上海市靜安區(qū)2024-2025學(xué)年高三第一次月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試題（含解析）

上海市靜安區(qū)2024-2025學(xué)年高三第一次月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1－6題每題4分，第7－12題每題5分）1．若集合，，則．2．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為.3．已知，則.4．在某項(xiàng)測(cè)量中，其測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，且，則．5．已知，方程的一個(gè)根為（為虛數(shù)單位），則6．的內(nèi)角、、所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，面積為，且，則角.7．已知向量，，則在方向上的投影向量為．8．若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為.9．在數(shù)列中，，且，則.10．盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子．已知某盲盒產(chǎn)品共有3種玩偶，小明購(gòu)買4個(gè)盲盒，則他能集齊3種玩偶的概率是．11．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足線段相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．12．，任意，滿足，求有序數(shù)列有對(duì).二、選擇題（本大題共4小題，第13－14題每題4分，第15－16題每題5分，滿分18分）13．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．14．如圖，直角坐標(biāo)系中有4條圓錐曲線（1，2，3，4），其離心率分別為ei．則4條圓錐曲線的離心率的大小關(guān)系是（

）

A． B．C． D．15．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1B．設(shè)，若，則C．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心D．一個(gè)袋子中有個(gè)大小相同的球，其中有個(gè)黃球、個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，且16．現(xiàn)定義如下:當(dāng)時(shí)，若，則稱為延展函數(shù).已知當(dāng)時(shí)，且，且均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（

）（1）存在與有無窮個(gè)交點(diǎn)（2）存在與有無窮個(gè)交點(diǎn)A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求角的大小；(2)若的面積為3，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.18．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，且點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心為直徑的半圓上．(1)求證：；(2)若，且與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離．19．為了解人們是否喜歡跑步，某機(jī)構(gòu)在一小區(qū)隨機(jī)抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表．喜歡不喜歡合計(jì)男12820女101020合計(jì)221840(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對(duì)跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？附：，其中，(2)該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，張先生跑步上班準(zhǔn)時(shí)到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為．對(duì)于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準(zhǔn)時(shí)到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)公司）．設(shè)從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.點(diǎn)、分別為軸、軸上的定點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形面積的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；(3)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，已知P、M、N三點(diǎn)共線，試探究直線是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.21．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．1．;【分析】根據(jù)集合并集的定義即可求解.【詳解】由集合的并集定義可得，因?yàn)?，，所以，故答案?2．【分析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.故答案為．本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線的方法，屬于基礎(chǔ)題.3．##0.5【分析】利用兩角差的正切公式將所求式展開，將代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為.4．45【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率即可.【詳解】由題設(shè)，，而，又，故，所以.故5．6【分析】根據(jù)題意可知：方程的另一個(gè)根為，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榉匠痰囊粋€(gè)根為，可知方程的另一個(gè)根為，所以.故6.6．##【分析】將的面積，及，代入條件計(jì)算即可.【詳解】的面積，因?yàn)?，所以，所以，又，所?故7．【分析】根據(jù)投影向量公式求出答案.【詳解】在方向上的投影向量為.故答案為.8．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值為求解切點(diǎn)坐標(biāo)，再把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程即可求解值．【詳解】由，得，直線與曲線相切，，解得，則，可得切點(diǎn)為，代入，得．故9．4【分析】利用遞推公式累加即可求解.【詳解】由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故410．【分析】根據(jù)給定條件，求出買4個(gè)盲盒的基本事件數(shù)，再求出集齊3種玩偶的基本事件數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】小明購(gòu)買4個(gè)盲盒的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，它們等可能，能集齊3種玩偶的事件A含有的基本事件數(shù)為：，所以能集齊3種玩偶的概率是.故11．【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于點(diǎn)M，連結(jié)，令，如圖，由M、O分別為、的中點(diǎn)，得，且，由線段與圓O相切于點(diǎn)M，得，則，在中，，，則，由橢圓的定義，得，則，整理得，解得，所以橢圓的離心率.故12．48【分析】先確定，再結(jié)合，設(shè)，可得到，進(jìn)而求出這四個(gè)數(shù)，從而求得答案.【詳解】由題意知，滿足，不妨設(shè)，則必有，若，解得；若，解得，由此可知此時(shí)有2種情況，結(jié)合任意，共有對(duì)，故48關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合推出時(shí)，這四個(gè)數(shù)的值，進(jìn)而結(jié)合題意求得答案.13．C【分析】A由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷奇偶性；B根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性；C利用奇偶性定義及冪函數(shù)的單調(diào)性判斷；D根據(jù)分式型函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性.【詳解】A：的定義域?yàn)椋@然不是奇函數(shù)；B：在定義域上不單調(diào)，不合要求；C：且定義域?yàn)镽，即為奇函數(shù)，又在定義域上遞增，即為增函數(shù)，符合要求；D：定義域?yàn)?，在定義域上不單調(diào)性，不合要求；故選：C14．C【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的離心率與圖形的關(guān)系即可判斷.【詳解】根據(jù)雙曲線離心率大于1，橢圓離心率在之間，則都大于，根據(jù)橢圓越接近圓，則其離心率越接近0，故，根據(jù)雙曲線開合程度越大，則離心率越大，故，綜上，故選：C.15．D【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的表示意義即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)，得到，即可求解；選項(xiàng)C，根據(jù)最小二乘法求回歸方程，即可判斷選項(xiàng)C的正誤；選項(xiàng)D，根據(jù)條件，利用超幾何分布的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，，得，解得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于是不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，由超幾何分布的定義知服從的超幾何分布，且，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.16．D【分析】由延展函數(shù)的定義分段求出解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，又，則由延展函數(shù)定義可得；同理可得，當(dāng)，；；任意，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則，則；同理可得，當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)，；；則任意時(shí)，當(dāng).如圖，作出與?x大致圖像，因?yàn)?，如圖可知，不存在直線與圖象有無窮個(gè)交點(diǎn)，故（1）不成立；又因?yàn)楫?dāng)，，故當(dāng)時(shí)，直線與?x的圖象在區(qū)間的函數(shù)部分重合，即有無窮個(gè)交點(diǎn)，故（2）成立；故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題目的關(guān)鍵在于理解新定義“延展函數(shù)”，能夠依次求解出函數(shù)在各段的解析式及作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.17．(1)(2)4，為等邊三角形【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求；（2）由三角表面積可求得，根據(jù)均值不等式可求得的最小值，根據(jù)取得最小值可判斷三角形的形狀.【詳解】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)為等邊三角形.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明平面即可；（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得與平面所成角為，再根據(jù)等體積法求解點(diǎn)到平面的距離即可【詳解】（1）連接，因?yàn)椋?，，又，平面，故平?又平面，故（2）由（1）因?yàn)椋移矫嫫矫?，平面平面于，故平面，故與平面所成角為，故，又點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心為直徑的半圓上，，，故，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則因?yàn)?，即，解?9．(1)沒有95%的把握認(rèn)為人們對(duì)跑步的喜歡情況與性別有關(guān)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出，再與臨界值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意分析可能的取值，并依次求得概率，得到X的分布列，進(jìn)而求得X的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，零假設(shè)：人們對(duì)跑步的喜歡情況與性別無關(guān)，則，故不能認(rèn)為零假設(shè)不成立，所以沒有95%的把握認(rèn)為人們對(duì)跑步的喜歡情況與性別有關(guān).（2）由題意，所有可能的取值分別為，，，，，，，，所以X的分布列為：1234所以.20．(1)(2)，(3)直線恒過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距可求出，由橢圓的面積等于得，求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)（為參數(shù)），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出R到直線PQ的距離為，由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定d的最小值，即可求解；（3）設(shè)直線，，進(jìn)而寫出為兩點(diǎn)坐標(biāo)，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求，，由三點(diǎn)共線可知，將，代入并化簡(jiǎn)，得到的關(guān)系式，分析可知經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意知，橢圓的面積知，得，又，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意得，直線方程為，即，設(shè)（為參數(shù)），則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)即即時(shí)，取得最小值，且最小值為，所以的面積的最小值為，此時(shí).（3）設(shè)直線，，則，，三點(diǎn)共線，得，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，，，由，得，，，代入中，，，當(dāng)，直線方程為，則重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線，所以直線恒過定點(diǎn).方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.21．(1)有極小值，無極大值.(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用極值的定義求解即可；（2）分類討論求的單調(diào)區(qū)