-?^的直線/與橢圓C交于尸，0兩點(點尸，。均在第一象限)，。為坐標原點.證明:

直線。尸，PQ,O。的斜率依次成等比數(shù)列.

1

17.如圖，在三棱臺ABC-421cl中，AC±AB,平面人平面4BC,AAr=A1B1=BBr=^AB=1.

(I)證明：A4i_L平面/CCi/i；

V3

(II)若三棱錐/i-ABC的體積為三，求平面ACCiAi與平面BCC\B\的夾角的余弦值.

第3頁(共16頁)

18.設S”為數(shù)列｛即｝的前〃項和，已知公=4,S4=20,且*｝為等差數(shù)列.

(1)求證：數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛6〃｝滿足61=6,且滬=旦-,設6為數(shù)列｛瓦｝的前一項和，集合M=｛〃]〃€%*｝,

求M(用列舉法表示).

19.設定義在R上的函數(shù)/■(x)="-ax(aCR).

(1)若存在xoe[l,+8),使得/(xo)<e-a成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)定義：如果實數(shù)s,/,廠滿足|s-1那么稱s比f更接近八對于(1)中的a及問:

工和盧r+a哪個更接近歷x?并說明理由.

第4頁(共16頁)

2024年廣東省肇慶市香山中學高考數(shù)學仿真試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的

1.（5分）已知集合4={x|/-2x>0},5={x|-V5<x<V5},貝！I（）

A.A^B=RB.AHB=0C.BQAD.AUB

【解答】解：由《中不等式變形得：xG-2）>0,

解得：x<0或x>2,即/={x|x<0或x>2},

，：B={x\-45<x<y/5},

.*./08=任|一瓶<￥<0或2〈工<代},AUB=R,

故選：A.

2X%〉0

-"，則/（-3）=（）

{/（久+2）,x<0

A.1B.2C.4D.8

'2X,x>0

【解答】解:f（久）=

/(久+2),%<0

則/(-3)=/(-2)=/(1)=21=2.

故選：B.

XVL

3.（5分）已知雙曲線二—三=l（a>0,6>0）的一條漸近線與直線工+遮丫-4=0垂直，則該雙曲線

的離心率為（)

2V34

A.——B.-C.2D.4

33

【解答】解：雙曲線※—卷=l（a>0,b>0）的一條漸近線設為>=%,

b

一條漸近線與直線X+V3y-4=0垂直，可得一=0

a

則雙曲線的離心率為e=~=J1+,=V1+3=2,

故選：C.

4.（5分）已知等比數(shù)列{斯}的前三項和為56,ai-<25=14,則Q8=（）

11

A.4B.2C.一D.

24

第5頁（共16頁）

【解答】解：設等比數(shù)列｛斯｝的公比為公

等比數(shù)列｛斯｝的前三項和為56,42-。5=14,

%(1+q+q2)=56—32

則,解得

3

a^q(l—q)=14q弓

11

77

故〃8=ctrq=32X(2)=不

故選：D.

―>

5.（5分）如圖，在平行四邊形/BCD中，M為5C的靠近點C的三等分點，NC與必）相交于點尸，若AP=

—>—>

+yAD,則孫=()

34

7D.-

9

【解答】解：??,平行四邊形45C。中，M為5c的靠近點。的三等分點，4C與V。相交于點尸，

APAD

??——D,

PCCM

—>Q—>Q—>—>O—>O—>—>—>—>

.?.4P=34C=NG4B+AD）=[AB+IAD,又力P=xAB+yAD,

4444

.39

..x=y=^,xy=^.

故選：B.

6.（5分）核酸檢測分析是用熒光定量PCT?法，通過化學物質的熒光信號，對在尸CR擴增進程中成指數(shù)

級增加的靶標ZW實時監(jiān)測，在PQ?擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閾值時，ON4的數(shù)量4”

與擴增次數(shù)〃滿足（1+p）+lgXo,其中p為擴增效率，劉為。N4的初始數(shù)量.已知某被測標

本。N4擴增10次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴增效率p約為（）（參考數(shù)據(jù)：10°2

-1.585,10°-2^0.631）

A.0.369B.0.415C.0.585D.0.631

【解答】解：由題意可知，lg（lOOXo）=10/g（1+p）+lgXo,即2+/gX）=10/g（1+p）+lgXo,

.?.l+p=10°-2??1.585,解得/仁0.585.

故選：C.

7.（5分）已知函數(shù)/（久）=2sin2cox+V^s譏23x（3〉0）在（0,n）上恰有兩個零點，則3的取值范圍是（）

第6頁（共16頁）

2，25

A.6，1]B.(1j]C.[可，1)D.[1,9)

【解答】解：由題意，函數(shù)/(x)=1-cos2a)x+V3sin2a)x=l+2sin(2u)x—^),

令/(x)=0,即sin(2cox—4)=一彳

且G)>0,**.一石V2oox—3V2OOTC一石,

又函數(shù)/G)在(0,n)上恰有兩個零點,

所以T<2am弋197r

解得1<3W*

故選：B.

8.(5分)若制作一個容積為三■的圓錐形無蓋容器(不考慮材料的厚度)，要使所用材料最省，則該圓錐的

高是()

A.V2B.2C.V6D.4

【解答】解：根據(jù)題意，設該圓錐的高為心底面圓的半徑為八

147r4

則171T2%_從而/〃=4,變形可得M

該圓錐的側面積S=-2nr-V/i2+r2=7iy/(h2+r2)r2=TC

令f(h)=4h+信d>0)=/'(h)=4—第=4(宇)，

九3_g

易知於(0,2)時，——<0,f(〃)<0,/(/z)單調遞減,

h

九3_g

he(2,+8)時，---->0,f(A)>0,f(h)單調遞增，

h

則當為=2時，/(A)取得最小值；

所以要使所用材料最省，則該圓錐的高是2.

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

(多選)9.(6分)廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則()

第7頁(共16頁)

本常住人口/萬

736.00

740.00

730.00

720.00

710.00

700.00

690.00

680.00

670.00

A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬

B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢

C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為703.54萬

D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬

【解答】解：由圖可知,湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為736.00-698.12-38（萬）,

A正確；

這6年的常住人口前3年呈遞增趨勢，后三年也遞增，但后三年的常住人口低于前3年，8錯誤；

湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12,703.09,703.54,730.50,

732.20,736.00,

70354+73050

6X0.6=36所以第60百分位數(shù)為730.50萬，中位數(shù)為-------------=717.02（萬），C錯誤，。均

正確.

故選：AD.

（多選）10.（6分）已知拋物線C：產=4》的焦點為廠，準線為/,過拋物線C上一點尸作/的垂線，垂

足為。，則下列說法正確的是（）

A.準線/的方程為工=-1

B.若過焦點下的直線交拋物線C于/（XI，yi）,B（X2,/）兩點，且XI+X2=6,則|48|=7

C.若E（2,1）,則|尸耳+|尸尸|的最小值為3

D.延長尸歹交拋物線C于點跖若|PF|=*貝IJ|PM|=￥

【解答】解：因為拋物線C的方程為爐=4x,所以p=2,所以準線/的方程為x=—芻=—1,/正確；

由題意可知|4B|=xi+x2+p=6+2=8,2錯誤；

由拋物線C上的點到焦點廠與到準線的距離相等可知|尸耳+『尸|=|尸。

第8頁（共16頁）

所以當。，P,￡三點共線時，|尸￡|+干尸|取得最小值,

即為點E到準線的距離，所以最小值為3,C正確;

如圖所示，不妨設P在第一象限，過P作軸于點

過M作軸于點N,

過M作準線/的垂線，垂足為D,

設準線與X軸的交點為G,則凹=股|=聿2

\FG\=2,\FH\=^,\FM\=\MD\,\FN\=\DM\-\FG\=\FM\

-2,

42

Ipi7\IJ-fI7\

易知叢PHFsAMNF,則有扁=溫，即,33,解得MF|=4,^\\MP\=\MF\+\PF\=^

\MF\\MF\-2

D正確.

(多選)11.(6分)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+2)+f(x)=0,且y=/(2-x)為偶函數(shù),

則下列說法一定正確的是()

A.函數(shù)f(x)的周期為2

B.函數(shù)/G)的圖象關于(1,0)對稱

C.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)

D.函數(shù)/(x)的圖象關于x=3對稱

【解答】解：因為/G)的定義域為R,且/(x+2)+fCx)=0,

所以/G+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以函數(shù)/(x)的周期為4,故/錯誤;

又因為y=/(2-x)為偶函數(shù),

第9頁(共16頁)

所以/(2-x)=/(2+x),

所以/(x)的圖象關于x=2對稱，故。錯誤；

所以/(2-x)=/(2+x)=-f(x),

所以/(x)的圖象關于(1,0)對稱，故3正確；

由/(2-x)=f(2+x),可得/(-x)=/(4+x)=f(x),

所以/(x)為R上的偶函數(shù)，故C正確.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.(5分)已知復數(shù)z=l+ai(aCR),且z(2+3z)為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則a=

【解答】解：依題意，z(2+3z)=(I+ai)(2+3z)=(2-3a)+(2a+3)i為純虛數(shù)，

所以心算】解得a]

故答案為：3

13.(5分)安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學生，

則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為一?！?

【解答】解：5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，

當分為3,1,1人時，有2題=60種實習方案，

C2c2

當分為2,2,1人時，有安?吊=90種實習方案，

所以共有60+90=150種實習方案，

其中甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有嗎用+《用=36種，

故大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為二；=《.

15025

故答案為：白.

14.(5分)在中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知6cosc+ccos3=4acos/,若5為4

S,V15

48C的面積，則-7的最大值為■一.

a乙12

【解答】解：由題設及正弦定理邊角關系，sin5cosc+sinCcos5=4siiL4cos4,

即sin(B+C)=4siih4cos4,而/+5+C=n,故sirU=4sirUcos4,

-i

又siih4W0,則cosZ=4,故sinZ=7—,

第10頁(共16頁)

而次=fo2+c2—2bccosA=b2+c2—ihc,S=^bcsinA=."灰,

ZZo

?,SV15bcV15bcV15

所以=---5---5-------<------------當且僅當b=c時等號成立,

a28(b2+c2)-4bc16bc—4bc12

故多的最大值為:當.

az12

故答案為：吟.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.某校高三年級1000名學生的高考適應性演練數(shù)學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間

是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].

(1)求圖中。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位

數(shù)；

(2)從這次數(shù)學成績位于[50,70),[70,90)的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方.法抽取9

人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間[70,90)的人數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學

期望.

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.0025+0.0075+0.015X2+2。)X20=l,

解得a=0.005.

前4個矩形面積之和為(0.0025+0.0075+0.015X2)X20=0.8,

前5個矩形面積之和為0.8+0.005X20=0.9.

設這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位數(shù)為m,

則0.8+(??-110)XO.OO5=O.85,解得，加=120,

所以這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位數(shù)為120.

(2)數(shù)學成績位于[50,70),[70,90)的學生人數(shù)之比為：0.0075：0.015=1：2,

所以所抽取的9人中，數(shù)學成績位于[50,70)的學生人數(shù)為9x/=3人，

數(shù)學成績位于[70,90)的學生人數(shù)為9義|=6人，

第11頁(共16頁)

由題意可知，隨機變量X的可能取值有0,1,2,3,

「31rlr2&

則尸（X=0）=者=京，P（X=l）=甘=/，

P---15p（Y—3）_琮_5

P（X-2）一可一而，P（X-3）-^3-21-

所以X的分布列為:

X0123

P13155

84142821

1315s

E（X）=0x甌+1XR+2X函+3x五=2-

22V3一

16.已知橢圓C：r次+v方=l（a〉Z?〉0）的離心率為三，焦距為2技

（1）求。的方程；

（2）若斜率為-★的直線/與橢圓。交于P,。兩點（點P,。均在第一象限），。為坐標原點.證明:

直線OP,PQ,。。的斜率依次成等比數(shù)列.

【解答】解；（1）由題意可得$=李百，解得｛:二窯，

又b2=a2-。2=1,

所以橢圓方程為了+/=1.

4

1

（2）證明：設直線/的方程為y二一訝％+血，P（Xi，yi），Q（12,>2）,

（1,

y=-jx+m

2

由，2，消去y，得f-2加x+2（m-1）=0,

信+y2=i

222

貝!J△=4加2-8（m-1）=4（2-m）>0且XI+%2=2加>0,x1x2=2（m—l）>0,

故VU2=（―9%i+加）（一±%2+加）=_、（（％]+%2）+館？=1，

koPkoQ=m=軸一如巧+0+加另

2%1%2xlx24PQ

即直線OP,PQ,。。的斜率依次成等比數(shù)列.

1

17.如圖，在三棱臺ABC-NLBCI中，/C_L4B,平面ABBE_L平面ABC,A&=A1B1=BBr==1.

（I）證明：R4i_L平面/CCi/i；

V3

（II）若三棱錐/i-ABC的體積為w，求平面ACCiAi與平面BCCiBi的夾角的余弦值.

第12頁（共16頁）

【解答】證明：（I）如圖所示，在等腰梯形中，連接A41,

又=A1B1=BB1=^AB=1,

可以解得=遮，

在三角形加小中，411=1,

：.BAi±AAi,

又：平面ABB1/1_1_平面ABC,

且平面ABBiAiQ平面ABC=AB,

AC±AB,且平面ZCCMi，

，/C_L平面：.BAi±AC.

又S.AC,Mu平面/CCi/i，

平面NCCi/i.

解：（II）由（I）可知，VAx-ABC—^C-ABAr'

.11/-V3

.x—x1XA/3xAC=—，AC=3,

32v2

以/為原點，以NC,48為x,y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系/-平.

可得C（3,0,0）,8（0,2,0）,4（0,字），8式0,電）.

易知平面/CC1/1的一個法向量為=（0,-|,年），

設平面BCCLBI的法向量為￡=（X,y,z）,

又..?品=（3,-2,0）,麗=（0,-1,

（TT1J?

71,BB1=-,Qy4—Q-Z=0，

由《NN

、幾?BC=3x—2y=0/

'%=2

令z=V3,解得平面BCC\Bx的一個法向量為-y=3,

z=V3

即：71=（2,3/V3）,

第13頁（共T6頁）

—T

?YD募t、BA^n1—=一旦,

??cos<BA1,n>=-_?t

IMIWI?n1o4

V3

???平面/CCM與平面8"向的夾角的余弦值為不

18.設為數(shù)列｛即｝的前〃項和，已知公=4,S4=20,且*｝為等差數(shù)歹!].

(1)求證：數(shù)列｛劭｝為等差數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛加｝滿足61=6,且與1=工,設"為數(shù)列｛a｝的前"項和,集合M=eN*｝,

bnan+2

求M(用列舉法表示).

【解答】解：(1)證明：由｛%｝為等差數(shù)列，可設園=切+6,即S“=初2+加，

nn

2

當n=l時，ai=S1=k+b,當〃三2時，an=Sn-Sn-X—kr^+bn-左(〃-1)-b(〃-1)=2kn-k+b,

上式對〃=1也成立，則斯=2切-左+b,〃EN*,所以數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列;

(2)由42=4,54=20,可得3k+6=4,16左+46=20,解得左=6=1,即即=2%

+7/口*+1CL2nn

由bi=6,且二一=---n-

如an+22(n+2)n+2

比bbnTb”

則bn=b\?-3?-??----?----

bib2bn_2bn-i

12n—2n—11211

=6X^X-T9...9-----?------=—-----=12(一一---

34nn+1n(n+l)nn+1

11111I7

可得T〃=12(1-2+2一可+-“+而一申)=12一申，

當“+1=2,3,4,6,12,即〃=1,2,3,5,11時，Tn=6,8,9,10,11,

所以M=｛6,8,9,10,11).

19.設定義在R上的函數(shù)/(x)=ex-ax(a￡R).

(1)若存在xoe[l,+8),使得/Go)