2024-2025學(xué)年浙江省金華市高三上冊第一次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省金華市高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)檢測試題考生須知：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號．3．所必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．“其身正，不令而行；其身不正，雖令不從”出自《論語·子路》．意思是：當(dāng)政者本身言行端正，不用發(fā)號施令，大家自然起身效法，政令將會暢行無阻；如果當(dāng)政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會服從遵守．根據(jù)上述材料，“身正”是“令行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．5．將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種6．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個極大值點，則ω的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知雙曲線的左焦點為，O為坐標(biāo)原點，若在C的右支上存在關(guān)于x軸對稱的兩點P，Q，使得為正三角形，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知為函數(shù)的零點，則（）A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）9．已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若則C．若，則 D．向量與向量垂直10．如圖，在正三棱柱中，AB＝4，M，N，D，Q分別為棱的中點，，則以下結(jié)論正確的是（）A．平面QMN B．C．點Q到平面DMN的距離為 D．三棱錐的外接球表面積為11．已知拋物線的焦點為F，A，B，P為拋物線C上的點，，若拋物線C在點A，B處的切線的斜率分別為，且兩切線交于點M．N為拋物線C的準(zhǔn)線與y軸的交點．則以下結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．直線PN的傾斜角C．若，則直線AB的方程為 D．的最小值為2非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．已知____________________________________．13．已知某中學(xué)的3個年級各有學(xué)生300，300，400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從3個年級的學(xué)生中抽取10人，對他們的體重進行了統(tǒng)計．若3個年級被抽到的學(xué)生體重的平均值分別為48，52，55kg，方差分別為4，10，1．將這10名學(xué)生體重W（kg）作為樣本，則樣本的方差為______________________________．14．“四進制”是一種以4為基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字0，1，2，3來表示數(shù)值．四進制在數(shù)學(xué)和計算的世界中呈現(xiàn)出多個維度的特性，對于現(xiàn)代計算機科學(xué)和技術(shù)發(fā)展有著深遠的影響．四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的方法是通過將每一位上的數(shù)字乘以4的相應(yīng)次方（從0開始），然后將所有乘積相加．例如：四進制數(shù)013轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為；四進制數(shù)0033轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為；四進制數(shù)0033轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為；現(xiàn)將所有由1，2，3組成的4位（如：1231，3211）四進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，在這些十進制數(shù)中任取一個，則這個數(shù)能被3整除的概率為______．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（13分）如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點．（1）證明:平面MCN；（2）求直線與平面MCN所成的角的正弦值.16．（15分）已知b>0，函數(shù)在點處的切線過點。（1）求實數(shù)b的值；（2）證明：在上單調(diào)遞增；（3）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．17．（15分）如圖，四邊形ABCD中，．（1）求；（2）P為邊BC上一點，且的面積為，求△ABP的外接圓半徑．18．（17分）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且直線與的斜率之積為．（1）求C的方程；（2）直線與C交于M，N兩點，與y軸交于點A，與x軸交于點B．（ⅰ）若A，B恰為弦MN的兩個三等分點，求直線l的方程；（ⅱ）若點B與點重合，線段MN的垂直平分線與x軸交于點Q，求的值．19．（17分）密碼學(xué)是研究編制密碼和破譯密碼的技術(shù)科學(xué)．研究密碼變化的客觀規(guī)律，應(yīng)用于編制密碼以保守通信秘密的，稱為編碼學(xué)；應(yīng)用于破譯密碼以獲取通信情報的，稱為破譯學(xué)，總稱密碼學(xué)．20世紀(jì)70年代，一些學(xué)者提出了公開密鑰體制，即運用單向函數(shù)的數(shù)學(xué)原理，以實現(xiàn)加、脫密密鑰的分離．加密密鑰是公開的，脫密密鑰是保密的．這種新的密碼體制，引起了密碼學(xué)界的廣泛注意和探討．某數(shù)學(xué)課外小組研究了一種編制密碼的方法：取任意的正整數(shù)n，將小于等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)從小到大排列，即為密碼．記符合上述條件的正整數(shù)的個數(shù)為．（1）求數(shù)列的前5項和；（2）求的表達式和的值；（3）記，數(shù)列的前n項和，證明．高三數(shù)學(xué)答案一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1．【正確答案】D，故選D．2．【正確答案】B，解得，或，所以，故選B．3．【正確答案】C由題意：身正令行，令行身正，所以“身正”是“令行”的充要條件，故選C．4．【正確答案】A因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以，若在上單調(diào)遞減只需，即，故選A．5．【正確答案】C一側(cè)的種植方法有中，另一側(cè)的種植方法有種，有分步計數(shù)原理得不同的種植方法共有種，故選C．6．【正確答案】B由題，當(dāng)時，，若在上只有一個極大值點，則，得，因為，所以的最大值為3．故選B．7．【正確答案】D設(shè)雙曲線的焦距為，右焦點為，直線OQ交于點M，連接，因為為正三角形，，所以M為的中點，所以，故，易知，所以，由雙曲線的定義知，即，得，故選D．8．【正確答案】B由得，即，即，因為，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，故選B．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）9．【正確答案】ABD因為為非零向量，若，則，故，A正確；若，故，В正確；若，則，即，不能確定，C錯誤；，故，D正確；故選ABD．10．【正確答案】AC由題，，所以，故平面QMN，A正確；由題可得，，設(shè)，易得，，因為，即，解得，故，B錯誤；易知，所以平面QMN，，所以，又，設(shè)點Q到平面DMN的距離為d，則，得，C正確；將三棱錐補成以QMN為底面的直三棱柱，則該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，其球心O位于上下底面外心的中點，，故的外接圓半徑，設(shè)外接球半徑為R，則，所以三棱錐的外接球表面積，D錯誤．故選AC．11．【正確答案】BCD由題，，則向量的夾角為，故F，A，B三點共線，設(shè)，與C的方程聯(lián)立得，設(shè)，則，，故，由拋物線的定義得，故，故，所以，A錯誤；設(shè)，易知，當(dāng)時，直線PN傾斜角大于等于，當(dāng)時，，所以直線PN的傾斜角，B正確；記直線AB的斜率為k，令，則，則，又，所以，所以，又直線AB過點，故直線AB的方程為正確；，又，所以，同理，聯(lián)立解得，即，又，所以，當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，D正確；故選BCD。三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．【正確答案】由得，即，．13．【正確答案】133個年級抽取的學(xué)生數(shù)分別為3，3，4人，則，故．14．【正確答案】設(shè)，則4位四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制為，若這個數(shù)能被3整除，則能被3整除．當(dāng)這個四進制數(shù)由1，2，3，3組成時，有個；當(dāng)這個四進制數(shù)由1，1，2，2組成時，有個；這個四進制數(shù)由1，1，1，3組成時，有個；這個四進制數(shù)由2，2，2，3組成時，有個；這個四進制數(shù)都由3組成時，有1個．因為由1，2，3組成的4位四進制數(shù)共有個，所以能被3整除的概率．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15．【正確答案】（1）證明：因為是正三角形，M為AB中點，所以，因為平面平面ABC，所以，所以平面又因為平面，所以，連接，易得，所以，所以，又因為，所以，因為，所以平面MCN（2）取AC中點O，連接，易知三條直線兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（1）知平面MCN的一個法向量為，又，所以，因為直線與平面FMN所成的角為直線與所成角的余角，所以直線與平面FMN所成的角的正弦值為．16．【正確答案】（1）的定義域為，故，又，所以在點處的切線方程為，將點代入得，解得．（2）證明：由（1）知，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增．對恒成立，即對恒成立，當(dāng)時，上式顯然恒成立；當(dāng)時，上式轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．17．【正確答案】（1）因為，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式作差得：，解得，因為，所以．（2）由（1）知，所以，與（1）同理可得，故，所以，解得，設(shè)的外接圓半徑為R，在中，由正弦定理得，解得，所以的外接圓半徑為．18．【正確答案】（1）將點代入C的方程得：①，設(shè)C的焦距為，則，故，解得②，又③，由①②③解得或，所以C的方程為．（2）（ⅰ）由題，，設(shè)，O為坐標(biāo)原點，則，即，解得，所以，又，即，解得，所以將點M，N的坐標(biāo)代入C的方程得，解得，因為，所以，所以直線l的方程為．注：若利用AB中點是MN的中點或利用MN長度等于3AB長度聯(lián)立的方程得出k，m同樣按步驟得分．（ⅱ）由題直線1過點，所以，與橢圓方程聯(lián)立，得，，設(shè)，則，所以，又，所以MN中點為，所以MN的垂直平分線方程為，令得，故，所以，所以．19．【正確答案】（1）由題，；小于等于2且與2互質(zhì)的正整數(shù)有1，所以；小于等于